高中数学《5.1.1 数列的概念》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1.数列的定义

按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.

(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.

(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….

(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.
(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.

2.数列的分类

(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.

(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.

3.数列的通项公式

数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，

这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，

由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.

再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：

(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.

(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.

(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.

如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.

(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：

(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.

4.数列的图象

对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：

序号：1 2 3 4 5 6 7

项：4 5 6 7 8 9 10

这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.

由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.

数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.

数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.

把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.

5.递推数列

一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①

数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1。

视频教学：

练习：

1．已知数列3，5，7，…，2n－1，2n＋1，则35是这个数列的(　　)

A．第20项      B．第21项

C．第22项      D．第23项

2．(多选)(2020·长沙一模)已知某数列的前4项依次为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项公式可能是(　　)

A．a_n＝(－1)^n－1＋1

B．a_n＝2，n为奇数，0，n为偶数)

C．a_n＝2sin nπ2

D．a_n＝cos (n－1)π＋1

3．数列{a_n}中，a_n＋1＝2a_n＋1，a₁＝1，则a₆＝(　　)

A．32      B．62 

C．63      D．64

4．(2020·柳州模拟)若数列{a_n}满足a₁＝2，a_n＋1＝1＋an1－an，则a_{2 020}的值为(　　)

A．2      B．－3 

C．－12      D．13

5．(多选)(2020·广东阳江模拟)若数列{a_n}满足对任意的n∈N^*且n≥3，总存在i，j∈N^*(i≠j，i<< span="">n，j<< span="">n)，使得a_n＝a_i＋a_j，则称数列{a_n}是“T数列”．则下列数列是“T数列”的为(　　)

A．{2n}      B．{n²}

C．{3ⁿ}      D．lc(
c)(as4alco1((1－
(5)2)))n－1)

课件：

教案：

【教学目标】

1. 理解数列的有关概念和通项公式的意义．

2. 了理解数列与函数的关系，培养学生观察分析的能力．

3. 使学生体会数学与生活的密切联系，提高数学学习的兴趣．

【教学重点】

数列的概念及其通项公式．

【教学难点】

数列通项公式的概念．

【教学方法】

这节课主要采用情景教学法．利用多媒体，在教师的引导下，根据学生的认知水平，设计了创设情境——引入概念，观察归纳——形成概念，讨论研究——深化概念，即时训练——巩固新知等环节．各步骤环环相扣，层层深入，引导学生体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法，使之获得内心感受．

【教学过程】

环节	教学内容	师生互动	设计意图
导 入	1．讲故事，感受数列 2．提出问题，引入新课 我国有用十二生肖纪年的习俗，每年都用一种动物来命名，12年轮回一次．2009年（农历乙丑年）是21世纪的第一个牛年，请列出21世纪所有牛年的年份．	教师讲述古印度传说故事《棋盘上的麦粒》． 学生倾听故事，认识数列． 教师提出问题． 学生分组讨论，找出问题的答案．	创设情境，让学生认识数列，激发学生的好奇心，增强学生的学习兴趣． 提出和本节课密切相关的问题，让学生思考，充分发挥学习小组的作用，展开讨论．
新 课 新 课 新 课	1．数列的定义 把21世纪所有牛年的年份排成一列，得到 2 009，2 021，2 033，2 045，2 057，2 069，2 081，2 093．            ① 像①这样按一定次序排列的一列数，叫做数列． 数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项      （或首项），第2项，…，第n项，…，比如，2 009是数列①的第1项（或首项），2 093是数列①的第8项． 举出一些数列的例子： 大于3且小于11的自然数排成一列 4，5，6，7，8，9，10；     ② 正整数的倒数排成一列 1，，，，…；           ③ 精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排成一列 1，1.4，1.41，1.414，…；   ④ －1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成一列 －1，1，－1，1，－1，…；    ⑤ 无穷多个2排成一列 2，2，2，2，…；             ⑥ 这些都是数列． 2．数列的分类 项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． 练习 （1）已知数列，，，，…，则3是它的第    项． （2）已知数列1，，－，，…， (－1)n+1·，…，那么它的第10项是（    ）． （A）－1     （B）1 （C）－   （D） 3．数列的一般形式 数列从第一项开始，按顺序与正整数对应．所以数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，…， 其中，an是数列的第n项，叫做数列的通项，n叫做an的序号． 整个数列可记作{an}． 4．数列的通项公式 如果an（n=1，2，3，…）与n之间的关系可用 an = f ( n ) 来表示，那么这个关系式叫做这个数列的通项公式，其中n的取值是正整数集的一个子集．由此可知，数列的通项可以看成以正整数集的子集为定义域的函数． 例如，数列 1，，，，…，，…可记作{}，其通项公式为 an = ，n  N+． 如果数列通项的定义域是正整数集，定义域通常略去不写．	教师在学生探究的基础上，给出问题的答案． 教师板书定义． 教师出示一组数列的例子． 师：数列4，5，6，7，8，9，10；与10，9，8，7，6，5，4是不同的数列． 而集合｛4，5，6，7，8，9，10｝与｛10，9，8，7，6，5，4｝是相同的集合． 强调数列的有序性，集合元素的无序性． 教师利用上面举过的例子，讲解“数列的分类”． 请学生指出上述数列中的有穷数列和无穷数列：①②是有穷数列，③④⑤⑥是无穷数列． 同桌之间讨论，完成练习． 教师巡视指导． 观察数列． 1，，，，…． 教师提出问题：数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？ 学生分组讨论． 对于上面的数列，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项   1            ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1    2   3   4 这个数列的每一项与这一项的序号可用公式 an = 来表示其对应关系．	强调数列的“有序性”，使学生对数列定义有更深刻的认识，又为后面学习数列的通项公式埋下伏笔． 重视举例这一环节，调动学生的思维，发挥学生的主动性，加深对数列定义的理解． 观察实例，培养学生分类能力． 通过练习，让学生进一步掌握数列的定义． 培养学生的观察能力和由特殊到一般的归纳能力．
小 结	本节课主要学习了以下内容： 1．数列的定义； 2．数列的分类； 3．数列的通项公式．	学生阅读课本P3～P5上半部分，畅谈本节课的收获，教师引导梳理，总结本节课的知识点．	培养学生自己归纳、总结的学习习惯．

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