高中数学《5.1.2 数列中的递推》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
视频教学：
练习：
一、选择题
1.数列{an}满足a1=2019,且对任意的n∈N*,有an+3-an=2n,则a7= ( )
A.2021 B.2035
C.2037 D.2041
2.已知数列{an}满足an+1=an+3,a1=0,则数列{an}的通项公式可以是 ( )
A.an=n B.an=2n
C.an=3n-3 D.an=3n+3
3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=
A.16 B.25 C.28 D.33
4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则a1+a3= ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
5.已知在数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5为 ( )
A.-3 B.-11
C.-5 D.19
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*),可猜想出Sn的表达式为 ( )
A.Sn=
C.Sn=
7.在数列{an}中,a1=2,
A.2+ln n B.2+(n-1)ln n
C.2+nln n D.1+n+ln n
8.(多选题)图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.
若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{an},数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法中不正确的是 ( )
A.数列{an}是递增数列
B.数列{Sn}是递增数列
C.数列{an}的最大项是a11
D.数列{Sn}的最大项是S11
二、填空题
9.若数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1,则a4= .
10.若数列{an}的前n项和Sn=n2-2n,则此数列的通项公式为 .
11.在数列{an}中,已知a1=1,且满足an+1=an+
12.已知数列{an}中,a1=1,且an+1+2an+3=0,n∈N*,数列{an}的前n项和为Sn,则a6= ,S6= .
课件：
教案：
1．体会递推公式是数列的一种表示方法．
2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项．
3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式．
1．数列的递推公式
如果已知数列的______(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的________与它的前一项________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的______公式．
(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．
(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法．事实上，递推公式与通项公式一样，都是关于n的恒等式，我们可用符合要求的正整数依次去替换n，从而可以求出数列的各项．
【做一做1】数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( )．
A．an＝an－1＋2(n≥2)
B．an＝2an－1(n≥2)
C．an＝an－1＋2，a1＝2(n≥2)
D．an＝2an－1，a1＝2(n≥2)
2．通项公式与递推公式的区别与联系
区别 | 联系 | |
通项公式 | 项an是序号n的函数式an＝f(n) | 都是给出数列的方法，可求出数列中任意一项 |
递推公式 | 已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式 |
【做一做2－1】已知在数列{an}中，a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)，则{an}的通项公式是( )．
A．3n B．2n C．n D．12n
【做一做2－2】在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1－an＝1＋(－1)n(n≥2)，则a10＝________.
一、通项公式与递推公式
剖析：递推公式是：已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式是：一个数列{an}的第n项an与项数n之间的关系，如果可以用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．
对于通项公式，只要将公式中的n依次取值1,2，3，…即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．往往我们要利用各种方法将递推公式转化为通项公式，通项公式能够更直接地研究数列．
递推公式也是给出数列的一种重要方法，有时并不一定要知道数列的通项公式，只要知道数列的递推公式，即可解决问题，有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化．
二、教材中的“？”
(1)你能猜想出例1中这个数列的通项公式吗？
剖析：数列{an}的通项公式为an＝23－2n.
(2)你能比较例2中an与an＋1的大小吗？你能比较an与an＋2的大小吗？
剖析：不能比较an＋1与an的大小．
当n为奇数时，an＋2＞an；当n为偶数时，an＋2＜an.
题型 由递推公式求通项公式
【例】已知数列{an}，a1＝1，an＝an－1＋1nn－1(n≥2)．
(1)写出数列{an}的前5项；
(2)求数列{an}的通项公式．
分析：(1)中只需利用代入法依次求出a2，a3，a4，a5即可；
(2)利用下列关系式
①an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1；
②1nn－1＝1n－1－1n.
进行累加与裂项相消即可求出{an}的通项公式．
反思：(1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
(2)累加法
当an－an－1＝f(n)满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1累加来求通项公式an.
1下列说法错误的是( )．
A．递推公式也是数列的一种表示方法
B．an＝an－1，a1＝1(n≥2)是递推公式
C．给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式
D．an＝2an－1，a1＝2(n≥2)是递推公式
2已知数列{an}的首项a1＝1，且an＝3an－1＋1(n≥2)，则a4为( )．
A．13 B．15 C．30 D．40
3已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n＞2)给出，则该数列的第5项等于( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
4一个数列{an}的首项a1＝1，a2＝2，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项，请写出构成这个数列的递推公式an＝________________.
5已知数列{an}满足an＋1＋an－1an＋1－an＋1＝n(n为正整数)，且a2＝6，则数列{an}的通项公式为an＝________.
答案：
基础知识·梳理
1．第1项 任一项an an－1 递推
【做一做1】C
【做一做2－1】B
【做一做2－2】10 由题意，知a10－a9＝1＋(－1)9，a9－a8＝1＋(－1)8，a8－a7＝1＋(－1)7，…，a3－a2＝1＋(－1)2，累加上述各式，可得a10－a2＝8.又因为a2＝2，所以a10＝10.
典型例题·领悟
【例】解：(1)a1＝1；a2＝a1＋12×1＝32；
a3＝a2＋13×2＝53；a4＝a3＋14×3＝74；
a5＝a4＋15×4＝95.
(2)由an＝an－1＋1n(n－1)，得an－an－1＝1n(n－1)(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1
＝1n(n－1)＋1(n－1)(n－2)＋…＋13×2＋12×1＋1
＝(1n－1－1n)＋(1n－2－1n－1)＋…＋(12－13)＋(1－12)＋1
＝－1n＋1＋1＝2－1n＝2n－1n(n∈N＋)．
随堂练习·巩固
1．C 通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，另外根据递推公式，并且知道数列的第一项，我们也可以确定数列，它也是给出数列的一种方法．an＝an－1(n≥2)与an＝2an－1(n≥2)，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，且都已知a1，所以都是递推公式．
2．D 利用递推式可逐个求出a2，a3，a4.
3．C ∵a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n＞2)，
∴a3＝a2＋a1＝2＋1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
4．2an－1＋an＋1(n≥2) 这个数列给出的方法是不同的，它是由前后项之间的关系确定的，只需要根据已知条件就可以直接列出关系式，要注意n的取值范围．
5．2n2－n
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