高中数学《5.3.1 等比数列》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

一、等比数列的定义

q为公比

二、通项公式

首项：a₁；公比：q

三、等比中项

(1）如果a，A，b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即：

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个。

(2）数列是等比数列

四、等比数列的判定方法

(1）用定义：对任意n，都有

，为等比数列

(2）等比中项：为等比数列

(3）通项公式：为等比数列

五、等比数列的证明方法

依据定义：若，为等比数列。

六、等比数列的性质

(1）对任何，在等比数列20中，有

(2）若，则，特别的，当m+n=2k时，得，

(3）数列为等比数列，则数列（k为非零常数）均为等比数列

(4）数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列

(5）若为等比数列，则数列成等比数列

(6）若为等比数列，则数列

成等比数列

视频教学：

练习：

1．等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且4a_1,2a₂，a₃成等差数列．若a₁＝1，则S₄＝(　　)

A．7  B．8

C．15  D．16

2．已知3是3^a与3^b的等比中项，则a＋b的值是(　　)

A.13  B.12

C．1  D．2

3．在等比数列{a_n}(n∈N^*)中，若a₁＝1，a₄＝18，则该数列的前10项和为(　　)

A．2－124  B．2－129

C．2－1210  D．2－1211

4．已知{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，其公比q≠1且b₁>0(i＝1,2，…，n)，若a₁＝b₁，a₁₁＝b₁₁，则(　　)[来源:Zxxk.Com]

A．a₆>b₆ 

B．a₆＝b₆

C．a₆<< span="">b₆  

D．a₆<< span="">b₆或a₆>b₆

5．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a等于(　　)

A．4  B．2

C．－2  D．－4

6．已知{a_n}是首项为1的等比数列，S_n是{a_n}的前n项和，且9S₃＝S₆，则数列(1an))的前5项和为(　　)

A.158或5  B.3116或5

C.3116  D.158[]

课件：

教案：

【教学目标】

知识与技能：理解并掌握等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。

过程与方法：通过概念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，着重培养学生观察、比较、概括、归纳、演绎等方面的思维能力，并进—步培养运算能力，分析问题和解决问题的能力，增强应用意识。

情感态度与价值观：在传授知识培养能力的同时，培养学生勇于探求，敢于创新的精神，同时帮助学生树立克服困难的信心，培养学生良好的学习习惯意志品质。

【教学重点】

等比数列的概念的形成与深化；等比数列通项公式的推导及应用。

【教学难点】

等比数列概念深化：体现它是一种特殊函数，等比数列的判定、证明及初步应用。

【教学过程】

（一）等比数列的概念

1．创设情境，引入概念

引例1：国际象棋起源于印度，关于国际象棋有这样一个传说，国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子，依次类推，直到第64个格子放满为止。”国王慷慨地答应了他。你认为国王有能力满足上述要求吗？

所构成的数列：1，2，4，8，16，32，…

引例2：某轿车的售价约３６万元，年折旧率约为10％（就是说这辆车每年减少它的价值的10％），那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为：

引例3：《庄子·天下篇》曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

如果把“一尺之棰”看成单位”1”，你能用一个数列来表达这句话的含义吗？“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”

等比数列：一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。(q≠0且a_n≠0）

2．抓住本质，理解概念

试判断下列数列是不是等比数列，如果是求出公比。

（1）1，3，9，27，81，243，…（公比为3）

（2）1，1，1，1，。。。（公比为1）

（3）a，a，a，a，…（不一定）

（4）1，6，36，0，…（不是）

（5），3，6，12……

（二）等比数列通项公式的推导

演绎推理论证（累乘法）

设a₁，a₂，a₃…是公比为q的等比数列，则由定义得：

……………………………………（1）

……………………………………（2）

……………………………………（n-1）

问：结合求等差数列的通项公式的方法，如何求得等比数列的通项公式？

由定义式得：(n－1)个等式

若将上述n－1个等式相乘，便可得：

a2a1×a3a2×a4a3×…×anan－1＝q^n－1

即：a_n＝a₁·q^n－1(n≥2)

当n＝1时，左＝a₁，右＝a₁，所以等式成立，

∴等比数列通项公式为：a_n＝a₁·q^n－1(a_n，，q≠0)其中首项，为公比

（三）例题讲解

例题 在等比数列中，

（1）已知求；

（2）已知，求

学生讲教师写：第（1）小题只要代入等比数列通项公式即可，即；第（2）题，先求，即，解得，所以。

练习：

（四）课堂小结：

知识小结：等比数列的定义，其通项公式及推广公式的推导和其应用。

思想方法小结：类比思想，函数思想，整体思想。

能力小结：培养观察、归纳，猜想能力，演绎推理能力和计算的技巧能力。

【作业布置】

（1）复习本节课所学的内容；

（2）思考：等比数列的通项公式推导还有什么方法？

（3）预习下节课内容。

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