高中数学《5.4 数列的应用》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
视频教学：
练习：
1．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是( )
A．不增不减 B．约增1.4%
C．约减9.2% D．约减7.8%
2．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A.1＋γ,1＋γ5－1)万元 B.1＋γ5,1＋γ5－1)万元
C.1＋γ5,1＋γ4－1)万元 D.1＋γ5)
3．随着计算机技术的迅猛发展，电脑的价格不断降低，若每隔4年电脑的价格降低三分之一，则现在价格8100元的电脑12年后的价格可降为________元．
4．银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________．
5．用分期付款的方式购置家用电器一件，价格为1 150元，购置当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的第一个月开始作为分期付款的第一个月，第20个月付清．则分期付款的第10个月应该付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？
6．某人在年初用16万元购买了一套住房，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付出多少元？
课件：
教案：
一、教学背景
1．教材分析
数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型. 强调用函数的背景和研究方法来认识、研究数列. 等差数列和等比数列作为特殊数列，在现实生活中有着广泛应用，使学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等差数列和等比数列模型的过程，探索并掌握其中的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛作用，并利用它们解决一些实际问题.
2．学情分析
学生的优点是数学基础较扎实、解题能力较强，不足是不会提问题，缺乏问题意识和创新意识，这需要在教学中不断引导和培养.
从认知水平方面，学生已掌握等差数列和等比数列的变化规律，能运用等差数列、等比数列解决简单的数学问题和实际问题，但遇到综合情景时，如何用从数学角度进行分析，发现情景中的数学关系，能提问题并创造性解决问题，还需要有强烈的问题意识和建模能力.
学生玩九连环游戏十天左右，基本掌握了解下和装上的技能，本节课利用九连环游戏情景，启发学生发现问题、提出问题，进行数学抽象，用数学方法解决问题，帮助学生积累数学活动经验，认识数学模型的作用，提升实践能力，特别是激发学生求知欲，引发学生主动研究问题，培养数学激情，增强创新意识.
3．教学方法
启发式、讨论式.
二、教学目标
1. 创设游戏情景，增强数学活动经验，经归纳抽象建立数列模型，解决相关问题；
2. 培养学生问题意识，突出问题导向，提高问题解决能力，全面提升数学素养；
3. 进一步培养学生自信乐观积极的品质、锲而不舍的钻研精神和严谨的科学态度.
三、教学重点难点
1. 教学重点：从数学视角发现九连环游戏蕴含的数学问题；
2. 教学难点：（1）学生提出各种数学问题过于发散不易集中处理；
（2）学生规则意识和创新意识的辩证发展.
四、教学过程
教学环节（一）：介绍连环 引入新课
九连环是一种古老的智力游戏，历史悠久，流传甚广. 据古代文献资料记载，早在战国时期就被发明，距今已有两千两百余年.
九连环的主体是9个套在剑形环柄上的环，环柄两端分别叫做柄把和柄钗，环可以从柄钗一端套上环柄或取下，但不能从柄把一端套上、取下.
每个环上都连着一个杆儿，并且左侧环的杆儿都穿过相邻右侧环，九根杆儿的另一端被底板连接在一起，从而使9个圆环形成叠错扣连的关系.
九连环游戏有很多种玩法，常见的玩法是把环都解下或都装上，操作过程必须耐心、细致、且头脑清醒还要充满智慧..
教学环节（二）：引导学生 提出问题
【设计意图】回顾九连环游戏过程，引导学生思考游戏关键及获取游戏技能的思维过程，积累数学活动经验，反思认识事物的方法，引导学生从数学视角发现问题、提出问题.
教师设问1：总结九连环游戏的体验，你认为最关键的是什么？
解答要点：
（1）认识九连环：
观察→结构→规律；主动→分析→实践→分析→实践；
实践→归纳+验证+效率
（2）心态平和、耐心细致、思路清晰、动作协调
教师设问2：结合九连环游戏，你能从数学视角提出一些问题吗？
预估问题1：九连环游戏规则都有哪些？
解答要点：
九个环 “数字化”：把最靠近柄钗端的环叫1号环，依次2号环、3号环、4号环、5号环、6号环、7号环、8号环、9号环.
（1）1号环在任何情况下，可上也可下；
（2）只要1号环和2号环都在上或者都在下，2号环就可解下或装上；
（3）九连环解下或装上是互逆的两个过程，其操作过程正好相反，步数相同.
预估问题2：九连环游戏的关键是哪个环？
解答要点：
（1）应该是3号环，刚开始接触九连环游戏时，很难摸索出规律把3号环解下，一旦把3号环解下，那么4号环、5号环、…、9号环就可以同理解下；
（2）3号环解下（或装上）只需2号环在上且1号环在下；同理4号环解下（或装上），只需要3号环在上且1、2号环在下；以此类推.
预估问题3：九连环游戏至少需要多少步？或者n连环游戏至少需要多少步？
解答要点：
（1）先定义清楚怎样算“一步”. 主要问题是1、2号环可以同上或同下，如果从环的个数变化应该是两个，故计数“两步”，但如果从操作次数来说只操作了一次，故计数“一步”. 考虑到教学重点，还有时间问题，就统一用第一种方式；
（2）这个问题也是九连环游戏爱好者共同关心的一个问题，值得研究.
预估问题4：九连环游戏蕴含着什么数学关系？
解答要点：
（1）如果八连环会解，则九连环就能解，进而如果七连环会解，那么八连环也会解，以此类推，游戏就很简单了；
（2）环环相连——数列“递推关系”，究竟是什么具体关系，值得研究.
预估问题5：九连环在什么状态下至少需要的步数为最多？（“最费劲”状态？）
解答要点：
（1）先考虑“最轻松”状态，即1号环上，其它环都下，思路就能打开；
（2）究竟是什么状态“最费劲”，值得研究.
【说明】问题3和问题4其实是一个问题，在研究问题3的同时能感受到问题4的存在，如果问题4想得很清楚，则问题4也就变得简单. 因此可以重点研究问题3，顺便找一下问题3的答案. 问题5则根据学生现场反应情况确定本节课解决与否.
教学环节（三）：建立模型 解决问题
【设计意图】根据现场情况，可以重点研究问题3. 如果时间允许，可以继续研究问题5，或者学生分组研究不同问题. 学生将游戏步数与环数n的关系抽象为数列的项与项数的关系，通过“n连环”游戏活动，记录下“n连环”游戏所需最少步数，并逐步概括其中蕴含的数列递归关系.
学生分组实践，教师巡视，了解探究进展情况.
学生展示问题3的研究成果：
预估展示1：
（1）设：解下“n连环”至少需
（2）记录数据如下表格（学生只需统计到“五连环”就够）：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
1 | 1 | 3 | 5 | 11 | 21 | 43 | 85 | 171 | |
1 | 2 | 5 | 10 | 21 | 42 | 85 | 170 | 341 |
（3）通过演示，说明表格数字的含义（如4、5、10这三个数字所在的列）；
（4）（追问）表格后面的空项，能否不操作游戏，就能填写完成？请说明理由.
预估展示2：
（1）设：解下“n连环”至少需
（2）建立递归模型：
A.
B.先解下前n-2个环需
C.由
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
1 | 2 | 5 | 10 | 21 | 42 | 85 | 170 | 341 |
预估展示3：
（1）设：解下“n-1连环”至少需
（2）建立递归模型：
A.初始状态为（当n≥3时）：
B.
C.
D.由于
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
1 | 1 | 3 | 5 | 11 | 21 | 43 | 85 | 171 | |
1 | 2 | 5 | 10 | 21 | 42 | 85 | 170 | 341 |
学生展示问题5的研究成果：
预估展示1：
奇号环在上，偶号环在下；
分析：这个是错误的判断，可以只分析到5号、3号、1号在上而4号、2号在下的状态，与5号在上4号、3号、2号、1号都在下作比较即可.
预估展示2：
（1）
（2）理由简述：为把9号环解下，需要8号环在上，但在初始状态中，8号环在下，所以先要把它装上；为了装8号环，需要7号环在上，但在初始状态中，7号环也在下，所以又先把它装上，…，如此类推，为了把n号环解下，先要把n-1号到1号都装上，恢复到正常九连环初始状态：
（3）“最费劲”状态步数为170+341=511（启发思考结果为29-1有何隐情？）
五、教学小结
1.数列递归是九连环设计的数学原理，数列是重要的数学模型；
2.要有问题意识，会提问题比能解决问题更重要;
3.提个问题，你想知道九连环游戏模型都有哪些实际应用吗？
六、布置作业
1. 研究问题：由本节递归关系求通项公式，并探究通项公式和递归关系的优劣；
2. 继续研究课上没有来得及解决的某问题.
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