高中数学《6.1.1 函数的平均变化率》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

平均变化率概念：

式子称为函数f（x）从x₁到x₂的平均变化率。若设，（这里看作是对于x₁的一个“增量”可用x₁+代替x₂，同样

则平均变化率为

2、平均变化率的几何意义：

表示什么？

视频教学：

练习：

1．函数f(x)＝1x在x＝1到x＝2之间的平均变化率为________．

2．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值：

t/min	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90
c(t)/ (mg/mL)	0.84	0.89	0.94	0.98	1.00	1.00	0.97	0.90	0.79	0.63

服药后30～70 min这段时间内，药物浓度的平均变化率为________．

3．一棵树2011年1月1日高度为4.5 m,2012年1月1日高度为4.98 m，则这棵树2011年高度的月平均变化率是________．

4．在曲线y＝x²＋1的图像上取一点(1,2)及邻近一点(1.1，2.21)，则该曲线在[1,1.1]上的平均变化率为________．

5．如图显示物体甲、乙在时间0到t₁范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．

①在0到t₀范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；

②在0到t₀范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；

③在t₀到t₁范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；

④在t₀到t₁范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．

6．已知正弦函数y＝sin x，求该函数在0，(π3))和(ππ2)内的平均变化率，比较平均变化率的大小，并说明含义．

课件：

教案：

一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。

二．新课讲授

（一）问题提出

问题1 气球膨胀率

    我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

思考：当空气容量从V₁增加到V₂时,气球的平均膨胀率是多少?

问题2  高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t²+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?

（二）平均变化率概念:

1．上述问题中的平均变化率可用式子  表示, 称为函数f(x)从x₁到x₂的平均变化率

2．若设,  (这里看作是对于x₁的一个“增量”可用x₁+代替x₂,同样)

3．则平均变化率为

思考：观察函数f(x)的图象

平均变化率表示什么?

三．典例分析

例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则         ．

例2．求在附近的平均变化率。

四．课堂练习

1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为          ．

2.物体按照s(t)=3t²+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

3.过曲线y=f(x)=x³上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.

五．变化率

1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？”[来源:Z&xx&k.Com]

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念

函数y=f(x)在x=x₀处的瞬时变化率是:

我们称它为函数在处的导数，记作或，即

说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x₀处的瞬时变化率[来源:学科网]

     （2），当时，，所以

3 导函数：

由函数f(x)在x=x₀处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：或，

即: 

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

4 函数在点处的导数、导函数、导数 之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数     

(3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是 求函数在点处的导数的方法之一。

六．典例分析

例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.

[来源:学科网ZXXK]

（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． [来源:Zxxk.Com]

[来源:学|科|网]

例2．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

六．课堂练习

1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为．

2．求曲线y=f(x)=x³在时的导数．

3．例2中，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

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