高中数学《6.2.1 导数与函数的单调性》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
利用导数研究函数的单调性
(1)导数与函数单调性的关系.
①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数.
(2)利用导数研究函数单调性的方法.
①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.
视频教学：
练习：
1．在下列结论中，正确的有( )
(1)单调增函数的导数也是单调增函数；(2)单调减函数的导数也是单调减函数；
(3)单调函数的导数也是单调函数； (4)导函数是单调的，则原函数也是单调的．
A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )
A．a≤0 B．a<1< span=""> C．a<2 D．a≤13
3．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sinx B．y＝xe2 C．y＝x3－x D．y＝lnx－x
5．设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( )
课件：
教案：
课型 | 新授课 | 课时 | 1课时 | |||||||||||||||||||||||||||
教材依据 | ||||||||||||||||||||||||||||||
教材分析 |
一方面，函数的单调性是高中数学中一个极为重要的知识点，以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图像来研究函数的单调性，学习导数之后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。同时在本章第二节，要学习利用导数来研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有着重要的帮助。因此，学习本节内容具有承上启下的作用。 另一方面，教材首先给出了3个一次函数的例子，结合图像，回顾它们的单调性，通过比较导函数值与函数单调性的关系，让学生初步领会导函数符号与函数单调性的关系。在此基础上又给出了两个指数函数、两个对数函数、一个二次函数的例子，使学生对函数的单调性和导函数的正负之间的关系获得丰富的感性认识，在此基础上抽象概括出导函数的符号与函数的单调性之间的关系。课时安排两课时，本节课为第一课时。 | |||||||||||||||||||||||||||||
学情分析 | 在学习本节课之前，学生已经学习了导数、函数、及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二章已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备。但是，由于所授课的班级学生基础不是很好，而且单调性的感念是在高一时学的，时间有点久远，因此对于单调性概念的理解不够准确，同时导数是高中学生新接触的一个概念，对导数的应用还仅停留在表面，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。 | |||||||||||||||||||||||||||||
教学目标 | 1.知识与技能 能够利用导数判断函数的单调性；掌握求函数单调区间的方法和步骤。 2.过程与方法 通过利用导数研究单调性问题的过程，体会从特殊到一般、数形结合的研究方法。 3.情感、态度与价值观 通过导数方法研究函数性质，认识到不同数学知识之间的内在联系，认识到数学是一个有机整体；通过导数研究单调性的基本步骤，体会其中的算法思想，使学生认识到导数使一些复杂的问题变得有规可循，从而认识到导数的使用价值。 4.现代教学手段的运用 通过几何画板的动态展示，使学生对于导数的符号与函数单调性之间的关系有着更加直观的认识，提高课堂教学效果。 | |||||||||||||||||||||||||||||
教学重点 | 1. 利用导数判断函数的单调性； 2.掌握求函数单调区间的方法和步骤。 | |||||||||||||||||||||||||||||
教学难点 | 由基本初等函数的图像，抽象出导函数的符号与函数单调性之间的关系。 | |||||||||||||||||||||||||||||
教学工具 | 多媒体，交互式白板，几何画板 | |||||||||||||||||||||||||||||
教学方法 | 启发式教学法 | |||||||||||||||||||||||||||||
教学准备 | 1.制作课件：首先分析教材，参考教参，参考创新设计等资料，构思出了课堂教学环节；其次亲自制作PPT课件模板，精心设计PPT课件，反复修改。 2.制作教学设计方案：结合教材和其他教辅资料，自己归纳总结精心设计。 3.教学内容准备：几何画板（画出两个指数函数和两个对数函数的图像）。 | |||||||||||||||||||||||||||||
教学过程设计 | ||||||||||||||||||||||||||||||
一 问题引入 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | |||||||||||||||||||||||||||
问题：单调性描述的是y随x的增加而增加，或y随x的增加而减少，导数 | 学生思考 | 通过回顾函数单调性和导数的概念，引发学生思考两者之间的联系 | ||||||||||||||||||||||||||||
二 探究 新知 二 探究 新知 二 探究 新知 二 探究 新知 | 实例探究一： PPT展示3个一次函数的解析式和图像，引导学生完成下表：
提出问题：通过以上例子你发现了什么？那么导数与函数的单调性是否就具有这种关系呢？ 实例探究二： PPT展示2个指数函数和2个对数函数的解析式和图像，引导学生完成第二个表格：
在学生通过书写4个函数的导数判断正负之后，引发学生进一步思考：是否可以通过导数的几何意义来判断导数的符号，进而判断导数符号与函数单调性之间的关系？ 在学生思考分析后，通过几何画板动态展示：每个函数在各点处的切线的斜率（即函数在各点处的导数），进而总结它与该函数的单调性的关系。 实例探究三： 在以上两个实例分析的基础之上，提出问题：函数的导数值，单调性与区间有关系吗？ 再来看函数 （几何画板动态展示） 抽象概括： 通过以上的实例可以看出,导函数的符号与 函数的单调性之间有如下的关系: 提出思考：如果在某个区间内，函数的导数等于0呢？ 注意：正确理解“某个区间”含义，它必定是定义域内的某个子区间。 |
学生思考并举手回答（教师辅助完成表格） 学生思考并归纳总结：函数（1）(2)的导数都是正的,函数(1)(2)都是递增的,函数(3)的导数是负的,这个函数是递减的 学生思考后，黑板板书4个函数的导数，并进一步判断导数的正负，完成表格 学生回顾导数的几何意义，得出结论：每一个函数在某一点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数。总结发现：对于函数（1）（3），无论x取定义域内的什么实数都有 学生思考后得出答案：有关系。 | 让学生观察导数符号与函数单调性之间的联系 让学生再次观察总结出导数符号与函数的单调性的关系 学生回顾导数的几何意义，进而通过几何画板可以在不求导函数的前提下通过切线的斜率，直观看出导数符号与函数的单调性之间的关系。 通过实例探究三，旨在让学生理解函数的导数值，单调性与区间有关系。 | |||||||||||||||||||||||||||
三 例题讲解 三 例题讲解 三 例题讲解 | 题型一：利用导数判断函数的单调性 例1：证明：函数 题型二：利用导数求函数的单调区间 分析:根据上面的结论,我们知道函数的单调 区间与函数导数的符号有关,因此,可以通过 分析导数的符号求出函数的单调区间. （引导学生回答问题，并同时板书） 思考：求函数单调区间的一般步骤是什么？ 求可导函数单调区间的基本步骤: 1.确定定义域； 2.求导函数 3.解不等式 单调递增区间； 4.解不等式 单调递减区间； | 学生思考交流 学生思考交流后板书答案。 学生思考 学生思考讨论，师生共同归纳 学生思考后 教师指定三名同学上黑板做题 | 通过比较两种方法，用求导证明更简捷一些。借此指出，如果是更复杂的函数，用求导的符号判断函数的增减性，更能显示出它的优越性。 巩固新知 通过实例让学生掌握利用导数的符号来判断函数单调性的方法与过程，并指出函数的单调性决定了函数图像的大致形状，让学生思考如何利用导数来画函数的简图。明确利用导数是求函数单调区间最简单的方法。 通过归纳总结，加强学生对利用导数求函数单调区间的进一步熟练掌握。
巩固所学 | |||||||||||||||||||||||||||
四 课堂小结 | 通过本节课的学习你都学到了什么？有什么收获？ | |||||||||||||||||||||||||||||
五 作业布置 | 教材P62，习题3-1A组，第1,2题 | |||||||||||||||||||||||||||||
六 板 书 设 计 | 1.1 导数与函数的单调性 一、抽象概括： 性之间的关系: 例1： 思考： 例2： 二：求函数单调区间的一般 变式练习： 步骤：
课堂小结： 作业布置：
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七 教学 反思 | 本节课导数与函数的单调性是北师大版选修2-2第三章第一节的内容，课前经过精心的教学构思和反复修改，最终制定了此教学设计。由于提前没有试验过此节课，所以课堂上一节不可操控的因素都是未知的。就本节课的反馈来看，学生能积极思考，合作探究，整体反应良好。但是仍然存在着一些不足之处：（1）课堂上在播放几何画板的过程中出现了死机故障，拖延了一些时间，而且几何画板没有达到预期的效果！（2）由于课堂的实例探究有点多，在这个环节用的时间稍微有点多，那么导致后面的变式训练2在时间上有点赶！改进措施可以为：实例探究举两组例子，从第一组6个函数解析式（函数难度递增），让学生发现导数在定义域上为正，而函数在定义域上单调递增；从第二组6个函数解析式（函数难度递增），让学生发现导数在定义域上为负，而函数在定义域上单调递减。（3）设计例题题型的时候，应该先讲解“利用导数求函数的单调区间”，再讲解“利用导数判断函数的单调性”，这样由易到难，学生更能接受！（4）学情分析很重要！同样的一节课如果学生基础不是很好，那么我这样的教学设计也可能不会达到预期的效果！在学生基础不好的情况下，我也应该适当删减内容，比如去掉题型二，或者将题型二的例2直接作为最后一道练习来处理，这样以来课堂上大量的时间放在题型“利用导数判断函数的单调性”上，通过例题讲解，学生反复巩固新知（有条件的情况下给学生发类似导学案的A4纸质练习），这样学生学习效果可能会更好，自己对于整节课的把握也会更加游刃有余，不会出现“赶课”的情况。（5）由于所带班级学生基础不是很好，学习自觉性不高，练习动手能力不强，作为教师，应该加强督促他们的动手动笔能力，提高运算能力和板书规范能力！否则他们只会说，不去写，就会导致别人在黑板上板书的时候，他们无事可做，就会说话，扰乱了课堂秩序，也学不到新知识。（6）主观因素：学生是主体，教师是主导，一切教学脱离不了学生。所以好的一节课一定是学生的效果反馈好！在这方面，我应该从学生实际出发，在这个学情基础上，力求创新，高效！（7）复杂的函数应该利用几何画板画图。 通过这节课的教学，我总结教学中的不足，吸取教训，寻找改进策略，我相信下一次的教学反馈会更好。通过这节课，我认识到自己提升的空间仍然很大，但我会再接再厉，不断学习反思，争取早日达到自己的目标！ | |||||||||||||||||||||||||||||
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