高中数学《6.3 利用导数解决实际问题》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1、求可导函数f(x)的极值的步骤是什么？

视频教学：

练习：

1.设函数g(x)=x(x²-1),则g(x)在区间[0,1]上的最小值为(　　)

A.-1            B.0            C.-            D.

解析:g(x)=x³-x,由g\\\'(x)=3x²-1=0,解得x₁=,x₂=-(舍去).

当x变化时,g\\\'(x)与g(x)的变化状态如下表:

x	0				1
g\\\'(x)		-	0	+
g(x)	0	↘	-	↗	0

所以当x=时,g(x)有最小值g=-.

答案:C

2.函数y=f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为(　　)

A.-e            B.1-e            C.-1            D.0

解析:y\\\'=-1,令y\\\'=0,∴x=1,列表如下:

x	(0,1)	1	(1,e)	e
y\\\'	+	0	-
y	↗	-1	↘	1-e

由于f(e)=1-e,而-1>1-e,从而y_最大值=f(1)=-1.

答案:C

3.函数y=f(x)=(　　)

A.有最大值2,无最小值

B.无最大值,有最小值-2

C.最大值为2,最小值为-2

D.无最值

解析:y\\\'=,令y\\\'=0,得x=±1,容易验证当x=-1时,函数取极小值f(-1)=-2,当x=1时,函数取极大值f(1)=2,此即为函数的最小值和最大值.

答案:C

4.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是R=R(x)=则总利润P最大时,每年生产的产品是(　　)

A.100单位            B.150单位            C.200单位            D.300单位

解析:由题意知,总成本为C=20 000+100x.

而总利润为P=P(x)=R-C

=

P\\\'(x)=

令P\\\'(x)=0,得x=300,易知当x=300时,总利润最大.

答案:D

5.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,0.048)),则银行获得最大收益时,存款利率为(　　)

A.0.012            B.0.024

C.0.032            D.0.036

解析:由题意,存款量g(x)=kx(k>0),银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx²,x∈(0,0.048).

设银行可获得的收益为y,则y=0.048kx-kx².

于是y\\\'=0.048k-2kx,令y\\\'=0,解得x=0.024,

依题意知y在x=0.024处取得最大值.

故银行获得最大收益时,存款利率为0.024.

答案:B

6.已知a为实数,函数f(x)=(x²-4)(x-a),若f\\\'(-1)=0,则函数f(x)在[-2,2]上的最大值为　　　　　. 

解析:f\\\'(x)=2x(x-a)+(x²-4)=3x²-2ax-4,

因为f\\\'(-1)=0,所以3+2a-4=0,解得a=,

于是f\\\'(x)=3x²-x-4=(x+1)(3x-4).

令f\\\'(x)=0,得x=-1或x=,

比较f(-2),f(-1),f,f(2)可得函数f(x)在[-2,2]上的最大值为f(-1)=.

答案:

课件：

教案：

教学目标：

知识与技能：

⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法

⑵会利用导数求解最值

过程与方法：

通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程

情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法

教学重点：函数建模过程

教学难点：函数建模过程

教学过程：

例4：（面积容积最大问题）请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为的正六棱锥（如图所示），试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？

思路点拨：设出项点O到底面中心的距离后，求出底面边长，表示帐篷的体积

解：设为，则

由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：） 

于是底面正六边形的面积为（单位：）

，帐篷的体积为（单位：）  

求导数，得

令，解得（不合题意，舍去），

当时，，为增函数；

当时，，为减函数.

所以，当时，最大

答：当为时，帐篷的体积最大，最大体积为

方法技巧：设出一个变量后，其他变量都用这个变量表示，然后列出所求变量的函数式，再求最值，这是这类题目的常规解决。

例5：（用料最省问题）统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为 ，已知甲、乙两地相距100千米。

     ⑴当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

⑵当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

思路点拨：设出汽车的速度为千米/小时，然后表示出从甲地到乙地的耗油量

解：⑴当千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）

⑵当速度为千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得

   令，得

当时，，是减函数

当时，，是增函数

∴当时，取得极小值

此时  （升）

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25升

方法技巧：正确表示出函数解析式，然后利用导数求最值，其中把实际问题转化为数学问题，正确列出解析式是解题的关键

例6：（费用量省问题）要设计一容积为V的有盖圆柱形储油罐盖，已知侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径和高之比为何值时造价最省？

思路点拨：把圆柱的高用底面半径表示出来，然后把造价表示为的函数

解：由，得，设盖的单位面积造价为，则储油罐的造价为

由  解得，于是

由问题的实际意义，上述S的唯一可能极值点就是S的最小值点

∴当 时，储油罐的造价最省

方法技巧：本题用半径把高表示出来，把实际问题转化为关于半径的函数问题是关键

例7：（利润最大问题）某商品每件成本9元，销售价30元，每星期卖出432件。如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件

     ⑴将一个星期的商品销售利润表示成的函数；

⑵如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大

思路点拨：由时，多卖出的商品件数为24件，可求得正比例函数，进而表示出利润与的关系

解：⑴设商品降低元，多卖出的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则由题意

又由已知条件    得

⑵由⑴知

当变化时，变化情况如下表：

		2		12
	－	0	+	0	－
	↘	极小值	↗	极大值	↘

故时，有极大值，又    

所以定价为30－12＝18元，能使一个星期的商品销售利润最大

方法技巧：利润（收益）＝销售额－成本，在有前利润（收益）的问题中，注意应用此公式列函数式

例5：要设计一种圆柱形，容积为的一体化易拉罐金属包装，如何设计才使   体最低？

解：设       

法1：   

法2：        令

例6：有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸边A处，乙与甲在同侧，乙厂位于离河岸的B处，乙厂到河岸垂足D与A相距，两厂要在岸边合建一个传水站C，从传水站到甲厂和乙厂水管费用分别是元和元，问传水站C建在岸边何处才能使费用最省？

解：法1：设，，

         令    

法2：设，     

作业

          P87练习. P91习题4-2A组，3

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