高中数学《6.4 数学建模活动: 描述体重与脉搏率的关系》微课精讲+知识点+教案课件+习题

全册精讲+→ 班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

视频教学：

练习：

课件：

教案：

1．解析：建模过程如下：

(1)因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量E与身体的表面积S成正比，可以表示为E＝p₁S.又因为动物体内消耗的能量E与通过心脏的血流量Q成正比，可以表示为E＝p₂Q.因此得到Q＝pS，其中p₁，p₂和p均为正的比例系数．

另一方面，因为体积V与体重W成正比，可以表示为V＝r₁W；又因为表面积S大约与体积V的23次方成正比，可以表示为S＝r₂V23，因此得到S＝rW23，其中r₁，r₂，r为正的比例系数．所以可以构建血流量与体重关系的数学模型Q＝k₁W23，其中k₁为正的比例系数．

(2)根据脉搏率的定义f＝Qq，再根据生物学假设q＝cW(c为正的比例系数)，最后得到f＝Qq＝23cW，也就是f＝kW－13，其中k为正的待定系数．

脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒温动物体重越大，脉搏率越低；脉搏率与体重的13次方成反比，表中的数据基本上反映了这个反比例的关系．右图是以ln W和ln f为坐标的散点图．可以看出，数据取对数之后基本满足线性关系，因此得到体重和脉搏率的对数线性模型，可以把这个模型表达为ln f＝ln k－ln W3.

2．解析：

合算就是纸的量多，因为纸卷的高度和单价一样，我们只要比较两种纸卷截面的面积，取较大的就合算，为此可以各取一个纸卷，令无芯纸卷截面的圆心压在有芯纸卷截面的芯(即小圆)上，如右图，然后看无芯纸卷截面上与有芯纸卷截面的芯相切的直径端点，若端点在有芯纸卷截面的大圆上，则两种纸卷的量相等；若在其内则买有芯纸卷合算；若在其外则买无芯纸卷合算．

证明：设有芯纸卷截面的内、外半径分别为r，R，大圆内与小圆相切的弦长为d，无芯纸卷截面的直径为D，于是，as4alco1((d2))²＝R²－r²，

当D＝d时，S_有芯＝π(R²－r²)＝πas4alco1((d2))²＝πas4alco1((D2))²＝S_无芯，

当D＞d时，S_有芯＝π(R²－r²)＝πas4alco1((d2))²＜πas4alco1((D2))²＝S_无芯．

当D＜d时，S_有芯＝π(R²－r²)＝πas4alco1((d2))²＞πas4alco1((D2))²＝S_无芯．

3．解析：

要解决的问题	在教学楼一楼有一排四间教室，学生可以沿教室外走廊一直走到尽头的出口，试分析学生撤离所用时间
选题的原因及意义	建立数学模型给出最佳撤离方案，同时就教学楼设计给出合理化建议
建模问题的可行性分析	教师可在教学楼内组织学生进行多次演习，只需测量几个简单的参数．
基本模型、解决问题的大体思路和步骤	做出合理假设，列出有关的参数．队列中人与人之间的距离将为常数，记为d，队列行进的速度也是常数v，令第i个教室中的人数为n_i＋1人，第i个教室的门口到前一个教室的门口的距离为L_i，教室门的宽度为D.疏散时教室内第一个人到达教室门口所用的时间忽略不计． T_1,2＝L₁＋L₂＋D＋n₂d/v,n₁＋1d≤L₂＋D,[L₁＋n₁＋n₂＋1d]/v,n₁＋1d＞L₂＋D))
预期结果和结果呈现方式	建立一个来描述建筑物内人员疏散的最合适的模型，一份有求解过程的文字报告
参考文献	《数学模型与数学建模》北京师范大学数学科学学院
其他说明