课程大纲 | 古今数学思想

本篇推送展示的是北京大学数学科学学院范后宏老师开设的通识核心课程“古今数学思想”的课程介绍和课程大纲。本课程旨在为同学们深度解读数学经典知识，帮助同学理解数学知识背后的数学思想、思维方式和价值观，培育高阶数学素养，发展学生反思、评判与创新的能力。

Vol.1232.1

课程大纲

 古今数学思想

课程大纲

课程名称：   古今数学思想

开课院系：  数学科学学院

课程负责人：范后宏

课程性质：   通选课

课程类别：  数学、自然与技术

周学时：     2 学时

课程介绍

课程以教授为主，旨在帮助同学们深度解读数学经典知识，使同学们理解数学知识背后的数学思想、思维方式和价值观，培育高阶数学素养，发展学生反思、评判与创新的能力。

内容提要

数学的价值观。数学语言的真善美，数学中四个基本思维方式，数学存在的本质。古埃及和古美索不达米亚数学。古希腊数学。古代中国数学。古代印度数学和中世纪阿拉伯数学。Newton-Leibniz 之前的欧洲数学。Newton-Leibniz的数学。Newton-Leibniz之后的欧洲近代数学。世界现代数学。

授课内容与反思问题

一

第1-2次课

数学的价值观。数学语言的真善美，数学中四个基本思维方式，数学存在的本质。古埃及和古美索不达米亚数学。

反思评判题[1] 在一个学科中，存在性问题往往是基本问题。在数学中，无理数、虚数、无穷小的 “数学存在性”问题推动了数学的重大发展。在物理学中，Higgs粒子、引力波的 “物理存在性”问题推动了物理的重大发展。在哲学中，对“存在”不同理解产生了不同的哲学体系。  尝试比较“数学存在”、 “物理存在”、 笛卡尔 “我思故我在”中的“唯理论存在”、 贝克莱“存在就是被感知”中的“经验论存在”。

二

第3-6次课

古希腊Euclid 公设的细致深入解读。Euclid 第一公设。Euclid 第二 公设。Euclid 第三公设。Euclid 第四公设。Euclid 第五公设。

反思评判题[2] 在古希腊 欧几里德 《几何原本》中，“点”和 “直线”有逻辑定义吗？这个问题有什么可能的重大意义呢？在古希腊欧几里德《几何原本》中，“点”（point)被描述为 “A point is that which has no part”。在莱布尼茨的单子论哲学里，“单子”的基本规定性也是“没有部分”。尝试比较几何学中 “点”概念、数学中莱布尼茨的“ dx”概念、哲学中莱布尼茨的“单子”概念。

三

第7-8次课

中国古代数学的辉煌成就。算法的价值观和传统。几何计算。几何的经验性论证。

反思评判题[3] 用中国古代公元前 1世纪左右《九章算术》中的方法（“方程术”），求出下面方程组的解：3x +2y +z =29 ， 2x+3y+z=34， x+2y+3z=26 .  这个方法具有普遍性吗？反思：古代希腊数学中没有出现这个方法，近代欧洲数学只有到 19世纪初才出现这个方法（高斯消元法），这个数学历史现象可能有哪些原因？从另一角度看，这个方法在中国古代数学中也没有发展成矩阵理论， 这个数学历史现象可能有哪些原因？

反思评判题[4]  赵爽对勾股定理的证明成立的“条件”是什么？赵爽对勾股定理的证明与古希腊欧几里德《几何原本》对勾股定理的证明有什么实质性区别？尝试从经验论哲学和唯理论哲学来分析。

反思评判题[5] “祖氏原理“的实质是什么？  深入地比较祖氏原理与牛顿-莱布尼茨公式。

四

第9次课

Newton-Leibniz 之前的欧洲数学。虚数存在的含义。虚数的奇妙。

反思评判题[6] 虚数的严格定义是什么？虚数的定义体现了数学家对 “数学存在”的理解有什么重大变化？虚数概念的发展是如何体现了数学的“自由创造”精神与“严格求证”精神的辩证统一？

五

第10-11次

Newton-Leibniz的数学。比较Newton 和Leibniz微积分各自特色。

反思评判题[7] 在本课中我们用牛顿的引力方程推出开普勒的行星运动三个定律来说明 “自然背后的方程” 的这个自然哲学原理。 数学菲尔兹奖的奖章上用拉丁文刻着阿基米德的一句话，其理念是 “超越自我，把握世界”。数学的发展可以使得人类最终把握物质世界吗？或者说的具体一点，存在一个数学语言能够表达物理学家追求的统一场论吗？

六

第12-13次课

Newton-Leibniz之后的欧洲近代数学。Euler对经典数学发展的多方面贡献。Gauss播下的现代数学的一些种子。经典数学思维方式遇到的困难。 

七

第14-15次课

世界现代数学。方程背后的对称。三次、四次方程背后的对称。十一次单位根背后的对称。Galois 对称思想， 及其科学意义。

参考书目

1.   范后宏 著，《数学思想要义》，北京大学出版社，2018.9

2.   [美] 莫里斯·克莱因 著，古今数学思想 （第一册） 张理京、张锦炎、江泽涵 译，2002.7（第二册）朱学贤、申又枨、叶其孝 等 译，2002.8（第三册) 万伟勋、石生明、孙树本 等 译，2002.8（第四册）邓东皋、 张恭庆 等 译，上海科学技术出版社，2002.8

3.   John Stillwell, Mathematics and Its History, Springer-Verlag New York Inc., 1989

4.   李文林 著，数学史概论（第三版）， 高等教育出版社，2011

5.   赵敦华 著，西方哲学简史（修定版），北京大学出版社，2012

6.   赵敦华 著，现代西方哲学新编（第二版），北京大学出版社，2014

7.   [美] Victor J. Katz著，李文林等译，数学史通论（第2版），高等教育出版社，2004

8.  [俄] A.D.亚历山大洛夫 等 著，数学：它的内容，方法和意义（两卷），科学出版社，2001

华华 编辑 / 睿清 校对

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