沙龙纪实 | 数学的美与力量

今天博雅哥为大家推送的是本学期通识核心课程“古今数学思想”的沙龙纪实。在本次沙龙纪实中，范后宏老师通过历史上的几个简洁而优美的经典方程，向我们展示了数学的美：虽然方程看起来仅仅只是几个符号串，但不可思议的是，这几个符号串背后的数学理性和整个宇宙的数学理性是“同构”的。随后，范老师借助更多的鲜活例子，说明背后支撑现代科技飞速发展的，实际上是数学的力量：数学理性的伟大力量在于，它能够把握世界的秩序和结构，并让人感受到这份无穷的魅力，使人“飞升”。

Vol.1232.3

博雅沙龙

数学的美与力量

数学的美：五个至美的方程

第一个方程是Maxwell方程，Cauchy-Riemann方程是它的一个特例，而复变函数则是第二代数学的高峰。数学几千年的发展，大致可以分为第一代、第二代和第三代。第一代的数学从欧几里得开始到笛卡尔结束，其中的高峰有勾股定理，三角函数，解析几何，虚数等等，第二代数学则是从牛顿莱布尼兹开始到柯西傅里叶结束，高峰有Newton-Lebiniz公式，Cauchy积分公式，Fourier变换等等，第三代数学从伽罗瓦开始一直到现代，高峰有Galois群，Riemann空间，Bott周期律，Atiyah-Singer指标定理等等。在第三代数学的表述下，Maxwell方程的形式变为十分简洁的形式：

从这里出发可以发展出流形上的De Rham理论和代数拓扑中的上同调理论。

第二个方程是引力场的Einstein方程，我们实际生活中的球表面公式不同欧式几何中的公式，都应该是有质量的形式：

大范围宇宙的几何学不同于欧式几何学，它的开创者就是Riemann，而我们所生活的宇宙，背后的几何就是Riemann的几何学。

第三个方程是规范场的Yang-Mills方程，它就在Maxwell方程上加了一个A: 

A就是物理中非交换的规范场，也是数学中“弯曲的微分”，即联络，而电磁场是交换的规范场，这种非交换的运算更加的深刻。从规范场的Yang-Mills方程我们可以导出四维线性空间有无穷个本质不同微分拓扑结构，而其他维线性空间其实只有一个微分拓扑结构，所以要构造一个丰富的宇宙，微分拓扑“迫使”大自然选择了四维，我们也不禁会问：宇宙究竟选择了哪种微分结构呢？

第四个方程是狭义相对论量子场Dirac方程，它不仅描述了空间中的电子，更加奇妙的是Dirac方程是任意多个变量、任意多个未知函数、任意紧致空间上的、任意椭圆型线性偏微方程的“拓扑学生成元”，这就是Atiyah-Singer指标公式——二十世纪数学最高成就之一。

第五个方程是量子力学的Heisenberg方程，由此衍生出李代数和李群的概念，而数学的群就是物理的对称，是二十世纪理论物理基本原理之一：“对称”支配相互作用。而用“对称”原理来研究数学科学问题，正是数学天才伽罗瓦提出的，开启了第三代数学的篇章。

以上的这些方程都仅仅只是几个符号串，不可思议的是这几个符号串背后的数学理性和整个宇宙的数学理性是“同构”的，整个银河系，各种各样的星系，他们背后的规律都是由上面的符号串牢牢地把握住的，让我们见识到了数学的奇妙。

数学的力量

人类最伟大的杰作之一就是人制造出的比自己大脑“运算更快”的电脑，而超大规模集成电路的制造工艺中的许多关键步骤要数学模拟。例如：在做晶体管的制造中，需要用硅氧化的过程在底座上做一层二氧化硅，这个过程的数学模拟就需要考虑到三个方程：氧气的扩散是一个Diffusion方程，二氧化硅的对流是一个Convection方程，而高温的二氧化硅流入硅则是一个Navier-Stokes方程。晶体管做好之后还要模拟出最后输入输出之间的关系，初始的电子分布需要概率论和统计学的知识，然后再用Diffusion-drift-reaction方程求出最终电子分布，最后计算电流强度又是一个有混合边界条件的一组复杂的混合型偏微分方程组。这些的数学理论都来自于Hilbert空间——它构成了量子力学的数学基础，而由量子力学发展出的晶体的能带理论则是上述理论的基石，由此在整个计算机制造的背后显现了无尽的数学力量。

图为范后宏老师在沙龙中

数学力量也广泛的体现在别的地方，例如电路逻辑设计中一个基本的问题就是如何确定一个布尔函数恒为0，这就是数学上的SAT问题，已经被证明是NPC的，这是一种在数学上不太清楚本质的一类问题，在实际工作的过程中需要数学和经验实验的结合。这些数学在生活中的运用，让我们见识到了数学的力量和应用广泛性。

而在这背后还有更难的问题，也就是不可计算的问题，Hilbert第十问题——给一个整系数多项式判定是否有整数解就是一个不可计算的问题。这些理论最终整合为了Hilbert元数学思想，以此来论证数学的绝对严格性。但是我们遇到了麻烦，哥德尔不完备性定理告诉我们在有限步内无法证明数学的无矛盾性，那一个自然的问题是，为什么数学的证明是绝对严格的？为什么推理规则A推B，B推C那么A推C是绝对正确的？这个问题只能由哲学来回答，那就是：纯粹数学理性是先天的，它不依赖于人的经验，数学的存在都是一种理性的，先验式的存在。而正是这种永恒的数学理性，引领着人类飞升！

泽坤 供稿  /  华华 编辑  /  睿清 校对

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