优秀作业 | 太阳系中的科学
今天博雅哥为大家推送的是本学期通识核心课程“太阳系中的科学”的两则优秀作业，作者分别为北京大学数学科学学院2017级本科生杨柳霏与北京大学元培学院2017级本科生金宇烽。在这两则作业中两位同学分别讨论了与行星的视运动以及地球的重力加速度相关的若干问题。
Vol.1243
优秀作业
“太阳系中的科学”作业两则
杨柳霏 | 北京大学数学科学学院2017级本科生
金宇烽 | 北京大学元培学院2017级本科生
问题1：试描述在海王星上固定位置的观测者看到的海卫一运动图像，以及海卫一上的观测者看到的海王星运动图。
首先考虑海王星上固定位置的观测者。海王星的自转方向是自西向东，而海卫一是逆行卫星，因此海王星上的观测者将看到海卫一从东边升起，西边落下。海王星自转的角速度约为45/2 度/小时，海卫一公转的角速度约为18/7 度/小时，因此这位观测者每约14.36个小时会看到海卫一回到自己的正上方。由于海卫一的公转轨道有倾角，观测者还会观察到海卫一的高度周期性变化。同时，观测者也会观察到类似于月亮的盈亏变化。由于海卫一已被潮汐锁定，因此观测者永远只能看到海卫一的一面。另外，由于海卫一上的地质活动，观测者也许能观察到冰火山喷发带来的烟尘。
再来考虑海卫一上固定位置的观测者。
由于海卫一始终以同一面面对海王星，如果这位观测者不幸的处于背面，那他这辈子都看不到海王星了。而对于一个处于正面的观测者，他将看到一个美丽的蓝色星球在自己的头顶不断旋转。
问题2：人们仅根据海卫一逆行这一现象，即可认定海卫一的过去与未来：此前被海王星捕获，并仍在逐渐靠近海王星。试根据潮汐的原理，简要分析解释这一判断。
如果卫星是从母星脱离形成的，那么它在脱离时应当是沿着母星自转的圆周运动的切线方向飞出去的，从而被捕获成为卫星后也应该沿着母星自转的方向公转。因此，逆行的海卫一应当是以较高的速度沿海王星自转的逆向进入了海王星的引力范围。
图1：海卫一潮汐作用示意图
由于海卫一对海王星的潮汐作用，海王星两端出现潮汐隆起。下一时刻由于海王星的自转和海卫一的逆行公转，隆起不再正对海卫一，如图1所示。隆起的两端对海卫一施加引力，远端较弱，近端较强，如粉色箭头所示。在两个力的作用下，海卫一的线速度减小，导致公转圆周运动的离心力克服不了海王星的引力，因此海卫一被拉向海王星。
思考：火卫一并非逆行，为什么也会逐渐靠近火星？
火星的自转周期是24小时37分，而火卫一的公转周期是8小时左右，也就是说火卫一的公转速度比火星自转快。
图2：火卫一潮汐作用示意图
火卫一对火星的潮汐作用同样会引起的潮汐隆起，由于火卫一公转更快，近端的隆起会落后于火卫一。潮汐隆起对火卫一施加的力如图2中的粉色箭头所示。在两个力的作用下，火卫一的线速度同样会减小，导致公转圆周运动的离心力克服不了火星的引力，因此火卫一被拉向火星。
一、在极端简化的模型下，地球内部的密度处处相等。试根据牛顿壳层定理，画出地球内部的重力加速度随距地心距离的变化图。
根据牛顿壳层定理，质量均匀分布的球壳1）对于球壳外部任意一点的万有引力可以等效为球壳质量集中在球壳中心时的万有引力；2）对于球壳内部任意一点的万有引力为零。
对于距地心距离为的球壳而言，所有距地心距离大于的球壳对于其上任意一点的万有引力为零，所有距地心距离小于的球壳对于其上任意一点的万有引力等效于半径为的球体质量集中在地心时产生的万有引力。因此，在距地心距离为的位置，地球重力加速度如下所示：
其中为万有引力常数，为地球密度。
地球半径为，地球表面重力加速度为，则万有引力常数表示如下：
代入万有引力常数，地球内部重力加速度表示如下：
二、事实上，地核密度较大（平均约11 g/cm3），且距地心半个地球半径的位置恰巧为地核与地幔的边界。能否计算得出这一位置的重力加速度？部分数据供参考：地球平均密度5.5 g/cm3，地表重力加速度9.8 m/s2。
根据牛顿壳层定理，在地核与地幔交界面上的任意一点受到的来自地幔及地壳的万有引力为零，来自地核的万有引力等效于地核质量集中在地心的万有引力。因此，交界面距地心距离为，该处的重力加速度如下所示：
其中为地核密度，代入万有引力常数及数据，
地核与地幔交界面的重力加速度与地面接近。
鑫淼 编辑 / 希言 校对
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