对常用大地坐标系间坐标转换方法的评价
来源：《测绘学报》2017年第4期
作者：祁玉杰，主要从事GNSS 数据精密处理研究
摘要 常用坐标系间的相互转换对于现代工程应用有着十分重要的意义。实现坐标转换，需要若干公共已知点。然而，实际工程应用中，公共已知点的坐标信息一般难以获取，尤其是点的高程信息。针对该问题，本文利用实际数据，比较分析了在公共点无高程信息时，常用大地坐标系间坐标转换的4 种方法( 四参数法、多项式拟合法、高程迭代法、改化坐标法) 在转换精度和其他方面的优劣。结果表明，4种方法都有着比较高的转换精度，而改化坐标法有着无需分带、单次迭代、仅需3 个公共点、精度较高、精度指标一致的综合优势。
随着CGCS2000 的启用，大量测绘成果将面临坐标转换至CGCS2000 的问题。如何实现坐标的高精度转换是个值得深入研究的课题。首先，由于技术手段的限制，我国此前建立的大地坐标系，如1954 北京坐标系和1980 西安坐标系等，存在着局部变形和系统累积误差，传统的坐标转换模型( 如Bursa 模型) 难以消除这些误差，因而无法实现高精度的坐标转换。其次， 1954 北京坐标系为平面坐标系统，其高程信息通常是未知的，而且由于年代久远、资料丢失等因素，导致在实际工作中无法或极难获取公共点精确的大地高信息，即无法获得公共点在1954 北京坐标系下精确的空间直角坐标，如果仍采用传统的Bursa 模型实现坐标转换，其转换精度将受极大影响。
对此国内学者作了许多不同大地坐标系间坐标转化的研究工作。成英燕等研究了适用于不同椭球的高斯平面坐标正反算的实用算法，丁士俊等进行了几种不同坐标变换方法问题的研究，成英燕等作了大尺度空间域下1980 西安坐标系与WGS-84 坐标系转换方法的研究。实际工程应用中，公共已知点的高程信息一般难以获取。因此在坐标转化时需要用无高程信息的坐标转换方法，如四参数法、多项式拟合法、高程迭代法、改化坐标法等。各种坐标转化法在转换精度、计算效率等方面各有特点，而且在实际的坐标转换应用中，相邻的两个公共点可能分布在不同的投影带内，若进行分带处理，会导致不同带内的精度指标不一致。本文利用实际数据，计算比较分析四参数法、多项式拟合法、高程迭代法、改化坐标法4 种坐标转化法的转换结果，得出改化坐标法相对其他3 种坐标转化法有着无需分带、单次迭代、仅需3 个公共点、精度较高、精度指标一致的综合优势。
1几种常用的大地坐标系间坐标转换方法
1. 1 四参数法
两个不同的大地坐标系平面坐标系之间转换时，可以采用四参数模型。在该模型中有4 个未知参数:两个坐标平移量( Δx，Δy) ，即两个平面坐标系的坐标原点之间的坐标差值; 平面坐标轴的旋转角度α，通过旋转一个角度，可以使两个坐标系的坐标轴重合在一起; 尺度因子k，即两个坐标系内的同一段直线的长度比值，实现尺度的比例转换，通常k 值几乎等于1。
通常至少需要两个公共已知点，在两个不同大地坐标系中的4 对x、y 坐标值，才能推算出这4 个未知参数，计算出了这4 个参数，就可以通过四参数方程组，将一个平面直角坐标系下一个点的x、y 坐标值转换为另一个平面直角坐标系下的x、y 坐标值。
1. 2 多项式拟合法
多项式拟合模型可以用来实现新旧坐标系之间大地坐标的转换，不需要公共点的高程信息，其中，采用最小二乘法来求取多项式拟合的系数。当多项式系数求解出来后，就可以使用该模型实现区域内任意一点的大地坐标在两坐标系之间的转换。一般二阶形式的多项式拟合模型方程为
式中，BΔ为新旧坐标系间纬度坐标增量; LΔ为新旧坐标系间经度坐标增量; a0、a1、…、a5为拟合纬度坐标增量BΔ的多项式系数; b0、b1、…、b5为拟合经度坐标增量LΔ的多项式系数; B = B1 - B0，L = L1 - L0，( B1，L1) 为公共点在旧坐标系中的大地坐标，( B0，L0) 为中心点在旧坐标系中的大地坐标，中心点可取公共点的平均位置。由于多项式拟合法在计算时有12 个参数，故至少需要6 个点才能进行计算。
1. 3 高程迭代法
首先，用公共点在新坐标系O2 - BLH 下的大地高H2，代替其在旧坐标系O1 - BLH 下的大地高H1，即此时旧坐标系下公共点的大地坐标为(
B1，L1，
1. 4 改化坐标法
该方法对已知点在新坐标系O2 - BLH 中空间直角坐标进行适当改化，即将其投影到新坐标椭球面上。通过新坐标系椭球面与旧坐标系O1 -
BLH椭球面上的点，实现两椭球面的局部区域拟合( H =H0或H = 0，其中H0为新坐标系下公共点大地高的平均值) ，实现坐标转换。具体思想如下:
①用在旧坐标系下公共点的B、L 和新坐标系下的H0计算
2转换结果比较分析
本文取位于我国华中地区纬度跨度和经度跨度约为4° × 7. 5°内的165 个公共点作为试验数据，数据中每10 个共点中选取一个公共点作为检核点，试验数据点位分布如图1 所示。
图1 试验数据点位分布( 其中五角星点为检核点)
试验数据点分布在19、20 带内，公共点具有1954 北京坐标系和CGCS2000 下的两套坐标，其中公共点在1954 北京坐标系下的坐标为高斯平面坐标，无高程信息，在CGCS2000 下的坐标为空间直角坐标。分别采用前文中介绍的4 种坐标转换方法进行坐标转换，先计算坐标增量趋势值，然后进行加权残差拟合。采用不同方法计算的内符合精度和外符合精度结果见表1 和表2。
尽管公共点无1954 北京坐标系下高程信息，4 种方法仍可以实现待求点1954 北京坐标系下的平面坐标与CGCS2000 系下的平面坐标的转换，但是坐标转换的精度取决于待转换区域的大小及坐标转换方法的选择。其中采用四参数法在不同投影带内结果的精度区别较大，20 带内点的残差小于0. 010 m的比例大于19 带内的比例，这是由于试验数据大部分处于19 带内，20 带的公共点所占范围较少导致的。残差的平均值均小于0. 004 m，残差 绝大部分小于0. 050 m。
表2 中4 种方法的残差全部小于0. 050 m，而表1中4 种方法的残差绝大部分小于0. 050 m，这是由于检核点的数目较少，小样本不足以完全反映整个试验区域。由表1 中的残差小于0. 010 m 的比例可知，多项式拟合法和改化坐标法的内符合精度比四参数法和高程迭代法的内符合精度高，并且多项式拟合法和改化坐标法的内符合精度在同一级别。而由表2 中的残差小于0. 010 m 的比例可知，多项式拟合法的外符合精度最高，四参数法在19 度带内的外符合精度最低，改化坐标的外符合精度比较高。对比表1、表2 中的残差小于0. 010 m 的比例可知，四参数法和改化坐标法的残差比例变化较大，这可能与两种方法采用的模型有关，也有可能是由于检核点的数目较少和检核点的位置选取所导致。四参数法是4 个参数的布尔莎模型，而改化坐标法中采用了七参数的布尔莎模型，这种旋转加平移的模型可能导致坐标转换后内、外符合精度变化较大。
图2 内符合残差标准差和残差模最大值
图3 外符合残差标准差和残差模最大值
图2、图3 分别列出了内、外符合结果的残差标准差和残差模最大值。由图2 可知，多项式拟合法和改化坐标法的残差标准差相同，x 轴方向都为0. 004
m，y 轴方向都为0. 003 m，并且相对于四参数法和高程迭代法，残差模最大值也比较小。再次说明了多项式拟合法和改化坐标法的内符合精度高。由图3
可知，四参数法20 带内的标准差在x 轴方向都为0. 003 m，y 轴方向都为0. 009 m，多项式拟合法为0. 009 和0. 008
m，改化坐标法和高程迭代法为 0. 012和0. 011 m。再结合4 种转换方法残差模的最大值的数据可知，四参数法在20
带内的外符合精度最好，其次为多项式拟合法、改化坐标法、高程迭代法，最后为四参数法在19 带内的精度。
3结语
本文利用实际数据，比较分析了在公共点无高程信息时，实现不同的大地坐标系间坐标转换的4 种方法: 四参数法、多项式拟合法、高程迭代法、坐标改化法在转换精度和其他方面的优劣。从数据统计结果可以看出，四参数法、多项式拟合法、高程迭代法和改化坐标法可以用于一般精度要求的坐标转换，对于4° × 7. 5° 的大区域，转换精度优于5 cm。其中用四参数法进行坐标转化时需要分带处理，在同一带内的点坐标转化精度一致，不同带内的点坐标转化精度不一致，并且四参数法对于小区域的计算精度明显高于对大区域的计算精度; 多项式拟合法有着较高的转化精度，转化时至少需要6 个公共点; 高程迭代法需要多次迭代才能尽可能地提高精度。而改化坐标法相对其他3 种坐标转化法有着无需分带、单次迭代、仅需3 个公共点、精度较高、精度 指标一致的综合优势。
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