带状测绘独立坐标系的确定

来源：《测绘技术装备》2016年第2期

作者：刘念，郝竹盈，许俊鹏，何云贵

摘 要：在修建、改建公路、铁路的时候，对于测绘工作者来讲，都会涉及到带状测绘坐标系的确定，带状测绘坐标系确定的不合适，会给后续的测绘、放样和竣工测量带来很大的麻烦。现从不同投影面高程的抵偿坐标系，通过坐标级联操作，最终建立一套带状测绘独有的坐标系，使得带状测绘不再频繁进行坐标转换，大大减轻了测绘人员的工作量。

关键词：带状测绘 投影面高程 坐标系

1、引言

众所周知，地球表面是一个不规则的、不可展平的复杂曲面的组合，而椭球面也是一个凸起的、不可展平的曲面。如果将地球表面上的元素(距离、方向)投影到平面上，由于地球表面到参考椭球面的、参考椭球面到平面的投影过程，都会带来不可避免的变形(距离、方向)，所以，在工程测量中，独立坐标系是所有前期设计、工程放样、后期监测的基础，因此为了不因为测绘工作而影响工程质量，测绘人员就需要解决一个根本问题：如何建立适当的平面坐标系，使得这些投影变形中的某一种变形(距离、方向)尽量减弱，甚至变形为零，其它变形又最小?

中国的测绘工作一般采用高斯克吕格投影。由于高斯克吕格投影是一种等角横轴切椭圆柱投影，是一种“保角投影”，所以以下所述的投影变形，仅指长度的投影变形，不存在方向(或者说是角度)的投影变形。

为了控制长度投影变形，目前常使用椭球膨胀法、椭球平移法、椭球变形法和移动中央子午线法。其中，椭球膨胀法、椭球平移法和椭球变形法主要控制高程归化改正，主要原因是使得椭球面与测区平均高程面(投影面)尽量接近，但对控制高斯投影变形的贡献微小，主要原因是横向坐标值变化较小，投影带边缘的横向坐标的数量值较大;移动中央子午线法主要控制高斯投影变形，横向坐标值的数量值较小。

以上四种方法，如果单独使用，在大地高为零的区域，也只能处理东西跨度不大于90km(投影变形的相对误差不大于1/40000)、40km(投影变形的相对误差不大于1/100000)的投影分带区域[1]。如何巧妙地利用这几种方法，处理东西长度不限制、测区高差不限制、投影变形满足要求的带状测绘成果，在施工放样和测图过程中不再频繁地进行坐标转换，一直是工程测绘人员一直寻求的方法。

2、高斯投影的长度变形分析

高斯投影是先将地面观测值归算到参考椭球上，然后再从参考椭球面归化到高斯平面上，在变换过程中，地面两点之间的平面距离将会发生变形，其大小按下式计算[3]：

　　(1)地面边长投影到参考椭球面的长度变形计算

　　(2)参考椭球面上的边长归化至高斯平面上的变形计算

　　综合(2-1)式和(2-2)式，高斯投影的长度变形可以写为：

以上三式中：S 表示地面上的平面边长;H 表示地面边的平均大地高;Y_m表示地面边两端点横坐标平均值，不含代号及500km 加常数;R_m表示参考椭球面在地面边中点的平均曲率半径。

从投影变形的原理上，根据分析(2-3)式可知，投影变形符合系统误差的定义、产生原因、特点等几个方面，所以投影变形属于系统误差。除此之外，投影变形还有其独特性，其变形大小随单一观测值(高程或横坐标)的变化而非线性加速变化。

经过试算，即使在中央子午线沿线(Y_m=0  )，参考椭球面边长归化至高斯平面的长度变形为零，如果地面边的高差大于160m，最终的高斯投影导致的边长变形也会大于2.5cm/km，所以在高差较大的测区，只取一个高程抵偿面，根本不能满足工程测量的要求;那么在高差较大的区域，根据地形起伏选取若干个高程抵偿面，也就是建立若干个抵偿坐标系，那就存在这几个高程抵偿面坐标系如何接边的问题。

3、带状区域抵偿坐标系的建立

目前，工程测量抵偿坐标系的建立，一般采用：选取测区中央的子午线为抵偿坐标系的中央子午线，选取测区的平均高程作为高斯坐标投影面，实际上就是同时综合采用了上述的移动中央子午线法和椭球膨胀法。这种坐标系的高斯投影残余变形可按下式计算：

式中：H_i为带状区域基础控制点的高程，以公路建设为例，一般为四等控制点的高程;H₀为测区平均高程;Y₀为抵偿坐标系的中央子午线在国家坐标系中的Y 坐标;Y_i为基础控制点在国家坐标系中的Y 坐标;R 为测区的地球平均曲率半径;S 为地面边的平面边长。

下面对(3-1)式进行分析：

　　(1)当H₀=0 、Y₀=0 时，△S 即为采用国家坐标系的投影变形;

　　(2)当Y₀=0，，△S 即为采用仅选取投影面高程(高程抵偿面)为测区平均高程、不变动中央子午线的抵偿坐标系的投影变形;

　　(3) Y₀=d 、 H₀=0 ，△S即为采用移动中央子午线、高斯投影面高程为零的抵偿坐标系的投影变形;

　　Y₀=d，△S即为既移动中央子午线、又变动投影面高程的抵偿坐标系的投影变形。

以上所述的抵偿坐标系的建立，是从理论上进行的分析，但在实际工作中，往往是选取整个带状区域或其中某一段带状区域中央的子午线作为抵偿坐标系的中央子午线，选取整个带状区域或其中某一段带状区域的平均高程作为抵偿坐标系的投影面高程。

在实际应用过程中，在计算控制点之间边长的投影变形时，由于相邻控制点之间的高差较大，对某些控制点来讲，与该点连接的地面边的投影变形符合要求，但是该点本身的Y 坐标的变形是超限的，也就是说，该点距中央子午线的距离的投影变形是超限的。

所以，我们在计算地面边投影变形的时候，不考虑实际的控制点之间的边长投影变形，而是计算每一个点距中央子午线的距离的变形，也就是Y 坐标的投影变形;实际上，可以认为是该点至中央子午线之间的边长变形。

　　式中的H_i-0指的是投影面高程。

不难看出，如果某控制点的Y 坐标的投影变形符合2.5cm/km 的要求，其在中央子午线同向的相邻边长的投影变形会符合要求。

这里要注意：如果地面边的两个控制点分别在中央子午线两侧(Y 坐标一正一负)，那么该边的两端点Y 坐标变形的绝对值之和不大于2.5 cm。

4、整个测区只有一个投影分带的情况

4.1 投影面高程的试算和选择

实际作业中，一般按照以下顺序进行抵偿坐标系的投影面高程的选择：

　　(1)选择CGCS2000 国家坐标系作为全测区GNSS基础控制点的坐标框架;

　　(2)选择测区中央的子午线作为本工程坐标系的中央子午线，坐标系的投影面大地高为零，进行GNSS 网的解算;

　　(3)利用(2)中计算的坐标，选择不同投影面高程，进行基础控制点坐标变形的计算，使得基础控制每点的坐标变形小于2.5cm/km(或1.0cm/km);

　　(4)根据(3)所得到的不同投影面高程，对相应高程的基础控制点进行坐标变换。

图1 每个基础控制点在不同高程抵偿面的理论每公里变形

注：图1 中虚线框中的点，应分别计算投影面高程分别为2000 米和2100 米的坐标变形，要求在两个投影面高程的投影变形均不大于2.5 cm/km。

4.2 不同投影面高程的抵偿坐标的级联操作

假设有H₁ 、H₂ ······H_m 等m 个投影面高程，那么实际上就有m 个抵偿坐标系，以前的做法是：在实际工作中，在相邻抵偿坐标系处，不管是在像控点测量、测图或施工放样过程中，都要进行坐标转换。

经过理论分析和实践，我们提出了一套坐标级联操作方法，在实际应用过程中完全不用进行坐标转换。这套级联操作的基本思想是：

　　(1)选择本工程带状区域某一个抵偿面高程的抵偿坐标作为基准坐标，不管是首端、中端或终端，都不影响最终的成果;

　　(2)对于有大分叉的带状区域，为了满足心理的安慰，一般选择带状区域某一分支的大分叉所在部位的抵偿坐标坐标为基准坐标;实际上，这样做对最终的成果没有任何影响;

　　(3)对于相邻投影面高程的抵偿坐标系分界处的控制点，分别计算其在相邻抵偿坐标系中的坐标;

　　(4)假如选择投影面高程为H₁ 的抵偿坐标系的所有点的坐标为基准坐标，在以下拼接过程中保持不变;

　　(5)对位于H₁与H₂投影面高程的两个抵偿坐标系的临界点k₁，计算其在H₁ 与H₂投影面高程的两个抵偿坐标系的两套坐标

和，然后计算：

　　(6)对投影面高程为H₂ 的抵偿坐标系的每个点的坐标 (i =1,2······ )，都进行坐标平移：

　　(7)对于投影面高程为H₃ 的抵偿坐标系与投影面高程为H₂坐标系的临界点k₂，计算：

　　(8)对投影面高程为H₃的抵偿坐标系的所有坐标，都进行平移：

　　(9)对后续直到投影面高程为H_m的抵偿坐标系的坐标，按照(7)和(8)的方法进行坐标操作;

　　(10)通过(7)-(9)的操作，将把不同投影面高程的抵偿坐标系的坐标，都“拼接”到同一个坐标系中，我们把这个“坐标系”称之为“拼接坐标系”。拼接坐标系中的各个点位的坐标，并不是同一个投影面高程的抵偿坐标系，而是有多个投影面高程的“拼接坐标系坐标”。

5、整个测区选择了多条投影分带的情况

　　(1)首先对位于不同投影分带的控制点进行各自投影分带的平面坐标计算，计算时各投影分带的投影面高程为零;当然，这个步骤要保证不同投影分带临界处有一个公共控制点，也就是说这个临界点有左右投影分带的两套坐标;

　　(2)选择某一个投影分带、某一个投影面高程的抵偿坐标系的坐标作为“基准坐标”;

　　(3)其它投影分带、其它投影面高程的抵偿坐标系的坐标，都通过其临界点，根据第四节中(7)～(9)所述的方法，进行相应的坐标平移;

　　(4)最终，所有控制点的坐标，都被“拼接”到了同一个所谓的“拼接坐标系”中。这里要强调的是，这个拼接坐标系，是一个包含多个投影分带、多个高程投影面的坐标系，与传统的一个投影分带、同一个投影面高程的坐标系相比，拼接坐标系是一个纯粹的数学坐标系，没有实际的地球物理意义。

6、结束语

　　(1)上述方法拼接坐标的获取流程如图2 所示。

图2 拼接坐标的获取流程

　　(2)拼接坐标系中的点位坐标，都是经过高斯投影计算的，所以任何两点之间的方位保持不变;

　　(3)拼接坐标系中的点位坐标，都是经过相应投影带和相应投影面高程的抵偿计算，所以每点的坐标变形和相邻点之间的投影边长变形，都能满足规范要求。

　　(4)这个拼接坐标系，仅有纯粹的数学意义，没有高程投影面的地球物理意义。

　　(5)实际应用过程中，利用拼接坐标系的坐标，可以直接作为像控点测量、图根点测量、测图、施工放样等的起算点，而不必考虑不同投影面高程的抵偿坐标系之间的坐标转换，大大减轻了测图人员和施工放样人员的工作量。

参考文献：

　　[1] 金立新，付宏平.法截面子午线椭球高斯投影理论[D].北京：北京交通大学，2012.

　　[2] 王美玲，付梦印.地图投影与坐标变换[M].北京：电子工业出版社，2014.

　　[3] 孔祥元，郭际明.控制测量学[M].武汉：武汉大学出版社，2006.

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