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拓扑绝缘体的神奇世界(入门篇)

2017-11-04 卢昌海 科研圈

拓扑绝缘体是凝聚态物理近几年的热点。这些材料拥有奇异的物理效应,即表面导电但是内部绝缘。那究竟什么是拓扑绝缘体?为何它拥有这种奇异的特性?


撰文 卢海昌


我们所说的拓扑绝缘体在概念上与普通的绝缘体是对立的。但拓扑相变可以让普通绝缘体变成拓扑绝缘体,也可以让一个类型的拓扑绝缘体变成另一种类型的拓扑绝缘体。


什么是拓扑相变


一般来说,物质的相与物质的对称性有着密切的联系。普通的相变意味着对称性的改变。举个简单的例子,水有三种常见的相:冰,液态水,水蒸气。冰具有晶体结构,一般呈现六角晶格。这种六角晶格拥有空间平移对称性,因为晶格是周期性的,此外还有旋转加镜像对称性。冰晶体的空间群为P63cm,对应的12种对称性不变操作参见下图。


晶体冰


晶体冰的空间群


当温度升到摄氏0度以上时,冰融化成水,水分子在液态水中的分布变得无序,氢键变少。液态水在温度升高至沸腾,或者在常温下蒸发时,便变成水蒸气,氢键基本不存在,水分子的空间分布更加无序和稀少。水蒸气基本上可以看成是各向同性反,满足在所有对称性操作下不变。从冰到水蒸汽,是一个各向异性到各向同性的过度,相变的过程就是对称性改变的过程。


另一个例子是Landau的铁磁相变——顺磁体冷却通过居里点由顺磁性变为铁磁性的相变。冷却过程中磁矩的整体方向改变意味着对称性的改变。


然而拓扑相并不依赖于材料的局部细节,如杂质等。准确的说,拓扑序并不是根据对称性破缺来定义的,它的定义依赖于拓扑空间的结构。


拓扑空间非常抽象,它是相空间与系统Hamilton量直积构成的底空间。相空间又被称作布里渊区,是因为晶体周期性而存在的电子动量空间。我们考虑d维晶体,由于周期性,它的相空间是d维圆环面。Bloch Hamilton量有2n个自由度(n是电子总数),包含了所有电子的能量、角动量、自旋等信息。在布里渊区的每一点,Bloch Hamilton量是长在这个点上的2n维向量,也就是布里渊面上的纤维丛。




最简单的情况是二维圆环面 T与自旋简并下的单电子Hamilton量的直积,如图所示。在一般情况下,相空间与Hamilton量的希尔伯特空间直积构成的空间是科学家们所研究的空间。拓扑绝缘体中的拓扑,便是这个空间的拓扑性质。而拓扑相变就是拓扑空间的拓扑性质发生改变。


举个简单的例子,二维情况下平坦的空间就是平面,平面可以连续变换成球面(除了无穷远的点以外,参考球极映射)。但是球面无法连续变换成“甜甜圈”,也就是圆环面(torus)。有一个洞的甜甜圈也无法连续变换成有两个洞的(double torus)甜甜圈。


连续变换是一个数学上的概念,可以简单的理解成扭曲变形,但是不能扎破,不能撕裂。



那么我们该如何刻画拓扑空间的拓扑性质呢?


如果一个闭合曲面能连续变换到另一个闭合曲面,我们就称这两个曲面是拓扑等价的(同一个拓扑相)。否则,我们认为他们拓扑不等价,需要相变才可以相互转换。为此,我们需要对表面进行分类。


在二维的情况下,所有闭合(紧致)曲面有无穷多拓扑相,其中比较典型的是球面,圆环面,克莱因瓶。它们三个的拓扑结构各不相同,我们需要用一个量来区分它们。直观上,我们可以认为圆环面有一个洞,但是球面没有洞,而克莱因瓶则可以理解成有负数个洞的曲面。所以洞的个数便是区分它们拓扑结构的量。



电子的转动操作与克莱因瓶:由于电子的自旋是半整数,当我们对电子进行旋转操作360度后,电子自旋没有回到原来的位置,而是反向。如果要想自旋回到原来的位置,则需要沿同一轴、同一方向再旋转360度。如果把电子的自旋波函数认为是克莱因瓶上的垂直于表面的法向量,也可以得到同一个结果,如图所示。


这个表征拓扑结构的量有很多名字,物理学家称它为拓扑序或者拓扑不变量,意味着只要空间的拓扑性质不变,那么这个量就不变。拓扑不变量把空间的拓扑性质和一个数字等价起来,简洁有效。二维情况下,严谨的数学家把这个量起名为欧拉-庞卡莱示性数。而在量子整数霍尔效应中,相空间的拓扑不变量就是陈数。


为什么拓扑绝缘体表面导电但内部绝缘


根据固体的能带论,不同原子壳层的电子相互作者用形成共价键。两个电子成共价键后,会形成分子轨道,分子轨道由原子轨道线性组合而成。线性组合后会有两种情况:成键态原子核间的电子云密度变大,能量比组合前的两个电子能量之和低;反成键态能量比组合前两个电子能量高,且原子核间的密度变小。最简单的例子是氢气,两个价电子占据了成键态,而反成键态未被占据。




无数个共价键形成的成键态和反键态构成连续的能带(能谱)。一般成键态被电子占据形成价带(满带),而反成键态未被电子占据形成导带(空带)。在绝缘体或半导体中,电子的满带和空带在能量上是分开的。它们之间的gap叫能隙(band gap)。如果我们对一个系统的Hamilton量进行连续的、绝热的调制,这不会改变这个系统的拓扑空间的性质。这个调制的过程可以理解为对一个闭合曲面进行压缩,扭曲等形变。在这个过程中,绝缘体的能隙不会闭合,即 band gap 不会在某一时刻变为0。任何普通绝缘体(拓扑平凡)都可以通过这个调制过程变成真空。根据Dirac电子海的观点,真空就是普通绝缘体,价带是正电子所填满的负能态。


真空:Dirac认为真空中的扰动会产生正反电子对,如同绝缘体中电子从价带跃迁到导带,形成电子空穴对一样。


并不是所有绝缘体都是拓扑平凡的。拓扑绝缘体便不能通过上面所说的调制过程变成真空,它们必须发生拓扑相变才能变成真空。不关闭能隙的操作不会发生拓扑相变,所以发生拓扑相变时,能隙必然是闭合的。拓扑绝缘体的表面是真空和拓扑绝缘体内部的分界面。在内部,拓扑空间是非平凡的,在真空,拓扑空间是平凡的,那么在分界面处一定发生了拓扑相变。因此表面处能带是闭合的,没有能隙,电子可以直接进入导带,在表面上自由移动。而在内部,能隙依然存在。所以拓扑绝缘体表面导电但是内部绝缘。


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