拓扑绝缘体的神奇世界（入门篇）

拓扑绝缘体是凝聚态物理近几年的热点。这些材料拥有奇异的物理效应，即表面导电但是内部绝缘。那究竟什么是拓扑绝缘体？为何它拥有这种奇异的特性？

撰文 卢海昌

我们所说的拓扑绝缘体在概念上与普通的绝缘体是对立的。但拓扑相变可以让普通绝缘体变成拓扑绝缘体，也可以让一个类型的拓扑绝缘体变成另一种类型的拓扑绝缘体。

什么是拓扑相变

一般来说，物质的相与物质的对称性有着密切的联系。普通的相变意味着对称性的改变。举个简单的例子，水有三种常见的相：冰，液态水，水蒸气。冰具有晶体结构，一般呈现六角晶格。这种六角晶格拥有空间平移对称性，因为晶格是周期性的，此外还有旋转加镜像对称性。冰晶体的空间群为P63cm，对应的12种对称性不变操作参见下图。

晶体冰

晶体冰的空间群

当温度升到摄氏0度以上时，冰融化成水，水分子在液态水中的分布变得无序，氢键变少。液态水在温度升高至沸腾，或者在常温下蒸发时，便变成水蒸气，氢键基本不存在，水分子的空间分布更加无序和稀少。水蒸气基本上可以看成是各向同性反，满足在所有对称性操作下不变。从冰到水蒸汽，是一个各向异性到各向同性的过度，相变的过程就是对称性改变的过程。

另一个例子是Landau的铁磁相变——顺磁体冷却通过居里点由顺磁性变为铁磁性的相变。冷却过程中磁矩的整体方向改变意味着对称性的改变。

然而拓扑相并不依赖于材料的局部细节，如杂质等。准确的说，拓扑序并不是根据对称性破缺来定义的，它的定义依赖于拓扑空间的结构。

拓扑空间非常抽象，它是相空间与系统Hamilton量直积构成的底空间。相空间又被称作布里渊区，是因为晶体周期性而存在的电子动量空间。我们考虑d维晶体，由于周期性，它的相空间是d维圆环面。Bloch Hamilton量有2n个自由度（n是电子总数），包含了所有电子的能量、角动量、自旋等信息。在布里渊区的每一点，Bloch Hamilton量是长在这个点上的2n维向量，也就是布里渊面上的纤维丛。

最简单的情况是二维圆环面 T² 与自旋简并下的单电子Hamilton量的直积，如图所示。在一般情况下，相空间与Hamilton量的希尔伯特空间直积构成的空间是科学家们所研究的空间。拓扑绝缘体中的拓扑，便是这个空间的拓扑性质。而拓扑相变就是拓扑空间的拓扑性质发生改变。

举个简单的例子，二维情况下平坦的空间就是平面，平面可以连续变换成球面（除了无穷远的点以外，参考球极映射）。但是球面无法连续变换成“甜甜圈”，也就是圆环面（torus）。有一个洞的甜甜圈也无法连续变换成有两个洞的（double torus）甜甜圈。

连续变换是一个数学上的概念，可以简单的理解成扭曲变形，但是不能扎破，不能撕裂。

那么我们该如何刻画拓扑空间的拓扑性质呢？

如果一个闭合曲面能连续变换到另一个闭合曲面，我们就称这两个曲面是拓扑等价的（同一个拓扑相）。否则，我们认为他们拓扑不等价，需要相变才可以相互转换。为此，我们需要对表面进行分类。

在二维的情况下，所有闭合（紧致）曲面有无穷多拓扑相，其中比较典型的是球面，圆环面，克莱因瓶。它们三个的拓扑结构各不相同，我们需要用一个量来区分它们。直观上，我们可以认为圆环面有一个洞，但是球面没有洞，而克莱因瓶则可以理解成有负数个洞的曲面。所以洞的个数便是区分它们拓扑结构的量。

电子的转动操作与克莱因瓶：由于电子的自旋是半整数，当我们对电子进行旋转操作360度后，电子自旋没有回到原来的位置，而是反向。如果要想自旋回到原来的位置，则需要沿同一轴、同一方向再旋转360度。如果把电子的自旋波函数认为是克莱因瓶上的垂直于表面的法向量，也可以得到同一个结果，如图所示。

这个表征拓扑结构的量有很多名字，物理学家称它为拓扑序或者拓扑不变量，意味着只要空间的拓扑性质不变，那么这个量就不变。拓扑不变量把空间的拓扑性质和一个数字等价起来，简洁有效。二维情况下，严谨的数学家把这个量起名为欧拉-庞卡莱示性数。而在量子整数霍尔效应中，相空间的拓扑不变量就是陈数。

为什么拓扑绝缘体表面导电但内部绝缘

根据固体的能带论，不同原子壳层的电子相互作者用形成共价键。两个电子成共价键后，会形成分子轨道，分子轨道由原子轨道线性组合而成。线性组合后会有两种情况：成键态原子核间的电子云密度变大，能量比组合前的两个电子能量之和低；反成键态能量比组合前两个电子能量高，且原子核间的密度变小。最简单的例子是氢气，两个价电子占据了成键态，而反成键态未被占据。

无数个共价键形成的成键态和反键态构成连续的能带（能谱）。一般成键态被电子占据形成价带（满带），而反成键态未被电子占据形成导带（空带）。在绝缘体或半导体中，电子的满带和空带在能量上是分开的。它们之间的gap叫能隙（band gap）。如果我们对一个系统的Hamilton量进行连续的、绝热的调制，这不会改变这个系统的拓扑空间的性质。这个调制的过程可以理解为对一个闭合曲面进行压缩，扭曲等形变。在这个过程中，绝缘体的能隙不会闭合，即 band gap 不会在某一时刻变为0。任何普通绝缘体（拓扑平凡）都可以通过这个调制过程变成真空。根据Dirac电子海的观点，真空就是普通绝缘体，价带是正电子所填满的负能态。

真空：Dirac认为真空中的扰动会产生正反电子对，如同绝缘体中电子从价带跃迁到导带，形成电子空穴对一样。

并不是所有绝缘体都是拓扑平凡的。拓扑绝缘体便不能通过上面所说的调制过程变成真空，它们必须发生拓扑相变才能变成真空。不关闭能隙的操作不会发生拓扑相变，所以发生拓扑相变时，能隙必然是闭合的。拓扑绝缘体的表面是真空和拓扑绝缘体内部的分界面。在内部，拓扑空间是非平凡的，在真空，拓扑空间是平凡的，那么在分界面处一定发生了拓扑相变。因此表面处能带是闭合的，没有能隙，电子可以直接进入导带，在表面上自由移动。而在内部，能隙依然存在。所以拓扑绝缘体表面导电但是内部绝缘。

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