拓扑绝缘体的神奇世界（进阶篇）
撰文 卢海昌（剑桥大学电子工程系博士）
张可欣（剑桥大学物理系博士）
霍尔效应“家谱”
经典霍尔效应
如图所示，将一个长方体暴露在z方向的匀强磁场中，x方向通电。由于洛伦兹力，电子会向左侧偏移并聚集在长方体左侧边界处。当左侧聚集了足够多的电子以后，形成的y方向的电场可以平衡洛伦兹力,那么电子便会延x方向流动。
量子整数霍尔效应
1980年冯克利青发现了量子整数霍尔效应：将硅和氧化硅组成的MOSFET二维电子气体暴露在低温（1.5K）在垂直Z方向强磁场（18T）下，霍尔电导σxy与磁场强度的关系图中出现平台，横向电导σxx与磁场强度的关系图中出现尖峰。平台和尖峰出现在同一个磁场强度下。随着磁场的增强，绝缘体的电导在平台处发生转变。电导以某个最小电导单位的整数倍增加。增加磁场会导致拓扑相变。在霍尔电导跃变处，发生拓扑相变。
*霍尔电导是电导张量的xy分量，x方向的电流密度除以y方向的电场强度。横向电导是电导张量的xx分量，x方向电流密度除以x方向电场强度。
关于为什么电导必须是某个最小电导单位的整数倍，请点击“阅读原文”参看附录。
我们直接给出结论，量子化电导的表达式是
其中最小电导单位便是e2/h，霍尔电导必须是它的整数倍。整数N与体系的Berry相位有关（见附录，这个整数就是体系的拓扑不变量，称为第一陈数，当垂直磁场从0逐渐增加，第一陈数从0跃变到1，再跃变到2…，每一次的跃变就会发生拓扑相变。
量子反常霍尔效应
这里“反常”的意思就是在不加外磁场时也会有霍尔效应的情况。1988年Haldane提出了具有反常霍尔效应的模型。Haldane考虑具有反铁磁衬底的石墨烯模型，这个模型中空间反演对称性和时间反演对称性都会被打破。空间反演对称性的打破是由于Haldane将一个原胞里的两个原子规定了不同的化学势，而时间反演对称性的打破是由于引入了反铁磁，即原胞中的两个原子的磁矩反向。因为整个原胞没有磁通量但是每个格点有磁通量。除此之外Haldane模型还要求:
1. 理想二维体系。
2. 没有电子自旋以及自选轨道耦合，没有相对论效应。
Haldane模型的局限性在于电子不可能没有自旋且真实世界里不存在理想二维晶体，即便如此Haldane模型依然有很重要的参考价值。
*石墨烯不是理想的二维晶体：根据Mermin-Wagner定理，在空间维数小于等于2且只有短程相互作用的系统中，连续对称性在非零温度下不会自发破缺。空间平移对称性是最典型的连续对称性，晶体的形成（结晶）由于有了周期性因此破坏了连续的空间平移对称性，只保留了离散的空间平移对称性（按晶格常数的整数倍平移）。石墨烯的出现貌似违背了这一定理。然而石墨烯中的热涨落是长程相互作用。由于热涨落的存在，石墨烯中存在缓慢且稳定增长的原子间距波动，这种空间褶皱使得系统熵增加，能量降低，并且有效抑制热涨落。Peter Kiem指出”通常将Mermin-Wagner定理解释为在二维系统中根本不存在任何晶体是错误的“。在几百个原子尺度上的确能形成晶体，但是随着尺度增大，石墨烯只是准二维晶体，既有褶皱的三维晶体。图中显示了足够长距离后，石墨烯格点的位置偏离了完美格点的位置。Haldane模型中没有长程相互作用，且发现自发性连续对称性破缺，因此在真实世界中Haldane模型无法严格实现。
我们直接给出结论，在Dirac点（相空间K点）处能隙闭合，如图所示。在系统两次量子化下的Hamilton量下有参数M为原胞中两个碳原子对称破缺项，t2为次邻近格点即同一磁矩方向之间的原子的跳迁项，φ是次邻近跳迁项的相因子。在Dirac点处这三个参量满足关系：
因此我们可以解出拓扑相图，拓扑相的边界便是布里渊区的K点和K’点，至于边界两边的拓扑不变量（第一陈数）如何取，我们直接给出结论，这里第一陈数只能取0,1，-1三种。感兴趣的读者可以参看Haldane的文章。
第一陈数的几何直观
相空间的Hamilton量是长在相空间曲面（流形）上的向量（纤维丛）。最近发表在nature news的文章形象直观的展示了二维情况下的第一陈数，即曲面上的向量的旋。图中圆环的表面没有旋，因此是拓扑平凡的绝缘体。这个所谓的旋其实是矢量的卷绕数，winding number。图中给出了winding number为0,1，-1的情况。我们发现在一个没有旋的矢量场中可以生出一对winding number为1，-1的旋，如同真空中可以激发出正反电子一样。两个winding number相反的旋也可以碰撞在一起最后“湮灭”。无论局部怎么激发这鞋正旋和反旋，系统整体的winding number不变。它不依赖于局部细节，只和拓扑空间的性质有关。
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图中所看到的是最简单的情况，二维布里渊区，Hamilton量是二维希尔伯特空间矢量。然而Hamilton量一般有无穷多个自由度，因此拓扑空间的winding number无法直观的观察到。但是陈数或者winding number是同伦不变的。当我们把物理上的拓扑空间映射到数学上的一个高维的闭合曲面加一个奇点上，winding number不变。由此我们简化了问题，winding number是奇点产生的场穿过这个高维闭合曲面的通量。图中给出了Haldane模型的相图和与之对应的winding number。
*数学家们证明了winding number等价于berry曲率流的磁通量，也等价于TKNN不变量。
分数量子霍尔效应
之前讲整数量子霍尔效应时忽略了电子与电子相互作用，因为有杂质的存在，电子-杂质相互作用更重要。如果在纯净的样品中测量霍尔电导会发现电导不仅可以取的整数倍，还可以取分数倍。1982年崔琦，Stormer用高纯度AlGaAs/GaAs异质结在极低温（85mK）和强磁场（0.028T）下观测到了分数霍尔效应。在电子-杂质相互做变得很小时，电子-电子相互作用变得很重要，在强关联体系下，应该用多体的波函数求解电导。Laughlin给出了分数电荷的准粒子交换统计理论，解释了1/3电导。本文不作详细介绍。
量子自旋霍尔效应
量子自旋霍尔效应中没有外加磁场，考虑电子自旋。2005年，Kane和Mele研究了受时间反演对称性约束的绝缘体。他们考虑了类似于Haldane的模型，加上了自旋为二分之一的自旋轨道耦合系统。自选轨道耦合项在时间反演下不变的。第一陈数在时间反演对称的体系中是零，因为Berry曲率中的磁场项在时间反演变换下反号。第一陈数为零并不代表体系是拓扑平凡的的，考虑了自旋和自选轨道耦合以后我们用新的拓扑不变量标定。
*时间反演变换并不意味着时间的倒流，而是运动方向的倒转，所以并不违背因果律。由于时间反演算符是反幺正的，因此它并不导致某个守恒量，而是导致一个反应过程与其逆过程的概率存在一定联系，还可能导致某种选择定则和能级简并，如Kramer简并对。
量子自旋霍尔效应的两大特点是Kramer简并对和手性边缘螺旋态的存在。时间反演对称性的约束起着至关重要的作用。
1930年，Hans.Kramer发现对于任何一个受时间反演约束的自旋为半整数的系统来说，所有的能级都至少存在一个简并对。什么是简并对呢？当我们进行时间反演变换时，电子的运动方向被反转，自旋也变为相反方向，但是电子的能量不变。这个电子与进行变换前的电子就组成了一对简并对。简单来说，就是由于T-1HT=H，所以当H|n>=En|n>，HT|n>=EnT|n>。布里渊区中，一条能带上每个k点的电子都有一个与之对应的简并对，时间反演变换后动量和自旋反号，这个简并对的晶格动量为-k，两者能量一样，自旋相反。
如果系统的布里渊区本身不是镜面对称，简并对能带在同一个k点的能量就不一定相同。用3维拓扑绝缘体Bi2Se3来举例，Bi2Se3的布里渊区本身是镜面对称的，所以它的bulk里所有简并能带都是重叠的。但是由于Bi2Se3表面没有镜面对称保护，它的表面态的Kramer 对是分开的，只有在TRIM点（TRIM点是对于简并对晶格动量相同的点，比如原点和布里渊区的边界点）才是简并的。虽然Kramer简并对是拓扑绝缘体的一个先决条件，但是并不是所有时间反演保护的系统都是拓扑绝缘体。图（a）和图（b）分别展示了一个拓扑数平凡（一个普通绝缘体）和一个拓扑数不平凡（拓扑绝缘体）的表面态能带。一个拓扑绝缘体的表面态的导带和价带两对Kramer简并对在TRIM互相交叉，互换了他们的对子，所以表面态的导带和价带就被连结起来形成类似狄拉克锥的导电结构。
表面态的电子可以导电，但是它们的运动方向和自旋是联系起来的。因为它们互为Kramer简并对。在Kane和Mele的模型中，表面态可以用下面这张图来表示。我们看到上下表面导电的电子运动方向和自旋是绑定的，并且同一表面上向左移动的电子和向右移动的电子自旋相反。这个现象被称为手性边缘螺旋态。而这种表面态的电子电导要比一般电子高。其原因在于手性边缘螺旋态无法发生背散射。所谓背散射是指电子被杂质散射，运动方向反转180度。我们可以把这个想象成电子绕着以杂质为中心，z方向旋转了180度，但是实空间的转动并不会作用到电子自旋的內禀空间，因此电子自旋并没有发生改变。根据手性边缘螺旋态，运动方向反转的电子的自旋必须也反转，所以背散射过程是被禁止的，电子的导电性提高。
我们发现了哪些拓扑绝缘体材料
听了前面的介绍，读者们一定对拓扑绝缘体有了一些理论上的理解，现在让我们来了解下现实中的拓扑绝缘体材料。
CdTe/HgTe/CdTe 量子阱是第一个被实验验证的二维拓扑绝缘体，它是由在两层CdTe材料中间叠加一层HgTe构成的。由于HgTe的量子势低于CdTe，两种材料相邻的界面上会形成一个量子阱，原本可以在三维空间自由移动的电子便被困在这个二维的界面上。当我们不断增加中间HgTe材料的厚度，材料的性质就会发生改变，由一个普通的绝缘体变为一个拓扑绝缘体。让我们从原子层面来理解下这种变化。Hg和Te都是原子数较大的元素，除了通常的电子和原子核的相互作用外，原子数越大的元素自旋-轨道耦合作用也越强。在大部分半导体材料里，能量最低的导带和能量最高的价带分别是由s轨道电子和p轨道电子构成的，而耦合作用的能量大小正比于电子轨道的轨道角动量，s轨道的角动量为零，p轨道的角动量为一，所以只有p轨道会受到自旋-轨道耦合作用的影响，轨道的能量被抬高。在HgTe里，p轨道构成的价带由于自旋-轨道耦合的影响能量高于了导带，所以导致了图中所示的导带价带互换，产生了拓扑相变。
在2009年，Bi2Se3被证实是一种三维拓扑绝缘体材料。它的表面态接近于一个完美的狄拉克锥（如下图）。它是由Bi和Se两种材料间或堆叠形成的，每五层被称为一个quintuple layer，这是它的单位晶胞。每一层中Bi或Se原子都是按照等边五边形排列的。和CdTe/HgTe/CdTe 量子阱的情况类似，由于Bi和Se原子受自旋-轨道耦合的影响较大，来源于Bi的导带能量低于来源于Se的价带能量。两条能带交叉导致了拓扑相变。
作者简介
卢海昌，2014年毕业于北京大学电子系，现剑桥大学电子工程系博士。主要研究方向是2维电子材料第一性原理计算。
张可欣，2014年毕业于剑桥大学nature science系，现剑桥大学物理系博士。主要研究方向是拓扑绝缘体计算。
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