流动空间| Rheotomic曲面几何设计
什么是曲面？
这些就是几何学中的Rheotomic曲面
根据不同点源数等势线所形成的Rheotomic曲面
在Rheotomic曲面中，Rheo 的意思是“流动的”，Tomos的意思是“切割或者切片（在X线断层摄影术中一样）”。这些曲面的水平剖切面符合二维拉普拉斯算子流的动态等势线，伴随着高度映射至时间维度。这类曲面是完全相互嵌套而且曲面完整绵延连续的。这篇文章中会利用一些独特的几何特性来展示一种数学生成该曲面的原理，并使得它们同样完全适用于建筑空间的使用。这些曲面在生形过程中会一些有趣的“副产品”，通过一种新颖并简单的方式从线流中制作适形网格，成为曲面在建筑中的结构原型。
倾斜空间概念的提出
在20世纪60年代克劳德・帕郎（ClaudeParent）与保罗·维利里奥（Paul Virilio）在其作品“倾斜的功能”中提出了一个全新的建筑学概念“流通可居住性”——建筑空间不再是基于常见的水平与垂直体系，而是在斜坡上。他们旨在消除地面与垂直元素的隔离，如楼梯等。
“楼板是建筑中最终能被显露出来的元素”，这是问题的关键。建筑一直都是在关注墙体、柱子、屋顶等……然而被忽略的则是楼板……建筑在这种情况下类似于一种舞蹈艺术，它的价值只有当其与身体相融合，就像帕拉迪奥大楼梯与建筑自身融合一样才能够得以实现，这也是建筑得真谛。
由于重力影响很难到达垂直墙体的任意角落，因此彻底抛弃这种垂直围合概念是一件十分必要的事情，然后通过可及倾斜面去定义可居住的空间，进一步激发可使用曲面的范围。
分区或垂直的墙体有正面、反面截然不同的特性，为了消除这种特征，一种水平与倾斜结合的平面概念提出，只有上面与下面，表面与腹腔之分。在倾斜面上设置结构，确保建造面（除了底面）的每一个部分都是可居住和可到达的，真实可居住空间的范围将会巨大增加。
可以看出Rheotomic曲面具有倾斜空间蔓延可达特性
几何曲面的空间探究
受到这些颇具潜力的想法启发，人们往往会去创造一种动感与超三维空间的建筑。但是在草图构思阶段则会发现一些问题——一些斜面下尖锐空间、大面积陡峭区域等缺乏足够的结构原理与可被使用性。而这一系列问题都可以通过Rheotomic曲面的应用下迎刃而解。
在过去的一二十年内，波簇曲纹曲面和单曲面建筑方案已经有了不少先例，这一切大部分归功于现代3D软件的应用，同时也与德勒兹的“光滑vs条纹空间”理论相关联。具有结构潜力的双曲纹曲面也逐渐开始被应用，例如坎德拉（Candela）薄混凝土壳体。
关于这些曲面的现代知识都归功于数学巨匠黎曼（Riemann）与高斯（Gauss）的研究，他们关于流形和曲率的概念从根本上改变了我们对空间的思考方式，并在爱因斯坦的相对论中扮演着重要的角色。如果一个建筑蕴含了这些概念想法，那么可以认为这是一种能够表达世界观的作品之一。
极小曲面（曲面的平均曲率为0，接近于肥皂膜形式）是一种由于计算机技术发展而有着显著深入研究发展的数学领域。使这些曲面可视化的新技术使得许多漂亮的新案例得以挖掘，它们的外型可以引发一种迷人的实与空的对比区分感。
不同公式规则下的各类极小曲面
这些曲面的形象自然引起了建筑师的兴趣，追溯至20世纪70年代建筑师就试图将这些曲面引入至建筑设计中（见皮尔斯（Pearce）与加布里埃尔（Gabriel））。来自三维结构重复的极小曲面——三周期极小曲面（TPMS）例如螺旋二十四面体（Gyroid）和与其相关的P与D曲面已经引起了特别关注。然而建筑师基于这些概念的尝试也会面临以下问题：一是这些曲面都涉及了令人生畏的数学关系。参数化模型的普及意味着建筑师经常运用一些由简单的依据u、v而给出的x、y、z函数运算得到的曲面，却很少面对更高级的，如描述极小曲面数学关系的维尔斯特拉斯椭圆函数（Weierstrass elliptic functions）等。另外一个问题就是它们的对称性。极小曲面既是一个完形单体，也是由无穷无尽的同一重复单元组成。为了能够应用于建筑，几何系统需要一种灵活适应度，一种能够根据不同输入值而变化的适应能力。
通过边沿轮廓确定下生成的极小曲面座椅
所以对于建筑师而言需要拒绝纯数学形式，对曲纹曲面通过一些技巧将它们用一种自由的方式进行控制运用。如果建筑师对他们所使用的工具并没有真实的操控性，那他们的作品也仅仅算是一种拼贴或者模仿。没有真实的数学理论支撑的话，当建筑考虑到结构性能与建造可实施性时很容易陷入死穴。正如伟大的物理学家理查德·费曼（Richard Feynman）所言：“伟大的建筑师如同一位数学家”。一个人如果不懂数学的话，那么他很难对自然的美、灵魂深处的美有真正的感知。如果想学习自然，欣赏自然，必须能够去懂得自然的语言。她（自然）仅仅会在形式中透露她的信息，我们需要做的就是对其进行阅读。虽然这项工作是无比繁重的，但是它所带来的惊喜会无比巨大且无法预料。尤金·维格纳（Eugene Wigner）在其著名文章《自然科学中数学的非理有效性》（The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the NaturalSciences）中认为数学经常会很不可思议地回馈给我们远比我们付出的更多：
“数学在自然科学研究中的巨大作用往往更接近于一个谜，没有任何合理的答案能解释这个迷…物理学家的数学公式往往可以对不可思议的事件给出现象的精确描述。这就说明数学语言更应被推崇为我们能够交流叙述的唯一的语言，甚至可以确定地说，是正确的语言。”
Rheotomic曲面的层析成像
建筑研究中探索各种几何形状时，经常会使用层析成像技术（截取3D物体的断面图像，通常在医学中使用）——截取一部分三维空间内的实体，随着时间变化将其进行二维图像动态映射，这样能够充分地描述物体的形式。这个技术起源于对与非平坦地面与非垂直墙体关系的建筑图纸表达。每张截平面随着截取高度的变化而具有细微的差别，以此来显示一种连续变化感。
层析结果为一种连续性的几何空间
将旋转体进行裁剪并镜像形成一个新的曲面体，通过层析成像动画技术来实现“可到达的连通”。
Rheotomic曲面的生形原理以及其特殊的对称性
设计师在使用光滑或极小曲面时会遇到一个问题：尽管曲面是连续的，但是在没有上下连接的工具辅助下一个，人很难从一个点到达与曲面空间相邻的另一个点。
空间的不得达性
这个问题会导致产生例如伊东丰雄在台中大剧院中提出的悬浮楼梯等看上去很荒谬的解决方法
台中大剧院的悬浮楼梯概念
台中大剧院的洞口需要有栏杆保护才能防止人跌落，这样的话似乎使得曲纹曲面成为了一个问题而不是一种解答
台中大剧院的洞口都需要相应的扶手保护
而在Rheotomic曲面中，螺旋面相比于螺旋楼梯其应用优势在于不同高度上仍涵盖了同一水平的扇面，这样可将它们用一种可抵达的方式连接起来。这样的巧妙解决都归功于Rheotomic曲面——在拉普拉斯方程中涡旋与螺旋面之间取得了等价效果，我们可以使用叠加原理实现任何来自于顺时针与逆时针的螺旋面，并把它们组合成一个连续的曲面。
Rheotomic曲面的延续性
如果一个曲面上的线能够从顶部绘至底部而不需要任何转换设施的话，那么这两个点则是一种可到达的连通。从层析成像动画角度来看，像一些链接平面的悬链曲面等曲面悬挂物会带来一个问题，就是这样的方式意味着等高线运动的终断并且方向反向。所以为了保证曲面部分是可到达连通的，那么等高线的运动必须一直是连续流动型。
Rheotomic曲面的的应用
结构性能探究
使用拉普拉斯方程可生成一种平滑且连续、无需任何垂悬部分曲面。在流动的奇点处曲面转为垂直，但是由于平面上只有一个点且没有任何一边是下沉状态，所以下行最直接路径一定位于曲面上。这点对于结构而言十分有用，建筑平均荷载会下传至曲面上，在FEA结构分析程序中一个结构简略测试表明，荷载更倾向于通过旋转体的纵轴进行垂直传递。
Rheotomic曲面流线叠加生成的网格
在Grasshopper中对Rheotomic曲面流线叠加生成的模拟
Rheotomic曲面展示出其本身具有非常有用的结构特质，但是很显然的这种纯描述形式并不能以一种很理想的方式解决荷载结构问题，因为它们在远离涡旋的地方成为了渐进平面。也许他们可以通过悬链线的方式加以优化，或者可以结合每个涡旋的点源而给出必要的曲率。但是其共形映射（Conformal maps）所带来的图案结果给不规则空间带来一种新的“网架”结构可能性。这些排列的交互垂直曲线自身十分有趣，正是因为它能够模拟结构中的主应力作用，各个领域的工程师都已经着手于使用这些线条进行设计。
在《生长与体形》（On Growth andForm）一书中，达奇・温特沃斯・汤普森（D’ArcyWentworth Thompson）引用了库尔曼起重机，它的体型来源于骨小梁的截面曲线。同样的，米歇尔桁架——一种通过拓扑优化过程得到的理想的结构，展示了编织曲线的特征。
也许最令人满意的是皮尔・路易基・奈尔维（PierLuig Nervi）在他的加蒂羊毛工厂（Gatti Wool Mill）的天花板结构加强支撑中使用了这些“力场线”。
同时也可以发现正形投影得到的曲线和circle packing算法有着千丝万缕的关系，说明数学几何的相通性，在实际工程中，也可以通过这种方法来进行类似的算法模拟。
以Circle Packing为工具对Rheotomic曲面流线叠加进行模拟
或是将Rheotomic曲面的流体线展现为一种空间三维的结构体系，或是对其进行正形投影而得到编织交网，对楼板的梁体系进行重新定义，可以说明的是，Rheotomic曲面的数学特性使得其在构建空间设计的同时仍可以很好的兼顾结构作用。这也正如前文所说，如果建筑师对他们所使用的工具并没有真实的操控性，那他们的作品也仅仅算是一种拼贴或者模仿。没有真实的数学理论支撑的话，当建筑考虑到结构性能与建造可实施性时很容易陷入死穴。Rheotomic曲面的探究果然给了我们更多的意外惊喜。
Rheotomic曲面流线的空间结构实践
返回到之前所提到的倾斜建筑概念带来的问题，我们会发现在Rheotomic曲面中都已经得到解决：
没有尖锐空间——底面到天花板高度到处都是连续的
更少的陡峭区域——在更大的曲面区域内平均坡度已经小至难以察觉（曲面上任何一点的倾斜度与其至中垂轴的水平距离成反比）
结构合理——研究表明它们的数学性质给予了它们内在的结构特征
在Rheotomic曲面概念启发下，同济大学三年级动漫博物馆数字设计studio也有相应概念的研究作品，基于环境场线与Rheotomic曲面空间的复杂性探究
对基地的声环境场线进行参数模拟探究
对Rheotomic曲面局部截选并做参数选形研究分析
基于Rheotomic曲面下的建筑空间分解轴测
基于Rheotomic曲面下的建筑剖面分析
模型照
总结：
Rheotomic曲面结合了建筑的可用性与动感性，同时也兼顾了结构性能，在现代数学中有着漂亮与深刻内涵的特征。它们在高级几何的利用中并非仅是成为一个华丽的屋顶或装饰性的图案，而是作为一个能够生成迷人空间的基础生形器，所产生的空间避免了落入基于笛卡尔方块坐标系下平庸乏味的平直与正交体系俗套。
王祥 同济大学建筑与城市规划学院 硕士研究生
部分文字图片来源参考自：
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