浅谈“分离法”与“数形结合”在解题中的应用

摘 要：数学思想方法贯穿于整个高中数学的教学之中。数学思想方法也是新课程教材知识体系的灵魂。如何将数学思想方法灵活有效的应用到高中数学教学之中，是每一个数学教师关心的重要内容。本文通过典型的例题设置，通过“分离法”，结合函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，介绍了“分离法”在解决数学问题中的应用。

关键词：数学思想方法、函数与方程、数形结合、转化与化归、分离法

一、相关数学思想与方法

在《普通高中数学课程标准（实验）》[1]中明确指出，在数学教育中要使学生“体会其中所蕴含的数学思想方法，以及它们在后续学习中的作用”。《标准》中强调了数学思想方法的重要性。在高中数学教学过程中，不仅要重视学生基本知识的获取，更要注重学生对数学思想的理解及对基本方法的掌握，从而获得良好的数学素养。

其中，函数与方程思想是数学的基本思想之一，对学生数学思维的发展和智力的发展有着非常重要的影响[2]。函数的零点实质就是所对应方程的根。而函数是高中数学学习的重点和难点，概念抽象、知识信息广泛、知识难度大，因此对数学函数的理解和掌握一直是学生遇到的较为困难的问题之一。

而数形结合思想对解决抽象问题提供了很好的指导。著名数学家华罗庚先生曾对数形结合思想有过精彩入理的论述[3]：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。同时，数形结合可以更高效的将数学思维和方法传达给学生，使学生更容易接受和理解[4]。

从思维理论的角度来讲，数形结合就是使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图形性质的相互转化，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题[5]。

而“分离法”的基本思想是将紧凑的数学符号表达或者混合在一起的几个变量相互分离，通常包括“分离常数法”和“分离参数法”。分离的目的是为了方便研究单个变量构成的函数的特性。

二、“分离法”与函数与方程思想、数形结合思想结合例证

本文通过对“分离法”在数学解题中的应用，将函数与方程思想、数形结合思想贯穿于其中，重在阐释数学方法在解题中的指导性作用，使学生体会数学的美妙之处。

上述问题中，基于将两个字母 x 和 m 分离的思想，采用函数的思想，将不等式在指定区间上恒成立的问题转化为函数的值域问题，通过函数图像，结果一目了然. 

本题中，采用分离法，将所求字母分离出来，将恒成立问题转化为求代数值最值问题，利用基本不等式得到结果

本题中，同样对含有两个字母的式子采用“分离法”，将其中一个字母分离，将函数零点个数问题转化为函数图像的交点个数问题，利用图像，从而得到解决.

此例中，解法一除了分离了字母m之外，在充分观察函数形式的基础上，进一步将字母b分离出去，最终转化成为更加简洁的形式，然后采用函数值域、不等式知识将存在性和恒成立问题进行逐步解答. 充分展现出了分离法在解题中的妙用。同时，此解法在解答过程中使用换元法在书写形式上对题目进行了等价转化，从而使问题显得更简洁。与解法一相比，解法二采用数形结合的思想，从整体上把握问题，从而不需要考虑字母a、b，极大程度地将问题进行简化，使问题非常易于解答.

三、总结

在以上几个例子中，可以看出，对于含有多于一个字母的问题，可以用“分离法”将所求字母从其他字母中分离，将问题转化为函数与方程问题，或者采用数形结合或者采用基本不等式和函数等基本方法来进行解决。

尤其是采用数形结合方法时，问题的解答可以通过观察函数图像较为容易地得到。同时，需要指出，思想和方法是指导性的，是一般，可以为解题提供一个思考的方向，而在具体问题中，仍需要具体问题具体分析，灵活的选用方法和所学知识。

【参考文献】

[1].中华人名共和国教育部。普通高中数学课程标准（实验）[M].人民教育出版社,2003

[2]. 史宁中.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M].高等教育出版社，2018

[3]. 王元等.华罗庚科普著作选集[M].上海教育出版社，1997

[4]. 刘艳.高效率数学教学过程的研究[D].南京师范大学.2006

[5]. 徐斌艳.数学课程与教学论[M].杭州:浙江教育出版社，2003

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