论文推荐|刘敏：顾及地形效应的重力向下延拓模型分析与检验

    向下延拓是航空重力测量数据实际应用中必不可少的技术环节。向下延拓属于不适定反问题，其解算过程具有较大的不确定性，故该问题一直是大地测量领域国内外学者的研究热点。本文深入分析研究了当前国内外最具代表性的3种向下延拓计算模型的技术特点和适用条件，提出了应用超高阶位模型、局部地形改正和移去—恢复技术顾及地形效应，以及位场延拓结果球面化曲面的工程化方法，重点探讨了计算模型的稳定性及数据观测误差对延拓计算结果的影响。通过理论分析、数值仿真和实测数据计算等手段，定量评估了不同向下延拓模型的解算精度及其可靠性。其主要结论是：传统逆Poisson积分模型解严重受制于输入数据观测噪声的干扰，在现有作业条件下，该模型至多只能用于1 km以下高度的延拓解算；频谱截断积分和位模型加地改两种延拓新模型具有良好的计算稳定性，完全适用于2′分辨率和5 km飞行高度条件下的航空重力测量数据向下延拓解算，其延拓计算精度可达2×10^-5 m/s²，可满足各方面实际应用需求。

精化大地水准面始终是现代物理大地测量学永恒的研究主题^[-]。精密确定大地水准面需要联合利用卫星、航空、地面、海洋等多源重力和地形高数据，其计算过程涉及多源数据的融合处理问题。向下延拓是多源重力数据融合处理必不可少的技术环节，在数据准备阶段，需要将卫星和航空重力测量成果延拓到地面作联合处理；在边值问题解算阶段，需要将地面重力数据延拓到大地水准面。由于物理场向下延拓在数学上属于不适定反问题，求解此类问题存在很大的不确定性^[]，一直以来国内外诸多学者为解决这一棘手问题付出了不懈的努力^[-]。目前解决向下延拓问题主要有3种途径，第1种是直接求逆泊松(Poisson)积分方程，是应用比较广泛的主流途径^[]，国内外学者主要围绕求逆过程引起的不稳定性问题开展不同形式的正则化方法研究^{[, , , -, -]}；第2种是间接求逆途径，包括最小二乘配置方法^[-]、虚拟点质量方法^[-]和矩谐分析法^[]等，此类方法虽然避开了求逆Poisson方程，但仍涉及矩阵求逆过程，因此也不可避免存在不稳定性问题^[-]；第3种可统称为非求逆途径，文献[]提出的利用航空重力测量和DEM确定地面重力场的直接代表法，文献[27—28]提出的联合使用超高阶位模型和地形信息确定向下延拓改正数的方法(以下简称差分延拓法)等都属于非求逆途径的范畴，此类方法不受传统求逆过程不稳定性的影响。文献[]基于带限(band-limited)航空重力测量数据特有的频谱特性，提出了向下延拓的直接积分公式(以下简称频谱截断法)，并将其推广应用于大地水准面的直接解算^[]，其计算过程也避开了方程求逆问题。文献[]将频谱截断方法和基于求逆过程的各类正则化方法作了全面的数值比较和分析，得出的结论是，前者的计算精度和效率都明显优于其他方法。

如前所述，困扰向下延拓问题的关键是其本身固有的不适定性。文献[]曾对向下延拓的稳定性问题做过深入分析，同时提出了改善计算稳定性的地形效应补偿方法；文献[, , , , ]专门针对航空重力向下延拓问题，开展了大量有效的数值计算和比对工作，得出了一些极具参考价值的结论。由已有的研究成果得知，虽然向下延拓问题本身是不适定的，但其解算结果的不稳定程度取决于延拓计算高度和数据分辨率(即网格间距大小)两个方面。在一定条件下，向下延拓解算方程可以是良态的，而在超越一定界限以后，即使采用正则化处理技术，也无法取得有效的解算结果^[, ]。因此，对于实际应用来说，最要紧的是预先掌控前面所指的一定“条件”和“界限”，尽可能在规定的“条件”下开展航空重力测量作业，避免超越已知的“界限”，只有这样才能获得预期的测量成果。另一方面，地形效应对重力向下延拓解算结果具有重要影响，因为求逆过程的稳定性不仅取决于积分方程系数矩阵的结构，还取决于观测向量的频谱特性^[]，故可通过地形效应的“移去-恢复”运算来改变重力观测量的频谱特征，从而改善向下延拓解算的稳定性。本文的目的是，通过理论分析、模拟仿真和实际数值计算等手段，对当前国内外最具代表性的3种向下延拓模型进行全面的分析比较和适用性检验，力争为工程应用提供具有可操作性的延拓计算方案。

检验向下延拓计算模型适用性最有效的方法是，直接使用实测航空重力数据完成向下延拓计算，将计算结果与地面实测重力基准值进行比较，由此可得到不同计算模型的精度评价指标。遗憾的是，陆部同时拥有高精度高分辨率航空和地面实际重力观测数据的区域并不多见，目前笔者还缺乏这方面的可靠资料。为此，本文改用向上与向下延拓比对方法对计算模型精度进行外部检核，即首先利用地面网格重力和地形高数据，通过向上延拓方法计算得到一定高度面上的空中重力异常，将其作为航空重力测量的观测量，进而使用不同的计算模型将其向下延拓到地面，求取延拓计算值与地面已知网格重力值的差异，便可获得相应延拓计算模型的精度评价。

根据前面的模型适用性分析和数值计算比对结果，可得出以下基本结论：

(1) 基于逆Poisson积分的传统向下延拓模型明显受到数据分辨率、计算高度和观测噪声等多种因素的制约，即使在比较理想的数据精度条件下，最大延拓高度也只能达到1 km。使用正则化方法可在一定程度上提高传统延拓模型的稳定性，但其解算过程仍存在较多的不确定性因素，不利于该模型的推广应用。

(2) 基于频谱截断积分的直接向下延拓模型具有良好的计算稳定性，对高频观测噪声干扰具有很好的抑制作用。在当前航空重力测量通常采用的2′分辨率和3 km飞行高度条件下，该模型几乎可以不损失观测数据精度的能力恢复地球表面的重力异常，因此具有良好的应用前景。在实际应用中需要注意把握的问题是积分核函数截断阶数与航空重力测量数据滤波截止频率的匹配关系。解算结果存在一定的边缘效应，同时观测数据网格化处理给测线布设带来的三维空间约束等因素是影响该模型推广应用的主要障碍。

(3) 基于位模型和地形改正差分的直接向下延拓模型具有良好的应用前景，其计算过程完全独立于航空重力观测数据，因此不受观测噪声的干扰。其计算精度取决于超高阶位模型和局部地形改正差分的相对精度，在现有技术条件下，该模型延拓计算精度可达2 mGal，与当前航空重力测量精度水平相当。与模型2相比较，不需要对观测数据作网格化预处理，也不存在积分边缘效应，可实现空中和地面点对点延拓计算是该模型的主要优势。但关于该模型物理意义的严密解释还有待进一步的研究，并通过更多的实际观测数据计算来验证其应用效果。

基金项目：国家973计划(613219);国家自然科学基金(41474012;41174062;41374018);国家重大科学仪器设备开发专项(2011YQ12004503)

全体作者：刘敏，黄谟涛，欧阳永忠，邓凯亮，翟国君，吴太旗。

第一作者简介：刘敏(1980—)，男，博士生，研究方向为海洋重力场测定理论方法及应用。

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