论文推荐 | 王旭, 柴洪洲,王昶,种洋:优选小波函数的小波神经网络预报GPS卫星钟差

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本文内容来源于《测绘学报》2020年第8期，审图号GS（2020）4062号。

优选小波函数的小波神经网络预报GPS卫星钟差

王旭^1,2, 柴洪洲²,王昶³,种洋²                            

1.辽宁生态工程职业学院测绘工程学院, 辽宁 沈阳 110101;
2.信息工程大学地理空间信息学院, 河南 郑州 450001;
3.辽宁科技大学土木工程学院, 辽宁 鞍山 114051

基金项目：国家自然科学基金（41574010；41604013；41904039）

摘要：为了提高卫星钟差预报的精度，针对小波神经网络（WNN）模型未能根据实际情况选取合适的小波函数的问题，本文提出一种基于“Shannon熵-能量比”的优选小波函数的小波神经网络钟差预报模型。首先利用小波函数对钟差一次差分数据进行连续小波变换，得到变换后的小波系数。然后分别计算小波系数的能量值和Shannon熵值，将“Shannon熵-能量比”（SEE）作为最优小波函数选择的评价指标，以指导选择最适合的小波函数作为WNN模型的激活函数。最后利用优选的WNN模型对卫星钟差进行预报，对预报的结果进行对比分析。结果表明：该评价指标能够根据卫星钟差实际情况准确指导WNN模型选择合适的小波函数，提高WNN模型的预报精度和适用性，使该模型可以实现卫星钟差较高精度的预报。

关键词：卫星钟差；能量；Shannon熵；预报；小波神经网络  

引文格式：王旭, 柴洪洲, 王昶, 等. 优选小波函数的小波神经网络预报GPS卫星钟差. 测绘学报，2020，49(8)：983-992. DOI: 10.11947/j.AGCS.2020.20190180.阅读全文：http://xb.sinomaps.com/article/2020/1001-1595/2020-8-983.htm

全文概述对于大多数用户而言，主要通过IGS提供的钟差产品参与计算，来实现高精度实时精密单点定位^[1]。目前IGS提供的GPS卫星钟差产品中，广播星历(BRDC)和超快速卫星钟差(IGU)可以提供实时卫星钟参数，但是其精度分别为5 ns、3 ns，难以满足现阶段高精度定位的要求；而IGS提供的快速钟差(IGR)和最终精密卫星钟差(IGS)精度最高可达75 ps，完全能够满足厘米级定轨精度，但这两个星历的获取分别需要经过2 d和13 d的延迟，精度有余实时性不足^[2]。因此，研究如何提高卫星钟差数据预报的精度和实时性，对提高钟差产品质量具有非常重要的意义。

目前，为了提高卫星钟差预报的精度，许多学者对卫星钟差预报从各个方面进行深入研究，建立了多种预报模型，如灰色模型(GM(1, 1))、二次多项式模型(QP)、卡尔曼滤波模型(KF)、时间序列模型(ARIMA模型)、谱分析模型(SA)等，其中，QP模型和GM(1, 1)模型是较常用的两种模型^[3]。但在卫星钟差预报实际应用中，每一种单一模型都有其自身的特点和局限性^[4]。小波神经网络由于其在优化求解与非线性系统建模方面的优势被广泛应用于预测控制领域中^[5]，这些优点也同样使得小波神经网络对卫星钟差预报方面具有较大的应用价值。文献[6]初步尝试利用WNN模型对卫星钟差进行建模预报，提出了基于一次差的小波神经网络钟差预报模型，该模型大大提高了WNN钟差预报的精度；文献[7—8]对小波神经网络模型在钟差中长期预报上进行了大量的研究分析，得到了结果优于灰色模型(GM(1, 1))和二次多项式(QP)模型；文献[9]将小波分解和遗传小波神经网络相结合对卫星钟差进行预报，得到的预报精度优于0.1 ns；文献[10]提出一种改进的一次差分小波神经网络预报算法，并将该算法应用到IGU-P钟差预报中，提高了IGU-P中长期钟差预报的性能。以上研究表明，小波神经网络模型在钟差预报方面具有良好的预测功能。但上述研究多集中在对钟差数据预处理和优化WNN模型初始参数来提高WNN模型钟差预报的精度，并没有针对WNN模型如何根据实际情况选择合适的小波函数的问题进行探讨研究。

鉴于此，为了进一步提高WNN模型钟差预报性能，本文提出一种基于“Shannon熵-能量比”的优选WNN钟差预报算法，将“Shannon熵-能量比”作为最优小波函数选择的评价指标，来指导WNN模型选择适合钟差数据的小波函数，并利用本文方法分别选取不同预报时长和训练时长序列进行钟差预报分析，以期得到有益的结论。

1  适合钟差预报的小波函数

WNN是小波分析理论与神经网络理论相结合的产物。其思想是采用小波函数代替神经网络的Sigmoid函数作为激活函数，通过小波函数的伸缩平移来逼近那些非平稳信号中尖锐变化部分，从而更为真实地反映原信号在某一时间尺度上的变化^[11]。因此，当利用WNN模型解决问题时，小波函数的选择显得尤为重要。

目前，已有许多小波函数在实践中被应用，如Haar、Daubechies(dbN)、Symlets(symN)、Coiflet(coifN)、Biorthogonal(biorNr.Nd)、Morlet(morl)及MexicanHat(mexh)小波等^[12]，但不是所有的小波函数都适合处理钟差数据。文献[13]曾经讨论过小波函数选择时需要考虑的因素，但在实际应用中小波函数的选择很难总结出一般原则，只能根据具体的情况提出具体的原则。钟差数据是一组非线性的时间序列，通常在对这类数据进行分析时，希望能够得到平滑连续的小波振幅^[14]，而正交小波一般用于离散小波变换，非正交小波即可用于离散小波变换也可用于连续小波变换^[15]，因此非正交小波函数对这类数据较为适合。此外，想要对时间序列得到更好拟合，需要得到时间序列振幅和相位两方面的信息，就要选择复值小波，因为复值小波具有虚部，可以对相位进行很好地表达^[16]。在上述小波中只有Morlet和MexicanHat小波不但具有非正交性而且还是由Gaussian调节的指数复值小波^[17]。因此，在利用WNN模型对钟差预报时，选用Morlet和MexicanHat两种小波函数作激活函数较为合适。

2  小波函数选择的评价指标

小波分析的实质是利用具有尺度因子和平移因子的小波函数去匹配待分析的信号，也就是说，可通过小波函数与待分析信号形状匹配的相似程度来选择最优小波函数^[18]。但在实际工程中很难获得信号的波形，而所构造的小波都是基于某种人工信号的函数，很难满足匹配的原则，因此这种形状匹配的方法是主观的和定性的，不能满足实际信号处理的需要。如果能找到一种评价钟差数据与小波函数相似程度的客观指标，通过该指标来选择最适合的小波函数作为WNN模型的激活函数，就会提高WNN模型预报钟差的效果。通过上面的讨论得出，WNN模型选择Morlet和MexicanHat两种小波函数作为激活函数预报钟差数据较为合适，但选择其中那一种小波函数还要根据实际的情况来确实。这就需要有一个客观的评价指标来指导小波函数的选择。下面对小波函数选择标准展开讨论。

2.1  能量和Shannon熵指标

在对信号进行小波变换时，如果在信号中存在对应于某种尺度s的主要成分，则当这个主要成分出现时该尺度的小波系数将有相对较高的幅值。此时，与主要成分相关的能量就被小波系数提取出来，提取的能量越多，相关的主要成分提取的就越多，基于小波分析的信号就越有效^[19]。因此，能量可以作为最优小波函数选择的标准。最优的小波函数可从待分析信号中提取最大的能量值。信号的能量值一般常用来表示信号的特性，可以从小波变换分解的小波系数中计算得到，表示为^[20]

(1)

相应信号的能量值可表达为

(2)

可利用式(2)来表示每个特定尺度s的能量，即

(3)

相应信号的能量值可表达为

(4)

式中，E_s(W)为提取信号的能量值，N为小波系数的数量，W(s, t)为小波系数，s表示尺度参数，t表示信号幅值。但是，如果小波分解后某一个子频率带中具有相同的能量值，而该子频率带中信号的特定条件可能有明显不同，所以能量的失衡也需要被考虑，以便保证对信号的有效提取。小波系数的能量分布可由Shannon熵定量描述为^[21]

(5)

式中，p_i为小波系数的能量分布概率，定义为

(6)

。当。小波系数的熵的范围为

(7)

式中，如果所有的小波系数的能量分布概率相同，则H_S(W)=log₂N；如果只有一个小波系数不等于零，则H_S(W)=0。

于是可以得出结论，即能量集中度越高，Shannon熵值越低。因此，一个适合的小波函数应当在信号被分解到各种尺度时，在一些小波系数上产生较大幅值，而在其他小波系数上产生可忽略的幅值，以便得到最小熵值。Shannon熵可以作为最优小波函数选择的标准。最优的小波函数可从待分析信号中获得最小的熵值。

2.2  小波函数选择的SEE评价指标

从上面的讨论可知，最大的能量指标和最小的Shannon熵指标都可以单独作为小波函数选择的指标。但通过试验分析发现它们彼此之间会产生冲突，为了平衡这两个指标的冲突，本文提出了一个“Shannon熵-能量比”的综合评价指标(SEE)，可定义为

(8)

式中，E_s(W)和H_s(W)分别表示小波系统的能量值和Shannon熵值。相应地，一个合适的小波函数应当提取较大能量的同时还要获得较小的Shannon熵值，即得到最小的SEE(s)值。

3  钟差预报的WNN模型

WNN模型的工作原理详见参考文献[22]，本文主要详细说明适合钟差预报的WNN模型的构造过程。相关研究表明，只有一个H层结构的神经网络可以实现任意非线性映射^[23]。但是对网络每层神经元个数的确定没有一个明确的理论依据可以遵循^[24]。通常输入层神经元的个数等于输出的不同类型变量的个数。隐含层神经元个数的确定是整个WNN模型的难点，一般在不影响网络性能的前提下，尽可能地减少神经元的个数。最后，确定神经元的具体个数还需要结合具体的试验。通过试验分析发现隐含层神经元个数为6时，钟差预报得到的效果最好^[6]。因此，本文的WNN模型隐含层神经元个数为6。在小波函数的选择上，利用本文提出SEE评价指标来选择合适的小波函数作为网络的激活函数。在网络的学习训练算法选择上，采用梯度下降的反向传播算法修正网络的权值和小波函数参数^[25]。同时，为了避免逐个训练时引起网络权值和阈值在修正过程中发生的震荡，采用成批训练样本的方法^[26]。最后关于O层的说明，由于网络最终的输出只有钟差一种变量，因而O层神经元的个数为1个。网络训练过程中，必须确定某些网络因子，如学习率η为0.01，目标误差ε为0.001，最大的训练次数为3000次。图 1给出了基于“Shannon熵-能量比”的小波神经网络预报钟差的工作流程图。

图 1 基于“Shannon熵-能量比”的小波神经网络钟差预报的工作流程
Fig. 1     Workflow of wavelet neural network based on shannon entropy-energy ratio to predict clock bias      

图选项

4  算例与分析

为了验证文中提出方法的有效性，使用IGS网站提供的第2030周第1天15 min间隔的超快速钟差产品(IGU)数据进行试验分析，该产品包含48 h钟差数据，其中前24 h钟差数据为超快速实测钟差产品(IGU-O)(2018-12-01)，而后24 h钟差数据为通过IGU-O数据建模预报得到的超快速预报钟差产品(IGU-P)(2018-12-02)^[26]。选取该时间段内数据连续、完整的所有在轨卫星(04号和18号卫星数据不完整)进行钟差预报试验。首先，利用Morlet和MexicanHat小波函数对所有卫星IGU-O钟差的一次差分数据^[10]进行连续小波变换，由于使用非正交小波变换，尺度s可以用2的分数幂来表达^[16]。结合试验分析，选择2⁶作为小波变换的尺度。然后计算变换后小波系数的能量值、Shannon熵值及SEE 3种评价指标来指导WNN模型选择合适的小波函数。表 1给出了3种评价指标的统计值。

表 1 3种评价指标的统计值

Tab. 1 Statistical values of three evaluation indicators

钟类型	PRN	Morlet		Mexican Hat
能量(J)	Shannon熵(Bit)	SEE		能量(J)	Shannon熵(Bit)	SEE
Block Ⅱ A Cs	10	2.333	4.236	1.816		4.593	4.517	0.983
Block Ⅱ F Cs	24	0.027	4.289	158.852		0.018	4.442	246.778
Block Ⅱ A Rb	08	0.146	4.362	29.896		0.284	4.478	15.769
32	21.076	4.354	0.207		41.491	4.477	0.108
Block Ⅱ R-M Rb	05	0.051	4.259	83.510		0.092	4.467	48.554
07	4.532	4.521	0.998		8.920	4.338	0.486
12	0.826	4.363	5.280		1.626	4.496	2.765
15	0.176	4.363	24.859		0.347	4.501	12.971
17	2.308	4.362	1.890		4.538	4.495	0.991
29	5.994	4.225	0.705		11.804	4.492	0.381
31	0.678	4.421	6.521		1.331	4.517	3.394
Block Ⅱ F Rb	01	5.961	4.496	0.754		3.027	4.363	1.441
03	2.234	4.223	1.890		1.188	4.353	3.664
06	8.275	4.423	0.535		4.204	4.356	1.036
09	2.456	4.233	1.724		1.247	4.368	3.503
25	4.143	4.470	1.079		2.916	4.362	1.496
26	11.993	4.445	0.371		9.701	4.344	0.448
27	3.608	4.458	1.236		1.746	4.307	2.467
30	2.304	4.416	1.917		1.716	4.300	2.505
Block Ⅱ R Rb	02	5.578	4.292	0.769		7.483	4.397	0.588
11	1.081	4.300	3.979		1.603	4.411	2.752
13	0.079	4.396	55.646		0.086	4.340	50.465
14	0.013	4.321	330.995		0.032	4.463	141.517
16	0.314	4.317	13.764		0.932	4.483	4.811
19	1.559	4.372	2.805		1.933	4.451	1.933
20	0.021	4.339	205.924		0.035	4.455	127.741
21	3.249	4.391	1.351		5.084	4.356	0.857
22	5.144	4.459	0.867		12.172	4.422	0.363
23	0.097	4.347	44.859		0.129	4.440	34.391
28	0.104	4.301	41.474		0.272	4.451	16.390

表选项

从表 1可以看到，在对PRN07、PRN13、PRN21、PRN22这4颗卫星钟差数据进行小波分解时，MexicanHat小波与Morlet小波相比提取了最大的能量值，并获得了最小的Shannon熵，可认为最适合的小波函数；同样，在对PRN03、PRN09、PRN24这3颗卫星钟差数据进行分解时，能量和Shannon熵两个指标做出了一致的评价，可认为Morlet小波为最适合的小波函数。但同时发现，在对其他卫星钟差数据进行小波分解时，能量和Shannon熵两个评价指标在指导选择最适合小波函数时出现了冲突，不能做出准确的指导。因此，想要对WNN模型中小波函数的选择做出正确的指导，需要优化小波函数选择的评价指标，这就是本文提出SEE小波函数选择评价指标的基本思想。

从表 1也可以看到，本文提出SEE评价指标对小波函数的选择作出了指导，并且SEE评价指标对同一类型钟的小波函数的选择上做出的评价结果是一致的。同时发现，从SEE评价指标指导结果上看，对于大多数卫星来说，MexicanHat小波函数要比Morlet小波函数更加适合处理钟差数据。下面通过3个算例来验证本文提出方法的有效性。

4.1  算例1

首先，为了验证SEE评价指标是否对WNN模型选择最优的小波函数做出了准确的指导，本文选择Morlet和MexicanHat小波函数分别作为激活函数的WNN模型(Mo-WNN和Me-WNN)，选取PRN05、PRN09、PRN10、PRN16、PRN24、PRN32这6颗卫星，这些卫星覆盖了GPS系统所使用的6种类型的星载原子钟。使用2018年12月1日后5 h(20个历元)的IGU-O钟差数据进行建模，预报接下来2 h的钟差(8个历元)。以预报时间段对应IGS的精密钟差值为基准，使用均方根误差(RMS)作为统计量^[8]，然后对预报精度对比分析。图 2给出了6颗卫星使用两种WNN模型预报接下来2 h的预报误差。

图 2 两种模型在不同预报时长下所有卫星预报的精度 Fig. 2     The prediction accuracy of all satellite prediction under different predicting time lengths by four models      

图选项

从图 2可以看到，在对PRN05、PRN10、PRN16、PRN32这4颗卫星预报时，Me-WNN模型预报精度优于Mo-WNN模型，这与SEE评价指标选出的最优WNN模型结果一致。而对PRN09、PRN24两颗卫星预报时，SEE评价指标选出的最优Mo-WNN模型预报的误差要低于Me-WNN模型。为了定量地对比两种模型预报的精度，表 2给出了各类卫星钟的所有卫星使用两种模型预报的平均精度统计值。

表 2 30颗卫星2 h预报精度统计值

Tab. 2 Statistics of prediction accuracy of the 30 satellites'SCB in two hoursns

method	Block Ⅱ A Cs		Block Ⅱ F Cs		Block Ⅱ A Rb		Block Ⅱ R-M Rb		Block Ⅱ F Rb		Block Ⅱ R Rb
RMS		RMS		RMS		RMS		RMS		RMS
Mo-WNN	3.178		2.126		2.707		3.238		2.588		3.460
Me-WNN	2.872		3.542		2.228		2.788		3.296		2.821

表选项

从表 2可以看到，在2 h预报中，SEE评价指标选出的最优WNN模型预报精度均优于SEE评价指标选出的不是最优WNN模型预报的平均精度。这说明SEE评价指标可以针对不同类型卫星准确地选择最优的小波函数来做WNN模型的激活函数，提高WNN模型钟差预报的精度。特别对Block Ⅱ F Cs卫星而言，通过优选小波函数，可以有效地提高WNN模型对该卫星预报的精度，预报的精度提高了大约40%。

4.2  算例2

为了验证优选小波函数的WNN模型的预报性能，同样使用IGU-O后5 h钟差数据进行建模，预报接下来6、12、24 h 3个时长的钟差。并且与IGU-P产品、二次多项式模型(QP)及灰色模型(GM(1, 1))进行试验对比，比较分析模型预报的精度。图 3给出了4种模型在不同预报时长下所有卫星预报的精度。对不同类型卫星预报时，WNN模型为SEE评价指标选出的最优WNN模型。

图 3   4种模型在不同预报时长下所有卫星预报的精度
Fig. 3     The prediction accuracy of all satellite prediction under different predicting time lengths by four models      

图选项

由图 3可知，对大多数卫星来说，在建模条件相同的情况下，QP模型出现了随预报时长增加预报精度迅速变差的现象。而在对PRN08、PRN24、PRN29、PRN30这4颗卫星预报时，GM(1, 1)模型也出现了随着预报时长的增加预报精度有较大幅度降低的现象。为了定量地对比几种模型预报的精度，表 3给出了各类卫星钟的所有卫星在3个时长下使用4种模型预报精度的平均统计值。

表 3 4种模型预报精度统计值

Tab. 3 Statistics of prediction accuracy of four modelsns

钟类型	RMS
6 h		12 h		24 h
QP	GM(1, 1)	IGU-P	WNN		QP	GM(1, 1)	IGU-P	WNN		QP	GM(1, 1)	IGU-P	WNN
Block  Ⅱ A Cs	3.726	3.938	3.005	1.714		3.867	4.408	2.995	1.782		3.357	4.821	2.658	1.753
Block  Ⅱ F Cs	4.170	4.308	2.035	1.635		16.658	6.192	1.731	1.616		62.052	9.797	1.637	1.658
Block  Ⅱ A Rb	2.498	2.760	2.708	2.066		2.769	4.539	3.708	2.123		7.587	8.008	6.271	2.126
Block  Ⅱ R-M Rb	3.593	3.372	3.010	2.480		5.998	3.513	2.915	2.465		16.394	4.546	2.767	2.514
Block  Ⅱ F Rb	2.846	2.988	2.688	2.190		3.757	3.179	2.550	2.265		8.621	3.833	2.320	2.231
Block  Ⅱ R Rb	2.873	3.432	3.488	3.020		4.132	3.683	3.732	3.079		11.725	4.408	4.266	3.142
All	3.080	3.301	3.047	2.573		4.785	3.676	3.133	2.566		13.109	4.720	3.390	2.592
注：表中All的含义是对应预报时长下所有卫星预报RMS的平均统计值。

表选项

由表 3可知，总体上，随着预报时长的增加，QP和GM(1, 1)两种模型预报的精度逐渐降低，预报的精度均低于IGU-P产品。另外，在对Block  Ⅱ F Cs卫星钟24 h预报时，QP模型预报的精度降低的幅度较大，并且该模型在24 h预报时，预报精度远远低于其他3种模型；对于IGU-P钟差产品来说，随着预报时长的增加，预报精度略有降低，可以看到预报时长的长短对该产品预报的精度影响不大。另外，在3个时长的预报中，优选的WNN模型预报精度均优于其他3种模型，并且该模型预报的精度比IGU-P产品分别提高约17.2%、19.1%、24.7%。同时发现，优选WNN模型随着预报时长的增加其预报精度变化不大，这说明通过SEE评价指标选择了最优的小波函数来做WNN模型的激活函数，使其能够有效地抑制预报精度随时间的增加而不断降低的现象，提高WNN模型预报的稳定性。

4.3  算例3

为了进一步验证本文提出方法的有效性，使用IGU-O产品24 h(96个历元)的钟差数据进行建模，预报接下来6、12、24 h这3个时长的钟差。图 4给出了4种模型在不同预报时长下所有卫星预报的精度。

图 4   4种模型在不同预报时长下所有卫星预报的精度
Fig. 4     Accuracy of all satellite prediction under different predicting time lengths by four models      

图选项

由图 4可知，QP模型只对PRN24和PRN08卫星预报时，出现了随预报时长增加预报精度明显变差的现象，而对其他卫星没有出现这种现象。这说明训练数据的增加极大改善了其随预报时长增加预报精度迅速降低的不足，提高QP模型预报的精度。为了定量地对比几种模型预报的精度，表 4给出了各类卫星钟的所有卫星在不同采样率下使用4种模型预报的平均精度统计值。

表 4 4种模型预报精度统计值

Tab. 4 Statistics of prediction accuracy of four modelsns

钟类型	RMS
6 h		12 h		24 h
QP	GM(1, 1)	IGU-P	WNN		QP	GM(1, 1)	IGU-P	WNN		QP	GM(1, 1)	IGU-P	WNN
Block  Ⅱ A Cs	3.652	2.731	3.005	1.754		4.135	2.634	2.995	1.721		4.994	2.110	2.658	1.752
Block  Ⅱ F Cs	5.125	2.787	2.035	1.826		8.588	2.300	1.731	1.641		18.244	1.804	1.637	1.618
Block  Ⅱ A Rb	2.993	3.351	2.708	2.089		5.175	4.578	3.708	2.133		9.399	9.250	6.271	2.180
Block  Ⅱ R-M Rb	2.956	3.001	3.010	2.527		2.886	2.859	2.915	2.550		3.484	2.962	2.767	2.592
Block  Ⅱ F Rb	2.823	2.797	2.688	2.284		2.936	3.236	2.550	2.293		3.291	3.483	2.320	2.302
Block  Ⅱ R Rb	3.391	3.858	3.488	3.048		3.518	4.331	3.732	3.019		3.817	5.454	4.266	3.110
All	3.178	3.268	3.047	2.575		3.515	3.585	3.133	2.568		4.491	4.367	3.390	2.617
注：表中All的含义是对应预报时长下所有卫星预报RMS的平均统计值。

表选项

由表 4可知，在对Block  Ⅱ R-M Rb卫星预报时，QP模型在6 h和12 h预报的精度已经优于IGU-P产品，而GM(1, 1)模型在对Block  Ⅱ A Cs卫星3个时长预报中，预报的精度均优于IGU-P产品，这说明建模数据的增加可以提高两种模型对两类卫星钟差预报的精度。在对各类卫星钟3个时长预报中，优选的WNN模型预报的精度要优于其他3种预报模型。对比表 3和表 4可以看出，总体上，随着建模数据的增加，在6 h预报中，QP模型预报的精度略有降低，而在12 h和24 h预报中，该模型预报的精度有了明显的提高，尤其是在24 h预报中，预报精度提高的幅度最大，提高约65.7%。另外，随着建模数据的增加，在12 h预报中，QP模型预报的精度已经优于GM(1, 1)模型。这说明建模数据的增加可较大幅度提高QP模型长期钟差预报的精度。但是，虽然建模数据增加可以改善了QP模型长期预报的精度，但与其他3种模型相比，在长期钟差预报中，QP模型预报的效果还是不理想。而对GM(1, 1)模型来说，总体上，随着建模数据的增加，在3个时长的预报中，该模型预报的精度略有提高。但对Block  Ⅱ F Cs卫星24 h预报时，预报的精度却有了较大幅度提高，提高约81.6%。但同时发现，GM(1, 1)模型对不同类型卫星预报的效果有所差异；在对Block  Ⅱ A Cs和Block  Ⅱ F Cs两类卫星钟3个时长预报时，出现了随预报时长增加预报精度逐渐提高的现象，这说明建模数据的增加可以提高GM(1, 1)模型对两类卫星长期钟差预报的精度。而对Block  Ⅱ A Rb和Block  Ⅱ R Rb两类卫星钟预报3个时长预报时，出现了随着建模数据增加预报精度反而降低的现象。这也反映了该模型在对两类卫星进行钟差预报时，用不同的钟差数据量建模进行钟差预报会产生较大误差。然而对于优选的WNN模型来说，随着建模数据的增加，3个时长的预报精度变化不大，并且没有出现随建模数据增加预报精度降低的现象，同时该模型预报钟差的精度不受预测条件或卫星时钟类型的影响，具有很好的预报稳定性。说明SEE评价指标能够根据卫星钟差实际情况准确指导WNN模型选择合适的小波函数，不仅提高WNN模型预报钟差的精度，而且还提高了该模型的广泛适用性，针对不同卫星都具有较高的预报精度。同时需要说明一点的是，如果要在精密单点定位中应用，只有高精度的钟差产品还是不够的，还需要与之匹配的轨道产品才能到达定位的预期效果。

5  结 论

本文提出一种SEE小波函数选择的评价指标，该评价指标能够根据实际情况使WNN模型选取最适合钟差数据的小波函数。试验结果表明，SEE评价指标能够准确地指导WNN模型选择适合钟差数据的小波函数，不但可以提高WNN模型预报的精度，还使模型在对各类卫星钟钟差预报的应用中具有很好的适用性，并且预报的精度优于IGU-P钟差产品及两种常用模型，为WNN模型在钟差预报中如何选择合适的小波函数提供了一种可靠的评价指标。

作者简介

第一作者简介：王旭（1983-），男，博士生，讲师，研究方向为测量数据处理及GNSS卫星钟差建模预报。Email:[e-mail]

第二作者简介（通讯作者）：柴洪洲（1969—），男，博士，教授，博士生导师，研究方向为测量数据处理和GNSS定位与导航。Email: [e-mail]

第三作者简介：王昶（1983-），男，博士生，讲师，研究方向为测量数据处理及遥感图像处理。Email: [e-mail]

第四作者简介：种洋（1992-），男，博士生，研究方向为地磁导航关键技术和地磁场建模方面的研究，Email: [e-mail]

团队简介

作者所在团队长期从事大地测量与导航方向的教学和科研工作，现有教师和研究生20余人。近5年在《GPS solutions》、《Advances in Space Research》、《survey review》、《测绘学报》、《武汉大学学报（信息版）》等期刊发表论文30余篇。在深度参与 BDS 建设相关科研项目研究的基础上，开展了海上无人设备精密位置服务系统研究，以及基于人工智能算法的高精度位置服务技术研究，开发了高精度精密定位数据处理软件 GPAK（GNSS Processing and Analysis Kit），支持 BDS/GPS/GLONASS 三系统混合数据处理，具备精密单点定位、RTK、实时钟差估计、大气水汽反演等多种功能，已成功用于多项军内外业务作业和科学研究项目。

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