测绘学报 | 吴徳：VGOS天线地平遮挡角计算及其对UT1测量的影响
本文内容来源于《测绘学报》2022年第11期（审图号GS京（2022）1229号）
VGOS天线地平遮挡角计算及其对UT1测量的影响
吴徳1,2
1. 中国科学院上海天文台, 上海 200030;
2. 中国科学院大学, 北京 100049;
3. 上海市导航定位重点实验室, 上海 200030
基金项目：国家自然科学基金(12073065;11573056;U2031212)
摘要：上海新建的2台VGOS(VLBI global observing system)天线被其附近原有的大天线遮挡, 为了开展VGOS站网的联合观测, 提出了一种基于天线几何位置关系的地平遮挡角计算方法。根据台站相对位置、天线口径及天线参考点到边缘点的距离等参数, 即可得到VGOS天线的地平遮挡角。天马VGOS天线的最大遮挡角为22.3°, 遮挡天区面积占5°以上天区面积的比值为2.19%;佘山VGOS天线的最大遮挡角为23.4°, 遮挡天区面积占5°以上天区面积的比值为3.14%。通过在观测纲要中添加天线的地平遮挡角信息, 成功实施了VGOS站网的联测。利用VieVS软件仿真分析了天马-维泽尔基线上VGOS天线的UT1测量精度, 结果表明, 天马VGOS天线的地平遮挡对UT1的测量精度没有显著的影响。
关键词：VLBI VGOS 观测纲要 地平遮挡 UT1
WU De, SHU Fengchun, LI Jinling, et al. Calculation of VGOS antenna horizon mask and its impact on UT1 measurement[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2022, 51(11): 2285-2293. DOI: 10.11947/j.AGCS.2022.20210314
引 言
甚长基线干涉测量(very long baseline interferometry, VLBI)技术在天体物理、天体测量、测地学[1]及深空探测[2]等领域具有广泛的应用[3-4]。VLBI技术可用于测定台站坐标、射电源坐标和地球定向参数(earth orientation parameters, EOP)等，并且是至今唯一可以测定世界时(UT1)的空间大地测量技术[5-6]。
天线遮挡是指当天线接收来自遥远目标的信号时，周围的物体遮挡在信号传播的路径上，遮挡角是指天线不被遮挡的最低仰角。如果天线接收信号被遮挡，则无法形成有效观测量，进而影响测量参数的解算精度[7]。
国外的一些VLBI站址中，距离较近的天线之间存在着相互遮挡。例如，美国夏威夷的Kokee站，原有的20 m天线[8]和新建的12 m天线相距仅为30 m，其最大遮挡角分别达到了25°和45°。Kokee站与德国维泽尔站(Wettzell)组成的东西方向基线执行每周5 d、每天1 h的UT1观测，以提供高精度的UT1快速服务[9-10]。Kokee站20 m天线对12 m天线的遮挡会对UT1测量产生影响，考虑到20 m天线将会拆除，12 m天线的地平遮挡以后将不存在。位于新西兰Warkworth站的12 m天线与30 m天线相距仅为200 m，2013年4月，该站利用全站仪测量了两个天线的地平遮挡角，在地面上测量得到的12 m天线与30 m天线的最大遮挡角分别为10°和8°[11-12]。
根据国际上提出的新一代大地测量和天体测量VLBI观测的射电望远镜技术规范[13]，近年来我国建设了多个VLBI全球观测系统(VLBI global observing system, VGOS)站[14]，包括北京和乌鲁木齐的VGOS测站[15]、上海天文台的天马VGOS站(TIANMA13)和佘山VGOS站(SESHAN13)[16]。上海VLBI相关处理机已用于VGOS观测试验的测试验证[17-18]。上海天文台的两个站址由于场地的限制，新建的天马VGOS天线与附近原有的65 m大天线形成遮挡[19]，佘山VGOS天线与附近原有的25 m大天线形成遮挡[20]。文献[21]针对佘山25 m与13 m天线的相互遮挡问题进行了深入分析，给出了天线遮掩立体角的大小以及立体角计算方法，论文中并不涉及遮掩高度角的计算，所以无法应用于实际观测。
本文基于天线之间的几何位置提出了一种地平遮挡角计算方法，遮挡角从天线的反射面下边缘开始计算。以上海天文台天马园区和佘山园区内的天线为例，计算了两组天线之间各个方位的遮挡角。将遮挡数据表示为一个阶梯函数添加到观测纲要文件中，对于VGOS观测纲要的编制和观测实施等具有重要意义。
1 算法原理
1.1 计算遮挡角
VLBI台站的参考点定义为天线方位角轴与仰角轴的交点。图 1(a)为天线相对位置侧视图，其中AE表示遮挡天线的参考点到边缘点的距离，以AE为半径做一个球面，LM表示被遮挡天线的半径。BP为被遮挡天线的指向，被遮挡天线的接收信号的区域可以看作是以BP为轴线、LM为半径形成的一个圆柱体，其中LN为圆柱体的直径，即被遮挡天线的口径。
图 1 天线的相对位置
Fig. 1 The relative position of antennas
图选项
图 1(b)为两个天线相对位置的俯视图，A表示遮挡天线的参考点，B表示被遮挡天线的参考点。P1点和B1点分别是P点和B点在XAY平面上的投影点，北向的单位向量为m，则B1P1与m之间的夹角α就是方位角。在空间直角坐标系中，以遮挡天线的参考点A为原点，Z轴由纸面朝上。
在每一个方位上被遮挡天线的圆柱体接收信号的区域刚好与遮挡天线形成的球面相切时，求解BP指向的俯仰角。不论两个天线之间的相对方位如何，都将方位角从0°取值到360°，求解每个方位上的俯仰角。由于圆柱体可以与球面在每个方向上相切于球面上方和球面下方，计算的时候仅保留相切于球面上方时的结果。
被遮挡天线接收信号的圆柱体区域与遮挡天线形成的球面相切于S点，则在图 1(a)中LS垂直于AS，同时BP垂直于AP。
由以上条件可以得到3个方程，从而求解出P点的坐标。
第1个方程：B1P1与m之间的夹角为α，即
第2个方程：AP垂直于BP，即
第3个方程：AP的模等于AS的模与SP的模之和，其中AS表示A天线参考点到边缘点的距离, SP表示B天线的半径，即
将α从0°至360°之间取值，如果得到的解为虚数，则不会相切，如果得到实数解，将P点纵坐标值较小的解舍去，即可得到P点的坐标。已知B点的坐标，则可以得到B天线的指向BP
BP与XAY平面的夹角为被遮挡天线的仰角，方位角是α，设n为Z方向的单位向量，仰角为el，单位为(°)，则有关系式
即可求出B天线的仰角el，即
方位角为
因此，对于任意给定0°~360°之间的α角，可以得到是否在方位角az上存在遮挡，如果遮挡，可以求出遮挡时的天线俯仰角el。由于算法本身的原因，会在0°~360°的方位范围内得到4个相同的遮挡区域，根据两个天线的相对方位舍去其他3个遮挡区域即可。
1.2 算法总结
针对一般情况，需要已知两个天线的相对位置。设遮挡天线的参考点为原点A，被遮挡天线的参考点坐标为B，此外，还需要已知遮挡天线参考点到边缘点的距离以及被遮挡天线的半径。P点为圆柱与球面的切点，无论遮挡天线在被遮挡天线的哪个方位，都将m设置为北向的单位向量，BP与m的夹角α从北向0°顺时针转到东向360°，α就是方位角az。根据给定的α求解3个方程，得到P点的坐标。如果得到虚数解，则不会遮挡，如果得到实数解，舍去切点高度较低的值，即可得到被遮挡天线在α上的俯仰角。根据两个天线的相对方位舍去其他3个遮挡区域。需要说明的是，遮挡天线的遮挡范围是以天线参考点为球心，以参考点到边缘点的距离为半径的球来计算的，实际上这个范围是个最大的极值范围。在实际观测中，遮挡天线不一定会运行到遮挡的极值区域，所以遮挡范围往往不会达到最大值。但是为了保证观测区域不被遮挡，在实际观测中，观测纲要文件中对天线的遮挡区域还是按照遮挡的极值范围来设置。
2 上海VGOS天线的地平遮挡角计算
中国科学院上海天文台正在建设天马13.2 m天线系统和佘山13 m天线系统，2台天线分别位于天马望远镜园区和佘山园区。由于园区内的场地限制，新建的2个VGOS天线均与各自园区内的旧天线相距不远，形成相互遮挡。天马园区和佘山园区内的天线相对位置如图 2所示。图 2 天马园区和佘山园区卫星图(谷歌地图) Fig. 2 Satellite images of Tianma Park and Sheshan Park (Google Maps) 图选项
2.1 天马园区和佘山园区天线遮挡计算天线遮挡计算用到的输入参数见表 1，将遮挡天线参考点作为坐标原点，m均为Y方向的单位向量，n均为XOY平面的法向量。
表 1 天线遮挡计算输入参数Tab. 1 Input parameters for antenna horizon mask
表选项
根据两组天线相对位置输入相应的参数，计算得到每组天线中被遮挡天线的俯仰角, 所有天线的最低工作仰角设置为5°，使用阶梯函数表示天线遮挡，见表 2。由于本文的最后需要将遮挡阶梯函数添加到观测纲要文件中，使用哥达德太空飞行中心给出的SKED软件编制不同的观测纲要[22-23]，所以阶梯函数格式按照SKED软件的要求来书写。天线的遮挡阶梯函数方位角必须以0°开始，以360°结束，阶梯函数格式为：方位俯仰方位俯仰……方位，并且方位角都必须是5°的倍数，软件中不能识别小数。本文根据这些要求来书写阶梯函数，从而更加方便地使用SKED软件编制观测纲要。此外，俯仰角向上取整，可以确保选取到可以看见的射电源。
表 2 4台天线的遮挡阶梯函数Tab. 2 Horizon mask step function of four antennas
表选项
将以上4个天线各自的阶梯函数遮挡数据作为输入文件，绘制出两组天线最低遮挡角5°情况下的直角坐标图，如图 3所示，蓝色线为阶梯函数数据，其中横坐标为方位角，纵坐标为俯仰角，橙色曲线为最初始的遮挡数据。图 3 两组天线最低遮挡角5°情况下的直角坐标 Fig. 3 Cartesian coordinates of the two groups of antennas with the lowest angle cutoff of 5° 图选项
由于天线转动形成一个规则的球体，因此得到的遮挡范围是一个对称的曲线。天马园区的TIANMA65天线口径较大，13.2 m天线对其遮挡很小，最大遮挡角仅为5.7°，而TIANMA65对TIANMA13的最大遮挡角则达到了22.3°。佘山园区的两个天线相距较近，仅为50 m左右，所以遮挡角更大一些。SESHAN13的最大遮挡角达到了23.4°，SESHAN25的最大遮挡角为20.3°。VLBI观测的基本准则是，至少两个天线同时观测目标时，如果观测目标在两个台站的截止高度角以上(通常为5°)或高于两个台站的地平遮挡，则表示共同可见。因此，考虑到所有天线的观测截止仰角均为5°，针对两组天线之间的相互遮挡，计算了遮挡天区的面积。得到的每组天线的最大遮挡角、遮挡天区面积以及遮挡天区面积占5°以上天区面积的比值，计算结果见表 3。
表 3 各组天线之间的遮挡Tab. 3 The shielding between the antennas of each group
表选项
由表 3可以看到，SESHAN25对SESHAN13的遮挡最为显著，遮挡区域占5°以上天区面积比值达到了3.14%，TIANMA13对TIANMA65的遮挡区域仅占到5°以上天区面积的0.02%，遮挡天区面积比非常小，可以忽略掉这片遮挡区域。其他两组天线间的相互遮挡区域面积比均为2%左右，遮挡并不严重。
2.2 算法检验
为了检验计算结果的正确性，在编制代码为ST2002的观测纲要时，本文引入了SESHAN13和TIANMA13的阶梯函数遮挡数据，进行实际观测。ST2002是2020年7月7日开展的首次中日VGOS联合条纹测试试验，观测持续3 h，采用3 GHz、5 GHz、6 GHz和10 GHz等4个频段，参与观测的台站包括ISHIOKA、SESHAN13和TIANMA13，上海天文台负责此次试验的组织实施和相关处理。ISHIOKA站位于日本筑波市东北约17 km处，由日本地理空间信息管理局(GSI)负责建设和运行，是日本目前唯一的VGOS站，天线口径为13.2 m，配备有K6高速数据采集系统以及2个氢钟。目前ST2002该次观测已成功实施，经过数据的相关处理和数据分析，完成了上海VGOS站的条纹质量评估。图 4是ST2002观测中射电源在各台站本地天空分布的极坐标图，极径表示高度角，极角表示方位角。其中的蓝色线表示各个方位上的遮挡角，最低遮挡角设置为5°。观测的所有射电源中，检测到条纹的射电源用红色点表示，若观测的射电源没有检测到条纹，则用蓝色点表示。由图 4可以看到，观测纲要文件中添加的遮挡阶梯函数有效，遮挡范围内不会选取到射电源，其次，图 4中没有蓝色的点，即观测的射电源都检测到了条纹。图 4 ST2002观测3个台站天线遮挡与观测的射电源 Fig. 4 Horizon mask and radio source of ST2002 at three stations 图选项
3 地平遮挡对于UT1测量精度的影响
上海佘山25 m天线与德国WETTZELL站的20 m天线组成的SESHAN25-WETTZELL基线，联合测量UT1[24]已有十余年的历史。上海VGOS站后续将接替25 m天线参加UT1测量，上海VGOS站和WETTZELL站的共同可视天区位于上海VGOS站西北方向的天区。在天线建设申报阶段，只是简单估计了最大遮挡角，没有量化分析遮掩问题对UT1观测的影响。由于天线所在园区内的场地限制，VGOS天线只能选择在距离旧天线最远的园区边缘处建设，以尽量减小遮挡天区面积。考虑到SESHAN13的遮挡主要在南偏东方向，而TIANMA13的遮挡主要在北偏西方向，因此，地平遮挡只会影响TIANMA13-WETTZELL基线的共同可视天区，从而影响UT1测量精度，为此本文进行了仿真分析。
3.1 编制观测纲要
为了得到地平遮挡角对UT1测量的影响，编制了16个不同的观测纲要，参加观测的台站为TIANMA13和WETTZELL站13 m天线WETTZ13S，设定的观测日期为2020年5月28日。为了确保得到高精度的dUT1估计值，国际上通常采用较长的东西方向基线进行UT1测量[25]，而ST2002试验中VLBI基线长度太短，其中最长的基线ISHIOKA-TIANMA13其长度仅为1848 km，不适合进行UT1测量性能的分析，所以在分析地平遮挡对于UT1测量精度的影响中不使用ST2002试验。TIANMA13-WETTZ13S基线和原有的SESHAN25-WETTZELL基线类似，大致呈东西方向，并且基线也很长，超过了8000 km，很适合用来测量UT1，TIANMA13和WETTZ13S的位置如图 5所示。观测纲要文件的观测起止时间设置由表 4给出，按照观测的时间不同分为8个对照组，每个对照组的观测时间一致。例如AX2000和AY2000为一个对照组，BX2000和BY2000为一个对照组，每组观测纲要包括考虑天线遮挡和不考虑天线遮挡这两种情况。图 5 TIANMA13和WETTZ13S的天线位置 Fig. 5 Antenna position of TIANMA13 and WETTZ13S 图选项
表 4 编制纲要文件的起止时间设置Tab. 4 Starting and ending times of the scheduling
表选项
使用大地测量VLBI观测纲要软件SKED编制16次观测的观测纲要文件，参与观测的台站均为TIANMA13和WETTZ13S，观测持续时间均为1 h。编制观测纲要时，根据IVS射电源表(https://ivscc.gsfc.nasa.gov/IVS_AC/sked_cat/)中的位置和流量密度选择40颗最适合的射电源。X波段和S波段的最低信噪比分别设置为18和15，每个scan的时间均为30 s，TIANMA13和WETTZ13S的系统等效流量密度(system equivalent flux density, SEFD)均设置为2000 Jy。观测模式按标准VGOS频率设置，含4个频段和2个极化，观测数据采集速率为8 Gbps，但数据记录速率为4 Gbps。这意味着观测30 s，需要花1 min将数据记录在磁盘上。以FX2000和FY2000为例，图 6和图 7分别是FX2000和FY2000这两个观测纲要文件中每个台站观测的所有射电源的方位俯仰。两个观测纲要文件均为53个scan，由地平遮挡角计算结果可知TIANMA13在325°至350°方位上存在着最大23°的遮挡角，因此在FX2000观测中325°至350°方位上没有低仰角的scan存在。而在去掉遮挡角的FY2000观测中，很明显可以看到在这个方位区间上多出了1个scan，图 7中用蓝色十字表示。由于观测的射电源以及总的scan数量没有变化，只是射电源观测顺序不一样，所以在遮挡区域之外会相应地减少一个scan，这个scan在图 6中用绿色十字表示。图 6 FX2000观测中TIANMA13和WETTZ13S天线观测的射电源方位俯仰 Fig. 6 The azimuth and elevation of the radio source observed by the TIANMA13 and WETTZ13S in the FX2000 图选项
图 7 FY2000观测中TIANMA13和WETTZ13S天线观测的射电源方位俯仰 Fig. 7 The azimuth and elevation of the radio source observed by the TIANMA13 and WETTZ13S in the FY2000 图选项
3.2 dUT1仿真结果分析仿真分析使用的软件为VieVS(Vienna VLBI and satellite software)，采用蒙特卡洛仿真分析方法[26]对16个观测纲要进行仿真分析[27]，仿真的时延观测量主要包括湿大气、钟差及热噪声引起的时延误差。对流层模型根据湍流理论进行仿真[28-29]，钟差的模拟采用Allan标准方差1e-14s@50 min，即50 min内的稳定度为10的负14次方秒，时延测量的热噪声设置为4 ps[30]。解算参数设置包括：天顶湿大气延迟作为分段线性函数30 min解算一次，钟差60 min解算一次，dUT1参数60 min解算一次[31]。每个观测纲要仿真1000次，最终得到1000个dUT1形式误差的平均值，即平均形式误差。根据仿真结果，这些观测所能得到的UT1的平均形式误差由表 5给出。
表 5 观测纲要仿真分析得到的dUT1平均形式误差Tab. 5 dUT1 mean formal error obtained by simulation analysis of the scheduling
表选项
所有观测的dUT1仿真解算平均形式误差均在6~7 μs左右。由表 5可以看出，去掉遮挡以后，有3组数据的UT1平均形式误差减小，剩余5组数据的UT1平均形式误差增大，但是他们的平均形式误差相差都很小，仅有两组数据差别较大, 但是也在5%以内。以FX2000和FY2000为例，由图 6和图 7可以看出，即使观测纲要中不添加TIANMA13天线的遮挡，在遮挡区域内也很难选取到射电源。总之，TIANMA13天线的地平遮挡对于UT1测量并没有显著的影响。
4 结论
本文以天线之间的几何位置关系为基础，提出了一种简便有效的地平遮挡角计算方法，根据2个天线的相对位置、被遮挡天线参考点到边缘点的距离、遮挡天线的口径，即可得到天线之间的地平遮挡结果。以上海天文台天马园区65 m天线与13.2 m天线、佘山园区的25 m天线与13 m天线的相互遮挡为例，计算了4个天线的地平遮挡。TIANMA65和TIANMA13的最大遮挡角分别为5.7°和22.3°，遮挡天区面积分别为4.4 sd和412.1 sd，遮挡区域占5°以上天区面积的比值分别为0.02%和2.19%。SESHAN25和SESHAN13的最大遮挡角分别为20.3°和23.4°，遮挡天区面积分别为458.7 sd和591.8 sd，遮挡区域占5°以上天区面积的比值分别为2.44%和3.14%。天线之间的相互遮挡会影响编制观测纲要时的射电源选择，在被遮挡的范围内不允许选取射电源，因此会影响观测纲要中的scan分布。为了研究天线遮挡对于UT1测量的影响，仿真分析了16次不同的观测，比较了8个对照组的UT1仿真结果，所有的对照组中dUT1平均形式误差均相差非常小，仿真结果显示天马VGOS天线的地平遮挡角对于UT1的测量没有显著的影响。作者简介第一作者简介：吴徳(1995—), 男, 博士生, 研究方向为VLBI与深空探测。E-mail: wude@shao.ac.cn
通信作者：舒逢春, E-mail：sfc@shao.ac.cn
初审：张艳玲复审：宋启凡
终审：金 君
甚长基线干涉测量(very long baseline interferometry, VLBI)技术在天体物理、天体测量、测地学[1]及深空探测[2]等领域具有广泛的应用[3-4]。VLBI技术可用于测定台站坐标、射电源坐标和地球定向参数(earth orientation parameters, EOP)等，并且是至今唯一可以测定世界时(UT1)的空间大地测量技术[5-6]。
天线遮挡是指当天线接收来自遥远目标的信号时，周围的物体遮挡在信号传播的路径上，遮挡角是指天线不被遮挡的最低仰角。如果天线接收信号被遮挡，则无法形成有效观测量，进而影响测量参数的解算精度[7]。
国外的一些VLBI站址中，距离较近的天线之间存在着相互遮挡。例如，美国夏威夷的Kokee站，原有的20 m天线[8]和新建的12 m天线相距仅为30 m，其最大遮挡角分别达到了25°和45°。Kokee站与德国维泽尔站(Wettzell)组成的东西方向基线执行每周5 d、每天1 h的UT1观测，以提供高精度的UT1快速服务[9-10]。Kokee站20 m天线对12 m天线的遮挡会对UT1测量产生影响，考虑到20 m天线将会拆除，12 m天线的地平遮挡以后将不存在。位于新西兰Warkworth站的12 m天线与30 m天线相距仅为200 m，2013年4月，该站利用全站仪测量了两个天线的地平遮挡角，在地面上测量得到的12 m天线与30 m天线的最大遮挡角分别为10°和8°[11-12]。
根据国际上提出的新一代大地测量和天体测量VLBI观测的射电望远镜技术规范[13]，近年来我国建设了多个VLBI全球观测系统(VLBI global observing system, VGOS)站[14]，包括北京和乌鲁木齐的VGOS测站[15]、上海天文台的天马VGOS站(TIANMA13)和佘山VGOS站(SESHAN13)[16]。上海VLBI相关处理机已用于VGOS观测试验的测试验证[17-18]。上海天文台的两个站址由于场地的限制，新建的天马VGOS天线与附近原有的65 m大天线形成遮挡[19]，佘山VGOS天线与附近原有的25 m大天线形成遮挡[20]。文献[21]针对佘山25 m与13 m天线的相互遮挡问题进行了深入分析，给出了天线遮掩立体角的大小以及立体角计算方法，论文中并不涉及遮掩高度角的计算，所以无法应用于实际观测。
本文基于天线之间的几何位置提出了一种地平遮挡角计算方法，遮挡角从天线的反射面下边缘开始计算。以上海天文台天马园区和佘山园区内的天线为例，计算了两组天线之间各个方位的遮挡角。将遮挡数据表示为一个阶梯函数添加到观测纲要文件中，对于VGOS观测纲要的编制和观测实施等具有重要意义。
1 算法原理
1 算法原理
1.1 计算遮挡角
VLBI台站的参考点定义为天线方位角轴与仰角轴的交点。图 1(a)为天线相对位置侧视图，其中AE表示遮挡天线的参考点到边缘点的距离，以AE为半径做一个球面，LM表示被遮挡天线的半径。BP为被遮挡天线的指向，被遮挡天线的接收信号的区域可以看作是以BP为轴线、LM为半径形成的一个圆柱体，其中LN为圆柱体的直径，即被遮挡天线的口径。
图 1 天线的相对位置 Fig. 1 The relative position of antennas |
图选项 |
图 1(b)为两个天线相对位置的俯视图，A表示遮挡天线的参考点，B表示被遮挡天线的参考点。P1点和B1点分别是P点和B点在XAY平面上的投影点，北向的单位向量为m，则B1P1与m之间的夹角α就是方位角。在空间直角坐标系中，以遮挡天线的参考点A为原点，Z轴由纸面朝上。
在每一个方位上被遮挡天线的圆柱体接收信号的区域刚好与遮挡天线形成的球面相切时，求解BP指向的俯仰角。不论两个天线之间的相对方位如何，都将方位角从0°取值到360°，求解每个方位上的俯仰角。由于圆柱体可以与球面在每个方向上相切于球面上方和球面下方，计算的时候仅保留相切于球面上方时的结果。
被遮挡天线接收信号的圆柱体区域与遮挡天线形成的球面相切于S点，则在图 1(a)中LS垂直于AS，同时BP垂直于AP。
由以上条件可以得到3个方程，从而求解出P点的坐标。
第1个方程：B1P1与m之间的夹角为α，即
第2个方程：AP垂直于BP，即
第3个方程：AP的模等于AS的模与SP的模之和，其中AS表示A天线参考点到边缘点的距离, SP表示B天线的半径，即
将α从0°至360°之间取值，如果得到的解为虚数，则不会相切，如果得到实数解，将P点纵坐标值较小的解舍去，即可得到P点的坐标。已知B点的坐标，则可以得到B天线的指向BP
BP与XAY平面的夹角为被遮挡天线的仰角，方位角是α，设n为Z方向的单位向量，仰角为el，单位为(°)，则有关系式
即可求出B天线的仰角el，即
方位角为
因此，对于任意给定0°~360°之间的α角，可以得到是否在方位角az上存在遮挡，如果遮挡，可以求出遮挡时的天线俯仰角el。由于算法本身的原因，会在0°~360°的方位范围内得到4个相同的遮挡区域，根据两个天线的相对方位舍去其他3个遮挡区域即可。
2 上海VGOS天线的地平遮挡角计算
中国科学院上海天文台正在建设天马13.2 m天线系统和佘山13 m天线系统，2台天线分别位于天马望远镜园区和佘山园区。由于园区内的场地限制，新建的2个VGOS天线均与各自园区内的旧天线相距不远，形成相互遮挡。天马园区和佘山园区内的天线相对位置如图 2所示。2 上海VGOS天线的地平遮挡角计算
2.1 天马园区和佘山园区天线遮挡计算天线遮挡计算用到的输入参数见表 1，将遮挡天线参考点作为坐标原点，m均为Y方向的单位向量，n均为XOY平面的法向量。
表选项
根据两组天线相对位置输入相应的参数，计算得到每组天线中被遮挡天线的俯仰角, 所有天线的最低工作仰角设置为5°，使用阶梯函数表示天线遮挡，见表 2。由于本文的最后需要将遮挡阶梯函数添加到观测纲要文件中，使用哥达德太空飞行中心给出的SKED软件编制不同的观测纲要[22-23]，所以阶梯函数格式按照SKED软件的要求来书写。天线的遮挡阶梯函数方位角必须以0°开始，以360°结束，阶梯函数格式为：方位俯仰方位俯仰……方位，并且方位角都必须是5°的倍数，软件中不能识别小数。本文根据这些要求来书写阶梯函数，从而更加方便地使用SKED软件编制观测纲要。此外，俯仰角向上取整，可以确保选取到可以看见的射电源。
表选项
将以上4个天线各自的阶梯函数遮挡数据作为输入文件，绘制出两组天线最低遮挡角5°情况下的直角坐标图，如图 3所示，蓝色线为阶梯函数数据，其中横坐标为方位角，纵坐标为俯仰角，橙色曲线为最初始的遮挡数据。
由于天线转动形成一个规则的球体，因此得到的遮挡范围是一个对称的曲线。天马园区的TIANMA65天线口径较大，13.2 m天线对其遮挡很小，最大遮挡角仅为5.7°，而TIANMA65对TIANMA13的最大遮挡角则达到了22.3°。佘山园区的两个天线相距较近，仅为50 m左右，所以遮挡角更大一些。SESHAN13的最大遮挡角达到了23.4°，SESHAN25的最大遮挡角为20.3°。VLBI观测的基本准则是，至少两个天线同时观测目标时，如果观测目标在两个台站的截止高度角以上(通常为5°)或高于两个台站的地平遮挡，则表示共同可见。因此，考虑到所有天线的观测截止仰角均为5°，针对两组天线之间的相互遮挡，计算了遮挡天区的面积。得到的每组天线的最大遮挡角、遮挡天区面积以及遮挡天区面积占5°以上天区面积的比值，计算结果见表 3。
表选项
由表 3可以看到，SESHAN25对SESHAN13的遮挡最为显著，遮挡区域占5°以上天区面积比值达到了3.14%，TIANMA13对TIANMA65的遮挡区域仅占到5°以上天区面积的0.02%，遮挡天区面积比非常小，可以忽略掉这片遮挡区域。其他两组天线间的相互遮挡区域面积比均为2%左右，遮挡并不严重。
3 地平遮挡对于UT1测量精度的影响
上海佘山25 m天线与德国WETTZELL站的20 m天线组成的SESHAN25-WETTZELL基线，联合测量UT1[24]已有十余年的历史。上海VGOS站后续将接替25 m天线参加UT1测量，上海VGOS站和WETTZELL站的共同可视天区位于上海VGOS站西北方向的天区。在天线建设申报阶段，只是简单估计了最大遮挡角，没有量化分析遮掩问题对UT1观测的影响。由于天线所在园区内的场地限制，VGOS天线只能选择在距离旧天线最远的园区边缘处建设，以尽量减小遮挡天区面积。考虑到SESHAN13的遮挡主要在南偏东方向，而TIANMA13的遮挡主要在北偏西方向，因此，地平遮挡只会影响TIANMA13-WETTZELL基线的共同可视天区，从而影响UT1测量精度，为此本文进行了仿真分析。表选项
使用大地测量VLBI观测纲要软件SKED编制16次观测的观测纲要文件，参与观测的台站均为TIANMA13和WETTZ13S，观测持续时间均为1 h。编制观测纲要时，根据IVS射电源表(https://ivscc.gsfc.nasa.gov/IVS_AC/sked_cat/)中的位置和流量密度选择40颗最适合的射电源。X波段和S波段的最低信噪比分别设置为18和15，每个scan的时间均为30 s，TIANMA13和WETTZ13S的系统等效流量密度(system equivalent flux density, SEFD)均设置为2000 Jy。观测模式按标准VGOS频率设置，含4个频段和2个极化，观测数据采集速率为8 Gbps，但数据记录速率为4 Gbps。这意味着观测30 s，需要花1 min将数据记录在磁盘上。以FX2000和FY2000为例，图 6和图 7分别是FX2000和FY2000这两个观测纲要文件中每个台站观测的所有射电源的方位俯仰。两个观测纲要文件均为53个scan，由地平遮挡角计算结果可知TIANMA13在325°至350°方位上存在着最大23°的遮挡角，因此在FX2000观测中325°至350°方位上没有低仰角的scan存在。而在去掉遮挡角的FY2000观测中，很明显可以看到在这个方位区间上多出了1个scan，图 7中用蓝色十字表示。由于观测的射电源以及总的scan数量没有变化，只是射电源观测顺序不一样，所以在遮挡区域之外会相应地减少一个scan，这个scan在图 6中用绿色十字表示。
3.2 dUT1仿真结果分析仿真分析使用的软件为VieVS(Vienna VLBI and satellite software)，采用蒙特卡洛仿真分析方法[26]对16个观测纲要进行仿真分析[27]，仿真的时延观测量主要包括湿大气、钟差及热噪声引起的时延误差。对流层模型根据湍流理论进行仿真[28-29]，钟差的模拟采用Allan标准方差1e-14s@50 min，即50 min内的稳定度为10的负14次方秒，时延测量的热噪声设置为4 ps[30]。解算参数设置包括：天顶湿大气延迟作为分段线性函数30 min解算一次，钟差60 min解算一次，dUT1参数60 min解算一次[31]。每个观测纲要仿真1000次，最终得到1000个dUT1形式误差的平均值，即平均形式误差。根据仿真结果，这些观测所能得到的UT1的平均形式误差由表 5给出。
表选项
所有观测的dUT1仿真解算平均形式误差均在6~7 μs左右。由表 5可以看出，去掉遮挡以后，有3组数据的UT1平均形式误差减小，剩余5组数据的UT1平均形式误差增大，但是他们的平均形式误差相差都很小，仅有两组数据差别较大, 但是也在5%以内。以FX2000和FY2000为例，由图 6和图 7可以看出，即使观测纲要中不添加TIANMA13天线的遮挡，在遮挡区域内也很难选取到射电源。总之，TIANMA13天线的地平遮挡对于UT1测量并没有显著的影响。
4 结论
本文以天线之间的几何位置关系为基础，提出了一种简便有效的地平遮挡角计算方法，根据2个天线的相对位置、被遮挡天线参考点到边缘点的距离、遮挡天线的口径，即可得到天线之间的地平遮挡结果。以上海天文台天马园区65 m天线与13.2 m天线、佘山园区的25 m天线与13 m天线的相互遮挡为例，计算了4个天线的地平遮挡。TIANMA65和TIANMA13的最大遮挡角分别为5.7°和22.3°，遮挡天区面积分别为4.4 sd和412.1 sd，遮挡区域占5°以上天区面积的比值分别为0.02%和2.19%。SESHAN25和SESHAN13的最大遮挡角分别为20.3°和23.4°，遮挡天区面积分别为458.7 sd和591.8 sd，遮挡区域占5°以上天区面积的比值分别为2.44%和3.14%。天线之间的相互遮挡会影响编制观测纲要时的射电源选择，在被遮挡的范围内不允许选取射电源，因此会影响观测纲要中的scan分布。为了研究天线遮挡对于UT1测量的影响，仿真分析了16次不同的观测，比较了8个对照组的UT1仿真结果，所有的对照组中dUT1平均形式误差均相差非常小，仿真结果显示天马VGOS天线的地平遮挡角对于UT1的测量没有显著的影响。作者简介4 结论
第一作者简介：吴徳(1995—), 男, 博士生, 研究方向为VLBI与深空探测。E-mail: wude@shao.ac.cn
通信作者：舒逢春, E-mail：sfc@shao.ac.cn
终审：金 君
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