外尔与杨振宁——物理的真与数学的美 | 量子群英会
图1：规范场论的大师们
和量子物理类似，规范场论（Gauge Theory）不是一个人的功劳，而是许多位大师级科学家们集体智慧的结晶，是物理与数学、真与美的结合。
撰文 | 张天蓉
责编 | 宁 茜、吕浩然
赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）是德国数学家及物理学家，对数学和理论物理做出了杰出的贡献，被公认为是20世纪最有影响力的数学家之一。
数学家多少有几分诗人气质，外尔就给人这样的印象。也许是在神圣的数学王国中遨游，长期受“美”的熏陶所致，他时不时会冒出几句诗意的话语。外尔曾经用“苏黎世一只孤独的狼”来描述被自己崇拜的偶像爱因斯坦批评时，那种失望和迷茫的心态。这是外尔研究统一场论时的一段故事。
外尔对“美”有一种独特的欣赏方式，他特别欣赏自然界的对称美。外尔上世纪50年代初在普林斯顿大学作了一系列有关对称的演讲，后来写成一本名为《对称》的科普小书，广受读者欢迎。规范理论的诞生，便与外尔追求“对称统一美”的工作有关。
外尔所著的《对称》一书
外尔曾任苏黎世联邦理工学院数学系的系主任，在那里和年长几岁的爱因斯坦是同事，也深受爱因斯坦的影响。在他1918年的《空间，时间，物质》一书中，外尔回溯了相对论物理的发展。同一年，他引入了规范（gauge，即尺度变换）的概念，并给出了规范理论最早的例子。
1933年纳粹执政时，外尔也和爱因斯坦一样，相继避难于美国，成为普林斯顿高等研究院早期的重要成员。爱因斯坦追求统一场论数年未果，外尔则企图将爱因斯坦有关统一的想法在某种程度上数学化。外尔用规范变换作了一个不成功的尝试：企图用时空的几何性质来统一描述电磁场和引力场。这虽然是一个错误的模型，但却开启了规范场理论进入物理学的大门。
四种相互作用中的强、弱相互作用仅存在于微观世界，人们在日常生活中最熟悉的、科学家们研究最成熟的，是引力和电磁力。当年的外尔，深切感受到广义相对论及麦克斯韦电磁理论既真又美的特点。因此，外尔首先想到的，便是用他欣赏的规范理论，将这两者统一起来。
所谓“统一”，实质上就是寻求不同理论之间的某种对称性，而规范不变便是系统某种内在对称性的数学表达。
对称的意思就是在某种变换下不变，就好像外尔《对称》一书封面上的蝴蝶，沿中线转180度还是一样的。因而表述它的变量具有冗余性，有某些多余的东西。例如：我们说雪花的形状是六角对称的，意思是说当我们将它以中心点旋转60度、120度、180度等角度时，它的形状不变，因而可以只用它1/6的形状，便能描述整体。将这个概念用到物理上，即物理理论中的某种内在对称，可以被描述为规范理论中的“规范不变”。
电路中 “电压” 的概念，是物理理论中具有冗余变量的通俗例子。大家都知道220伏特的交流电是危险的，接触到便会置人于死地，几万伏特的高压线就更不用说了。但是，你可能也注意到立于高压线上的鸟儿，却似乎一点危险也没有感到，仍然能够自由自在地活蹦乱跳，那是什么原因呢？
这是因为用“绝对的电压值”来描述电力系统具有某种冗余性。因为电力系统对绝对电压值的“平移”具有对称性。绝对电压V0并不是真正起作用的物理量，鸟儿两个脚的V1和V2之间的“电压差”V（V=V1-V2）才具有实在的物理效应。也就是说，用两个数值（V1、V2）来表示系统的危险性是多余的，只需要一个数值V就足够了。这也就是为什么在电路中（包括电子线路），“接地”的概念是很重要的原因。
用物理语言解释以上例子，可以说成是“电压具有平移规范对称性”。
重力场也具有与上述电力系统类似的平移规范对称性。就像父母不在乎孩子从五楼房间的床上跳到地板上，但绝对不允许孩子从五楼的平台跳到楼下的草地上。这儿的物理效应也是这样，不管“绝对高度”，只取决于高度的相对差距而已。
同样类似的“规范”概念可以搬到经典电磁场中，只不过比上述的“平移规范”具有更为复杂的形式。平移规范对称性是整体规范变换的实例，可以用电路接地，即定义一个整体的零点“地”来解决。电磁场规范变换则是局部时空场的变换，即随着时空点的不同而不同。
根据麦克斯韦电磁理论，电磁场可以用电场E和磁场H来描述，也可以用考虑相对论效应的4维电磁势A来更为方便地描述。但是，根据经典电磁理论，只有电场和磁场才与物理效应有关，电磁势与物理效应不是一一对应的，它具有一定冗余性，就像“绝对电压”很高的值并不能电死鸟儿一样，电磁势的值不完全等效于物理作用。经典电磁理论中，对于同样的电场和磁场，电磁势A不是唯一的，如果四维电磁势A作如下规范变换时，电场E和磁场H保持不变：
其中θ是一个任意函数，这说明对于描述同样的电磁场，四维矢量势A不唯一。上文的规范变换一词，便反映了电磁系统用4维矢量势来表述电磁场时的冗余性。
外尔认为可以“利用”电磁势的这个冗余性。他的做法是：当四维电磁势A作如（1）的规范变换时，给广义相对论的时空黎曼度规乘上一个尺度（规范）因子λ(x) = eθ(x) ：
如此得来的“新度规”，在形式上可以包容电磁场，数学上看起来非常美妙，闪耀着新思想的火花。然而，当外尔兴致勃勃地将他的文章寄给爱因斯坦后，得到的反馈却不咋地。爱因斯坦一方面赞赏外尔几何是“天才之作、神来之笔”，一方面又从物理的角度，强烈批评了这篇文章脱离了物理的真实性。
因为从物理上讲，外尔在度规函数中引入一个任意的函数λ(x)，即相当于在4维时空中的每一个点都可以有任意不同的长度单位和时间单位，也就是有任意不同标度的钟与尺，好比我在家里的卧室里测量结果是“高2米、年龄20岁”，但到了厨房就被测量成了“高4米、年龄10岁”，这在物理上是不可能被接受的。
因此，外尔企图统一电磁和引力的模型失败了，尽管它具有数学之美，却失去了物理之真。
爱因斯坦的反对意见让外尔失望，却也进一步激励了他求真求美的兴趣。外尔的好友薛定谔（Erwin Schrödinger，1887 -1961）对量子力学的研究也深深影响了他。后来，外尔带着“量子”的新武器，再次返回到规范场这个课题，并将其原来的理论作了如下两点改变：
1. 规范变换不是作用在度规张量gij上，而是作用在电子标量场f上;
2. 在原来变换中尺度因子的指数上，乘了一个i，也就是-1的平方根。
这一次，聪明的外尔回避了“老大难”的引力场统一问题，转而研究电磁场和电子的相互作用。此外，外尔将原来的规范因子，乘上了虚数i，改变成了电子波的“相”因子，意味着引入了电子的波动性，进入了量子力学。
在上述两点改变下，外尔的电磁规范变换成为以下由两个变换组成的联合运算：
f → eiqθ(x)f ， A → A − iq∂ θ(x)（3）
图2：经典规范变换和量子规范变换之不同
图2的（a）和（b）分别直观地说明了经典规范变换（1）和量子规范变换（3）的不同。经典电磁场的规范变换，只是电磁势A自己变换，然后使得E和B变化而引起电子所受作用力F的变化，电子完全处于被动的位置。量子理论中的规范变换，将电子场f的相因子变换，以及电磁势A的补偿变换结合起来，电子不再是被动的，而是通过电子场与电磁场相互作用，两者一起变换。
公式（3）中，为了更简单明了，将电子的场函数f取为标量函数，但实际上，它是代表薛定谔方程（或狄拉克方程）的解，不是标量。此外，量子规范变换的公式（3）仅与粒子的电荷q有关。实际上，物理学家为了方便，一般采用一种特别的单位，称之为自然单位，其中令约化普朗克常数
改进后的外尔规范理论，已经不是原来的尺度变换理论，而变成了“相因子变换”理论。它没有了爱因斯坦当年所批评的“钟和尺”不确定的问题，被成功地应用于量子电动力学中，为实验所精确证实。量子化之后的四维矢量势A，也正确地描述了与电子相互作用的电磁场。
在量子理论中，电子场f，或者是波函数f(x)表示的是电子的几率幅，它的绝对值的平方是电子在时空中某一点出现的几率，而复数相位的绝对大小没有物理意义，有意义的只是不同时空点之间的相位差，它影响到几率波的干涉效应。因此，规范变换中将几率幅乘上一个相因子eiqθ(x)，意味着几率幅的相位变化了一个角度qθ(x)，对计算几率丝毫没有影响。
在规范变换作用下，如果能使得物理规律保持不变而引入的场，被称之为规范场。如果物理规律符合量子理论，便是量子化的规范场。
因此，符合变换（3）的电磁场是第一个量子规范场（光子场）。根据诺特定理，对称与守恒相对应。量子化电磁场的规范不变对称性，对应于电荷（q）守恒定律。使用群论的语言，相因子对称也就是U(1)群对称。酉群U(1)是1维复数群，与实数2维空间的旋转群SO(2)同构，也就是说，电磁规范场符合U(1)对称，即“平面上的旋转对称”。
二维旋转U(1)是可交换的，被称为阿贝尔群。大多数对称性对应的是更为复杂的、不能交换顺序的非阿贝尔群。例如，三维旋转群就是不能交换顺序的“非阿贝尔”群。当物理学家们试图将电磁规范场推广到另外两种相互作用（强、弱）时，便碰到了非阿贝尔规范场（non-Abelian gauge field）的问题。这个问题最后被杨振宁（Chen-Ning Yang，1922-）和米尔斯（Robert Laurence Mills，1927-1999）首先突破。因此，之后便将非阿贝尔规范场称为杨-米尔斯场（Yang-Mills field）。
1949年春天，杨振宁前往普林斯顿高等研究院作研究。同一年，外尔退休离开了普林斯顿，杨振宁搬进了外尔的旧居，并成为高等研究院的永久成员。
杨振宁不仅接租了外尔的房子，还接替了外尔在理论物理界的位置，按照戴森（Freeman Dyson，1923 -2020）的说法，“成为了理论物理界的一只领头鸟”[1]。更有趣的是，杨振宁对外尔在规范理论方面的工作非常感兴趣。这个共同的兴趣——对物理真及数学美的追求，激励他之后对外尔的规范理论作了一个漂亮的推广。
四种相互作用中的电磁力和引力是长程力，作用范围大，因此日常生活中就能感觉到，另外两种是短程力，只表现于微观世界。弱力在beta衰变中存在，费米（Enrico Fermi，1901-1954）在20世纪30年代对其作出了最早的描述。对强相互作用的认识始于1947年发现与核子作用的π介子及其它“强子”。强作用比弱相互作用的力程长（约为10-15m），作用最强（电磁力的137倍），它是核子（质子或中子）之间的核力，是使核子结合成原子核的相互作用，因而成为当时研究者的首选。
强相互作用比其他三种基本作用有更大的对称性，需要有新的物理学说来解释此现象。这点正好符合了杨振宁要推广规范场的想法。
1953-1954年，杨振宁暂时离开高等研究院，到纽约长岛的布鲁克海文国家实验室（Brookhaven National Laboratory , BNL）工作了一段时期，正好和来自哥伦比亚大学的博士生米尔斯使用同一个办公室。布鲁克海文实验室有当时世界上最大的粒子加速器，世界各地也不断传来多种介子被陆续发现的消息，这些实验使得两位物理学家既振奋又雄心勃勃，杨振宁认为迫切需要一个描述粒子间相互作用的有效理论，他对规范理论的思考也有了重大的突破。他和米尔斯认识到描述同位旋对称性的SU(2)是一种“非阿贝尔群”，与外尔的电磁规范理论的对称性U(1)完全不同，需要进行不同的数学运算。
比如，将四维电磁矢量势A，推广到杨-米尔斯场的情况时，势场用B来表示。A是电子场的势，B是杨-米尔斯场的势。因为杨-米尔斯场描述的对象是两个分量的同位旋， 与其相对应的B 也不是原来类似A的矢量场了，而是成为2x2的矩阵场B。而二维矩阵是不对易的，因而，在相应的张量Fmn表达式中需要加上一项对易子，见图3。
杨振宁和米尔斯认识到这点，加上对易子一项。如杨振宁在回忆中说：“我们知道我们挖到宝贝了！”[2]。通过两人卓有成效的合作，他们在《物理评论》上接连发表了两篇论文，提出杨-米尔斯规范场论。
寄出文章之前，1954年的2月，杨振宁应邀到普林斯顿研究院作报告，正逢泡利在高研院工作一年。当杨在黑板上写下他们将A推广到B的第一个公式时，“上帝鞭子”泡利开始发言了：“这个B场对应的质量是多少？” ，急得杨振宁一身冷汗，因为这个问题一针见血地点到了他们的“死穴”。之后泡利又问了一遍同样的问题，杨只好回复说事情很复杂，泡利听后便冒出一句他常用的妙语：“这是个很不充分的借口”。当时的场景使杨振宁分外尴尬，报告几乎做不下去，亏得主持人奥本海默（Julius Robert Oppenheimer， 1904-1967）出来打圆场，泡利方才作罢，之后一直不语。
泡利尖锐的评论，说明他当时已经思考过推广规范场到强弱相互作用的问题，并且意识到了规范理论中有一个不那么容易解决的质量难点。因为规范理论中的传播子都是没有静止质量的，否则便不能保持规范不变。在电磁规范场理论中，作用传播子是光子，光子正好本来就没有静止质量。但是，强相互作用不同于电磁力，电磁力是远程力，强弱相互作用都是短程力，短程力的传播粒子一定有质量，这便是泡利当时所提出的问题。这个质量的难题，让规范理论默默等待了20年。
从上一篇的介绍可知，之后的希格斯机制（Higgs Mechanism），解决了这个质量问题。
当年杨-米尔斯理论的原意是要解决强相互作用问题，尽管这个目的没有立即达到，但却构造了一个非阿贝尔规范场的模型，为所有已知粒子及其相互作用提供了一个框架和基础。
史蒂芬·温伯格（Steven Weinberg，1933-）与谢尔顿·格拉肖（Sheldon Glashow，1932-）、及阿卜杜斯·萨拉姆（Abdus Salam，1926-1996），用规范理论解决了弱电统一问题U(1) *SU(2)，由此3人共同获得了1979年的诺贝尔物理学奖（见下一篇）。
类似于量子电动力学（QED），强相互作用可被基于SU(3)规范对称性的量子色动力学 （QCD）描述。因此，在众多物理学家们的努力下，将除了引力之外的电磁及强弱相互作用，用规范理论（对称群U(1) *SU(2)*SU(3)）统一起来，并在此基础上建立了我们下一篇将介绍的标准模型。即使是尚未统一到标准模型中的引力，也完全可以包括进经典规范场的理论之中。
杨-米尔斯规范理论，不仅仅是物理学中统一理论的基础，还颇受数学家们的青睐，对于纯粹数学的发展，起到了一定的推动作用。
规范场论中的规范势，恰是数学家在20世纪30-40年代以来深入研究过的纤维丛上的联络。这个联系激起了数学家对规范场方程进行了许多深入的研究。
迈克尔·阿蒂亚爵士（Michael Atiyah，1929-2019）是黎巴嫩裔英国人，他在1966年荣获菲尔兹奖（Fields Medal），被誉为当代最伟大的数学家之一。
阿蒂亚的早期工作主要集中在代数几何领域。70年代后他的兴趣转向规范场论，着力研究瞬子和磁单极子的数学性质。他出版的专题文集《杨-米尔斯场的几何学》（Geometryof Yang-Mills Fields），使众多数学家对规范场日益重视。近30年来，在量子场论和弦理论的研究中，他对低维拓扑和无穷维流形几何的研究，深刻影响了爱德华·威滕（EdwardWitten，1951-）等数学物理学家。
1990年的国际数学家大会有四位菲尔兹奖获奖者：威滕、德林菲尔德（V.Drinfel'd，1954-）、琼斯（Vaughan Jones，1952-2020）、森重文（Shigffumi Mori，1951-）。除了森重文，其他三人的工作都和杨-米尔斯场有关。其中，威滕是理论物理学家，对物理统一理论做出了杰出的贡献，我们将于以后介绍他对弦论的杰出贡献。
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