加入交乘项后符号变了!?

作者：连玉君 (知乎 | 简书 | 码云)  

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1. 简介

• Stata：交乘项该如何使用？

• Stata：边际效应分析

• Stata：图示连续变量的边际效应(交乘项)

• Stata：图示交互效应\调节效应

在前面的几篇推文中，我们对交乘项的基本设定、图示、边际效应分析等内容进行了较为细致的分析。最近适逢很多学生写毕业论文，有关交乘项的问题又涌上心头。其中，最突出的问题便是：为何加入交乘项后主变量变得不显著了，甚至符号都变掉了？

简单的解释是：此一时，彼一时！

因为，加入交乘项前后，主变量的系数含义发生了实质性的变化，二者不具可比性。本文的目的在于澄清这种差异，并介绍一种让主变量系数在加入交乘项前后不会发生大幅变化 (具有可比性) 的方法。

2. 为何加入交乘项后主变量符号会变化？

对于模型

系数，也就是当取样本均值时，变动一个单位对 y 的影响。

当我们加入交乘项  后， 的系数含义发生了很大的变化。

先看  对 y 的边际影响：，这是大家都了解的基本结论：包含交乘项时， 对 y 的边际影响不再是常数，而是随着  的取值不同而发生变化。

• 解释：此时，一阶项  的系数为 。也就是说，在模型 (2) 中，一阶项  的系数表示当 =0 时， 变动一个单位对 y 的影响。显然，模型 (1) 中的  与 模型 (2) 中的   估计值不同，甚至发生符号变化是很正常的事情。

• 举个简单的例子。假设 y 表示收入； 表示丑陋程度； 表示教育年限，取值为 0, 1, 2, ……20，均值为 12。基本想法是想检验「教育能否扭转我在职场上的天生劣势？(你知道我为什么读 PhD 吗？)」假设估计模型 (2) 得到的参数为 =-1.6，=0.2，即 。根据上面的数值，可以大致推断模型 (1) 中 的系数约为 。大家可以自行分析一下  和  的经济含义。

3. 如何尽力保证模型间的系数可比性？

若想让加入交乘项前后的模型 (1) 和模型 (2) 中主变量 () 的系数具有可比性，可以采用如下模型设定形式 (参见 Balli H O, Sørensen B E. Interaction effects in econometrics[J]. Empirical Economics, 2013, 45(1): 583-603. [PDF])：

其中，和分别表示 和  的样本均值。

此时，主变量 () 的系数会非常接近基于模型 (1) 得到的 ：

大家可能更加关心交乘项的系数是否会发生变化，答案是：不会！

因为，模型 (3) 相对于模型 (2) 无非是增加了一些一阶项和常数项，而交乘项并未发生变化。我们也可以用更为正式的方式来得到这一结论。对于模型 (2) 而言，，而在模型 (3) 中。

4. 部分离差还是全部离差？

在模型 (3) 中称为 的离差形式，其实就是对  的每个观察值都做去均值处理。

因此，文献中也会采用如下模型设定形式：

按照上面的分析逻辑不难看出，这个模型与 模型 (3) 没有任何本质区别，因为展开后新增的项目和都是常数，即

其中，。简言之，相对于模型 (3)，由模型 (4) 中得到的 , 以及  的系数都是完全相同的，唯一差别在于常数项。

需要补充说明的是，无论是采用模型 (3) 还是模型 (4)，本意都是为了方便对系数的含义进行解释，并不是所谓的克服共线性之类的说辞。

5. 模拟分析

参考 Balli et al. (2013, [PDF]) 文中的做法进行模拟，发现在使用交乘项时，在模型中用替换 ，一次项的系数更容易解释一些。

Note： 这里的 x 表示上文中的 ，这里的 z 表示上文中的  。

1. *-Source:

2. /*

3. Balli, H. O., B. E. Sørensen, 2013,

4. Interaction effects in econometrics,

5.    Empirical Economics, 45 (1): 583-603.

6. */

7. /* Table 1

8. The true model is Y = 3X1 + 5X2 + 8X1X2 + e

9. where X1 = 1 + e1 and X2 = 1 + e2,

10. ei~N(0,1) for i = 1, 2

11. (X1 and X2 are not correlated) and e~N(0,100).

12. A constant is included but not reported.

13. The sample size is 500 and the number of simulations is 20,000.

14. Averages of estimated t statistics are shown in parentheses

15. */

16. clear

17. set obs 500

18. set seed 135

19. local rhox = 0

20. gen x = 1 + rnormal()

21. gen z = 1 + rnormal() + `rhox'*x

22. gen e = rnormal(0,10)

23. gen y = 10 + 3*x + 5*z + 8*x*z + e

24. pwcorr y x z

25. center x z, prefix(c_)

26. *-模型 (0)

27. reg y x

28. est store m0

29. *-模型 (1)

30. reg y x z

31. est store m1

32. *-模型 (2)

33. reg y x z c.x#c.z

34. est store m2

35. *-模型 (3)

36. reg y x z c.c_x#c.c_z // Balli2013, Eq.(3)

37. est store m3

38. *-模型 (4)

39. reg y c_x c_z c.c_x#c.c_z

40. est store m4

41. *-结果对比

42. local m "m0 m1 m2 m3 m4"

43. local m "m1 m2 m3 m4"

44. esttab `m' `s', nogap replace order(x z c_x c_z) ///

45. b(%6.3f) s(N r2_a) drop(`drop') ///

46. star(* 0.1 ** 0.05 *** 0.01) ///

47. addnotes("*** 1% ** 5% * 10%")

1. ----------------------------------------------------------------------------

2. Model (1) (2) (3) (4)

3. ----------------------------------------------------------------------------

4. x 9.979*** 2.904*** 10.047***

5. (17.66) (4.48) (21.68)

6. z 12.898*** 5.450*** 13.101***

7. (22.53) (8.14) (27.90)

8. c_x 10.047***

9. (21.68)

10. c_z 13.101***

11. (27.90)

12. x#z 7.479***

13. (15.59)

14. c_x#c_z 7.479*** 7.479***

15. (15.59) (15.59)

16. _cons 3.024*** 9.792*** 2.485*** 25.275***

17. (3.12) (10.81) (3.12) (53.61)

18. ----------------------------------------------------------------------------

19. N 500.000 500.000 500.000 500.000

20. r2_a 0.629 0.751 0.751 0.751

21. ----------------------------------------------------------------------------

22. t statistics in parentheses

23. *** 1% ** 5% * 10%

24. . sum y x z

25. Variable | Obs Mean Std. Dev. Min Max

26. -------------+---------------------------------------------------------

27. y | 500 25.55029 21.10401 -33.97629 103.5704

28. x | 500 1.023 1.018471 -2.755543 3.808831

29. z | 500 .9550672 1.005523 -1.766887 3.902355

结果分析：

• 在模型 (1)-(3) 中，交乘项的系数和 t 值都完全相同；

• 对比模型 (3) 和模型 (4)，除了常数项外，其他变量的系数和 t 值完全相同；

• 模型 (2) 和模型 (3) 中的一阶项系数之间的关系。在两个模型中 x 的系数分别为 2.904 和 10.047。z 的样本均值为 zm = 0.955。因此，对于模型 (2) 而言，当 z 取其样本时，dy/dx (z=zm) = 2.904 + 7.479*zm = 2.904 + 7.479*0.955 = 10.046。这与第三列中由模型 (3) 估计出的  x 的系数 (10.047) 非常接近。期间的微小差别主要源于四舍五入。

• 模型 (1) 和模型 (3) 中的一阶项系数之间的关系。 这是我们最关心的事情。由上面的分析可知，虽然模型 (1) 和 (2) 中 x 的系数存在很大差异，但 (1) 和 (3) 中 x 的系数应该比较接近。我们看到的结果也的确如此。

事实上，在很多论文中，通常会先估计 y = a + b*x， 而不是 y = a + b1*x + b2*z ，即本文的模型 (1)。如果 corr(x, z) = 0，这两个模型中得到的 x 的系数不会有明显差异，但如果 x 和 z 彼此相关，则简化模型 y = a + b*x 就会存在遗漏变量的问题，其系数是有偏估计。感兴趣的读者，可以把上述模拟分析代码中的 local rhox = 0 修改为 local rhox = 0.5 或 local rhox = -0.5 等数值，并在结果呈现部分也列示出 m0 的结果，看看系数估计值会发生哪些变化。

6. 结论和实操建议

• 若只关心交乘项的系数，则使用模型 (1)-(3) 中的任何一种形式，都不影响系数的统计推断。

• 若希望让加入交乘项前后一阶项的系数容易解释，也具有可比性，可以在论文中呈现模型 (1) 和模型 (3) 的结果。

• 如果  是一个虚拟变量，则无需做中心化处理，在论文中呈现模型 (1) 和模型 (2) 的结果即可，此时基于模型 (2) 进行分析反而更为直观。

参考文献

• Balli H O, Sørensen B E. Interaction effects in econometrics[J]. Empirical Economics, 2013, 45(1): 583-603. [PDF] 这篇讲的非常清楚，还做了 MC 分析。

• Bun M J G, Harrison T D. OLS and IV estimation of regression models including endogenous interaction terms[J]. Econometric Reviews, 2018: 1-14. -PDF-

• Ebbes, P., D. Papies, H. van Heerde. 2016, Dealing with endogeneity: A nontechnical guide for marketing researchers[C], Handbook of market research  1-37. 从 IV 讲起，很细致，进一步讨论了交乘项内生以及多个内生变量的情形。[PDF]

• Papies, D., P. Ebbes, H. J. Van Heerde. 2017, Addressing endogeneity in marketing models[C], Advanced methods for modeling markets (Springer,  581-627. [PDF], [web]

后续写作安排

• 离差形式的系数含义图示，边际效应图示

• 包含内生变量以及内生变量的交乘项的情形

• 包含两个以上内生变量

• 估计方法

• IV

• 2SLS

• 控制函数法 (Control Function Approach, see Ebbes, Papies, van Heerde,  2016, pp.28 讲的非常清楚)

• 潜工具变量法 (LIV, see Ebbes, Papies, van Heerde,  2016)

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