合成控制法 (Synthetic Control Method) 及 Stata实现

作者：何庆红（北京大学中国卫生经济研究中心）    
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本推文介绍合成控制方法及其 Stata 的实现命令。合成控制方法（Synthetic Control Method）由Abadie and Gardeazabal (2003)提出。目前，该方法已被广泛使用。

1. 背景介绍

经济学家常要评估某政策或事件的效应。此政策可能实施于某国家或地区（省、州或城市）。为此，常使用“鲁宾的反事实框架”（Rubin's counterfactual framework），即假想该地区如未受政策干预将会怎样，并与事实上受到干预的实际数据进行对比，二者之差即为“处理效应”（treatment effect，借用医学术语）。常用解决方法是，寻找适当的控制组（control group），即在各方面都与受干预地区相似却未受干预的其他地区，以作为处理组（treated group，即受到干预的地区）的反事实替身（counterfactuals）。     
 
比如，要考察仅在A市实施的某政策效果，自然会想到以之相近的B市作为控制地区；但B市毕竟与A市不完全相同。或可用其他城市（B市、C市、D市）构成A市的控制组，比较B市、C市、D市与A市在政策实施前后的差别，此方法也称“比较案例研究”（comparative case studies）。但如何选择控制组通常存在主观随意性（ambiguity），而B市、C市、D市与A市的相似度也不尽相同。 
 
为此，Abadie and Gardeazabal (2003)提出“合成控制法”（Synthetic Control Method）。其基本思想是，虽然无法找到A市的最佳控制地区，但通常可对若干大城市进行适当的线性组合，以构造一个更为优秀的“合成控制地区”（synthetic control region），并将“真实A市”与“合成A市”进行对比，故名“合成控制法”。合成控制法的一大优势是，可以根据数据（data-driven）来选择线性组合的最优权重，避免了研究者主观选择控制组的随意性。

• 合成控制方法（Synthetic Control Method）的优点

• 作为一种非参数的方法，是对传统的双重差分法DID的拓展

• 通过数据驱动确定权重，减少了主观选择的误差，避免了政策内生性问题

• 通过对多个控制对象加权来模拟目标对象政策实施前的情况，不仅可以清晰地反映每个控制对象对“反事实”事件的贡献，同时也避免了过分外推

• 可以对每一个研究个体提供与之对应的合成控制对象，避免平均化的评价，不至于因各国政策实施时间不同而影响政策评估结果，避免了主观选择造成的偏差

• 研究者们可在不知道实施效果的情况下设计实验

2. 合成控制法原理

原理介绍请看以下链接：
Stata: 合成控制法程序
合成控制法：一组文献
合成控制法简介及代码（需点击原文链接进行查看）

3. 合成控制法的 Stata 实现

3.1 命令安装

在 Stata 命令窗口中输入如下命令即可自动安装 synth 命令：

1. ssc install synth, replace

3.2 语法格式

synth 的基本语法格式如下：

1. synth depvar predictorvars(x1 x2 x3) , trunit(#) trperiod(#) ///

2. [ counit(numlist) xperiod(numlist) mspeperiod() ///

3. resultsperiod() nested allopt unitnames(varname) ///

4. figure keep(file) customV(numlist) optsettings ]

具体解释如下：

• “ y ”为结果变量（outcome variable）

• “ x1 x2 x3 ”为预测变量（predictors）。

• 必选项“ trunit(#) ”用于指定处理地区（trunit表示 treated unit）。

• 必选项“ trperiod(#) ”用于指定政策干预开始的时期（trperiod表示 treated period）。

• 选择项“ counit(numlist) ”用于指定潜在的控制地区（即donor pool，其中counit表示 control units），默认为数据集中的除处理地区以外的所有地区。

• 选择项“ xperiod(numlist) ”用于指定将预测变量（predictors）进行平均的期间，默认为政策干预开始之前的所有时期（the entire pre-intervention period）。

• 选择项“ mspeperiod() ”用于指定最小化均方预测误差（MSPE）的时期，默认为政策干预开始之前的所有时期。

• 选择项“ figure ”表示将处理地区与合成控制的结果变量画时间趋势图，而选择项“resultsperiod()”用于指定此图的时间范围（默认为整个样本期间）。

• 选择项“ nested ”表示使用嵌套的数值方法寻找最优的合成控制（推荐使用此选项），这比默认方法更费时间，但可能更精确。在使用选择项“nested”时，如果再加上选择项“ allopt ”（即“ nested allopt ”），则比单独使用“nested”还要费时间，但精确度可能更高。

• 选择项“ keep(filename) ”将估计结果（比如，合成控制的权重、结果变量）存为另一Stata数据集（filename.dta），以便进行后续计算。

3.3 加州控烟案例

背景：1988年11月美国加州通过了当代美国最大规模的控烟法（anti-tobacco legislation），并于1989年1月开始生效。该法将加州的香烟消费税（cigarette excise tax）提高了每包25美分，将所得收入专项用于控烟的教育与媒体宣传，并引发了一系列关于室内清洁空气的地方立法（local clean indoor-air ordinances），比如在餐馆、封闭工作场所等禁烟。Abadie et al. (2010)根据美国1970-2000年的州际面板数据，采用合成控制法研究美国加州1988年第99号控烟法（Proposition 99）的效果。

1. . sysuse smoking （打开数据集）

2. . xtset state year （设为面板数据）

3. . synth cigsale retprice lnincome age15to24 beer ///

4. cigsale(1975) cigsale(1980) cigsale(1988), ///

5. trunit(3)trperiod(1989) xperiod(1980(1)1988) ///

6. figure nested keep(smoking_synth)

具体解释如下：

• cigsale(1975) cigsale(1980) cigsale(1988) 分别表示人均香烟消费在 1975、1980 与 1988 年的取值。

• 必选项 “trunit(3)” 表示第 3 个州（即加州）为 处理组 (实验对象)。

• 必选项 “trperiod(1989)” 表示控烟法在 1989 年开始实施 (政策实施时点)。

• 选择项 “xperiod(1980(1)1988)” 表示将预测变量在 1980-1988 年期间进行平均，其中 “1980(1)1988” 表示始于1980年，以 1 年为间隔，而止于 1988 年；其效果等价于 “1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988”，而前者的写法显然更为简洁。

• 选择项 “keep(smoking_synth)”将估计结果存为 Stata 数据集 smoking_synth.dta （自动存放于当前工作路径下)。

由 Table2 可知，大多数州的权重为 0，而只有以下五个州的权重为正，即 Colorado (0.161)，Connecticut (0.068)，Montana (0.201)，Nevada (0.235) 与 Utah (0.335)。我们随后会用这五个州的实际香烟消费量的加权平均值作为 合成加州 的替代指标。

合成控制法-权重设定

考察加州与合成加州的预测变量是否接近：

从上表 Table1 可知，加州与合成加州的预测变量均十分接近，故合成加州可以很好地复制加州的经济特征。然后比较二者的人均香烟消费量在 1989 年前后的表现：

从上图可知，在 1989 年控烟法之前，合成加州的人均香烟消费与真实加州几乎如影相随，表明合成加州可以很好地作为加州如未控烟的反事实替身。在控烟法实施之后，加州与合成加州的人均香烟消费量即开始分岔，而且此效应越来越大。

紧接着，调用前面已存的数据集 smoking_synth.dta，计算加州与合成加州人均香烟消费之差（即处理效应），然后画图：

1. . use smoking_synth.dta, clear //如不打开另一Stata程序，则此数据集将覆盖原有的数据集smoking.dta

2. . gen effect= _Y_treated - _Y_synthetic//定义处理效应为变量effect，其中“_Y_treated”与“_Y_synthetic”分别表示处理地区与合成控制的结果变量

3. . label variable _time "year"

4. . label variable effect "gap in per-capita cigarette sales (in packs)"

5. . line effect _time, xline(1989,lp(dash)) yline(0,lp(dash))

上图显示，加州控烟法对于人均香烟消费量有很大的负效应，而且此效应随着时间推移而变大。具体来说，在 1989-2000 年期间，加州的人均年香烟消费减少了 20 多包，大约下降了 25% 之多，故其经济效应十分显著（economically significant）。

3.4 房产税对产业转移的影响:来自重庆和上海的经验证据

（研究背景请看原文链接）

1. . synth 工业相对产值 工业相对产值(2006(1)2010) 相对工资 ln人均GDP 财政支出占GDP比重 ln人口密度人平方公里 ///

2. ln年末金融机构存款余额万元 ln医院卫生院床位数张 ln国际互联网用户数户 工业相对产值(2006) 工业相对产值(2008) ///

3. 工业相对产值(2010), trunit(26) trperiod(2011) nested fig

4. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Synthetic Control Method for Comparative Case Studies

6. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7. First Step: Data Setup

8. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10. Data Setup successful

11. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

12. Treated Unit: 26

13. Control Units: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 27 28 29 30 31 32 33 34

14. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

15. Dependent Variable: 工业相对产值

16. MSPE minimized for periods: 2006 2007 2008 2009 2010

17. Results obtained for periods: 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

18. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

19. Predictors: 工业相对产值(2006(1)2010) 相对工资 ln人均GDP 财政支出占GDP比重 ln人口密度人平方公里

20. ln年末金融机构存款余额万元 ln医院卫生院床位数张 ln国际互联网用户数户 工业相对产值(2006) 工业相对产值(20008) 工业相对产值(2010)

21. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

22. Unless period is specified

23. predictors are averaged over: 2006 2007 2008 2009 2010

24. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

25. Second Step: Run Optimization

26. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

27. Nested optimization requested

28. Starting nested optimization module

29. Optimization done

30. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

31. Optimization done

32. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

33. Third Step: Obtain Results

34. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

35. Loss: Root Mean Squared Prediction Error

36. ---------------------

37. RMSPE | .028082

38. ---------------------

39. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

40. Unit Weights:

41. -----------------------

42. Co_No | Unit_Weight

43. ----------+------------

44. 1 | 0

45. 2 | .084

46. 3 | 0

47. 4 | 0

48. 5 | 0

49. 6 | .672

50. 7 | 0

51. 8 | 0

52. 9 | 0

53. 10 | 0

54. 11 | 0

55. 12 | 0

56. 13 | .244

57. 14 | 0

58. 15 | 0

59. 16 | 0

60. 17 | 0

61. 18 | 0

62. 19 | 0

63. 20 | 0

64. 21 | 0

65. 22 | 0

66. 23 | 0

67. 24 | 0

68. 25 | 0

69. 27 | 0

70. 28 | 0

71. 29 | 0

72. 30 | 0

73. 31 | 0

74. 32 | 0

75. 33 | 0

76. 34 | 0

77. -----------------------

78. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

79. Predictor Balance:

80. ------------------------------------------------------

81. | Treated Synthetic

82. -------------------------------+----------------------

83. 工业相对产值(2006(1)2010) | 1.150089 1.150037

84. 相对工资 | 1.619055 1.013639

85. ln人均GDP | 9.817525 10.73459

86. 财政支出占GDP比重 | .18338 .1116527

87. ln人口密度人平方公里 | 5.977395 6.399682

88. ln年末金融机构存款余额万元 | 18.25113 17.72419

89. ln医院卫生院床位数张 | 11.27253 10.37265

90. ln国际互联网用户数户 | 14.7616 13.70787

91. 工业相对产值(2006) | .9416254 .9369883

92. 工业相对产值(2008) | 1.132921 1.150078

93. 工业相对产值(2010) | 1.377864 1.325148

94. ------------------------------------------------------

4. 安慰剂检验

4.1 安慰剂检验一

Abadie et al. (2010)认为，在比较案例研究中，由于潜在的控制地区数目通常并不多，故不适合使用大样本理论进行统计推断。为此，Abadie et al. (2010)提出使用“安慰剂检验”（placebo test）来进行统计检验，这种方法类似于统计学中的“排列检验”（permutation test），适用于任何样本容量。

• “安慰剂”（placebo）一词来自医学上的随机实验，比如要检验某种新药的疗效。此时，可将参加实验的人群随机分为两组，其中一组为实验组，服用真药；而另一组为控制组，服用安慰剂（比如，无用的糖丸），并且不让参与者知道自己服用的究竟是真药还是安慰剂，以避免由于主观心理作用而影响实验效果，称为“安慰剂效应”（placebo effect）。

• 安慰剂检验借用了安慰剂的思想。具体到加州控烟法的案例，我们想知道，使用上述合成控制法所估计的控烟效应，是否完全由偶然因素所驱动？换言之，如果从donor pool随机抽取一个州（而不是加州）进行合成控制估计，能否得到类似的效应？

• 为此，Abadie et al. (2010)进行了一系列的安慰剂检验，依次将donor pool中的每个州作为假想的处理地区（假设也在1988年通过控烟法），而将加州作为控制地区对待，然后使用合成控制法估计其“控烟效应”，也称为“安慰剂效应”。通过这一系列的安慰剂检验，即可得到安慰剂效应的分布，并将加州的处理效应与之对比。

在上图中，黑线表示加州的处理效应（即加州与合成加州的人均香烟消费之差），而灰线表示其他38、34、29、19个控制州的安慰剂效应（即这些州与其相应合成州的人均香烟消费之差）。显然，与其他州的安慰剂效应相比，加州的（负）处理效应显得特别大。假如加州的控烟法并无任何效应，则在这39、35、30、20个州中，碰巧看到加州的处理效应最大的概率仅为 1/39 = 0.0256，1/35 = 0.0286，1/30 = 0.0333，1/20 = 0.05，而这都小于常用的显著性水平0.05，故初步可知黑线处理效应的确是加州控烟的效果。

1. ****稳健性检验*****************************

2. //有效性检验（仅展示重庆房产税对工业相对产值影响的稳健性检验程序）

3. ************************************稳健性检验一(工业相对产值为目标变量)************************************

4. //政策实施前均方预测误差的平方根

5. tempname resmat //设定一个临时矩阵叫做resmat

6. forvalues i = 1/35 { //这里的循环是指将1到4个州分别做一次合成控制，也就是把2-4州，分别当做处理组进行合成控制

7. synth 工业相对产值 相对工资 ln人均GDP 财政支出占GDP比重 ln人口密度人平方公里 ln年末金融机构存款余额万元 ///

8. ln医院卫生院床位数张 ln国际互联网用户数户 工业相对产值(2006) 工业相对产值(2008) 工业相对产值(2010), trunit(`i') ///

9. trperiod(2011) xperiod(2006(1)2010) mspeperiod

10. matrix `resmat' = nullmat(`resmat') \ e(RMSPE) //临时矩阵等于每个城市做处理进行合成控制时候的rmspe值

11. local names `"`names' `"`i'"'"' //设定暂元names 为 1 2 3 4 ''' 35

12. }

13. mat colnames `resmat' = "RMSPE" //临时矩阵的列名定义为RMSPE

14. mat rownames `resmat' = `names' // 临时矩阵的行名为names

15. matlist `resmat' , row("Treated Unit") //展示临时矩阵，并在行的打头表示为“treated unit”

16. ** loop through units

17. ** loop throu

18. //各城市预测误差分布图

19. forval i=1/35{

20. qui synth 工业相对产值 相对工资 ln人均GDP 财政支出占GDP比重 ln人口密度人平方公里 ln年末金融机构存款余额万元 ln医院卫生院床位数张 ln国际互联网用户数户 工业相对产值(2006) 工业相对产值(2008) 工业相对产值(2010), xperiod(2006(1)2010) trunit(`i') trperiod(2011) keep(synth_`i', replace)

21. }

22. forval i=1/35{

23. use synth_`i', clear

24. rename _time years

25. gen tr_effect_`i' = _Y_treated - _Y_synthetic

26. keep years tr_effect_`i'

27. drop if missing(years)

28. save synth_`i', replace

29. }

30. **

31. use synth_1, clear

32. forval i=2/35{

33. qui merge 1:1 years using synth_`i', nogenerate

34. }

35. **

36. **删除拟合不好的城市及上海市（干预组）

37. drop tr_effect_2 //删除天津

38. drop tr_effect_20 //删除武汉

39. drop tr_effect_35 //删除上海

40. local lp1

41. forval i=1/1 {

42. local lp1 `lp1' line tr_effect_`i' years, lpattern(dash) lcolor(gs8) ||

43. }

44. **

45. local lp2

46. forval i=3/19 {

47. local lp2 `lp2' line tr_effect_`i' years, lpattern(dash) lcolor(gs8) ||

48. }

49. local lp3

50. forval i=21/34 {

51. local lp3 `lp3' line tr_effect_`i' years, lpattern(dash) lcolor(gs8) ||

52. }

53. **create plot

54. twoway `lp1' `lp2' `lp3' || line tr_effect_26 years, ///

55. lcolor(black) legend(off) xline(2011, lpattern(dash))

4.2 安慰剂检验二

安慰剂检验的另一方式是直接将每个州“干预后的MSPE”与“干预前的MSPE”相比，即计算二者的比值。其基本逻辑如下。对于处理地区加州而言，如果控烟法有效果，则合成控制将无法很好地预测真实加州干预后的结果变量，导致较大的干预后MSPE。然而，如果在干预之前，合成加州就无法很好地预测真实加州的结果变量（较大的干预前MSPE），这也会导致干预后MSPE增大，故取二者的比值以控制前者的影响。如果加州控烟法确实有较大的处理效应，而其他州的安慰剂效应都很小，则应该观测到加州的“干预后MSPE”与“干预前MSPE”之比值明显高于其他各州，而这为下图所证实。

从上图可知，加州的干预后MSPE是干预前MSPE的大约130倍，高于所有其他38个州。如果加州控烟法完全无效，而由于偶然因素使得此比值在所有39州中最大的概率仅为 1/39 = 0.026。

5. 参考资料

• Abadie, A., Diamond, A., and J. Hainmueller. 2014. Comparative Politics and the Synthetic Control Method. American Journal of Political Science

• Abadie, A., Diamond, A., and J. Hainmueller. 2010. Synthetic Control Methods for Comparative Case Studies: Estimating the Effect of California's Tobacco Control Program.  Journal of the American Statistical Association

• Abadie, A. and Gardeazabal, J. 2003. Economic Costs of Conflict:  A Case Study of the Basque Country. American Economic Review

• Vanderbei, R.J. 1999. LOQO: An interior point code for quadratic programming.  Optimization Methods and Software 11: 451-484.

• 房产税对产业转移的影响:来自重庆和上海的经验证据

6.往期相关推文

• Stata: 合成控制法程序（https://www.jianshu.com/p/1bba82b65a78）

• 合成控制法：一组文献（https://www.jianshu.com/p/fbdebf3283d0）

• 合成控制法简介及代码（https://wenku.baidu.com/view/aeae141bd1d233d4b14e852458fb770bf78a3b9f.html）

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