寂静春天里的动力学（下）

作者：孟子杨（中科院物理所副研究员）

事例二前的回顾

在这篇文章的上半部分中，我们介绍了量子多体问题动力学计算在量子自旋液体方面应用的实例，做为超越以序参量和对称性破缺为圭臬的朗道-金兹伯格-威尔森（LGW）相变和物质分类理论的物质形态，动力学计算可以揭示其存在的指纹。在接下的部分中，我们着眼于动力学计算在新型量子相变 -- 去禁闭量子临界点 -- 中的应用，一步步地展现动力学计算这个新鲜生命的动人力量。

事例二

去禁闭量子临界点 (deconfined quantum critical point, DQCP)，笔者在之前的文字中也有涉及【1，7】，是超越LGW 相变理论框架的新现象，体现着以分数化、物质场和规范场耦合、演生连续对称性等等量子物质科学新范式的基本思路。

去禁闭量子临界点，长期以来一直做为一个理论上的可能性而存在，直到笔者的合作者，波士顿大学和中科院物理所的 Anders Sandvik 教授（中文名善德伟，或简称老善），设计出 J-Q 模型，并用量子蒙特卡洛模拟来研究其性质 【8】，这个可能性才渐渐落到实处，开启了量子多体理论和实验领域内对于这个问题的广泛关注。除了老善之外，不少笔者的同行和朋友，都对领域的发展做出了贡献，近在眼前的就有北京师范大学的邵慧副教授、郭文安教授。在其最近的工作中【9】，他们尝试对于 DQCP上的反常有限尺度标度行为，给出新的解释。

但是，即使可以进行数值计算，去禁闭量子临界行为本身的难度和广度仍然让人生畏。十几年过去了，仍有几个基本的问题，困扰着涵盖理论-数值-实验的整个领域，这些问题包括：

1）去禁闭量子临界点，做为一个连续相变，在J-Q 模型或者其他 designer-Hamiltonian 中是否真正存在，还是其实是弱的一级相变？

2）理论上预言的，在这个临界点上的演生连续对称性是否存在？

3）想要在关联电子材料实验中观察到去禁闭量子临界现象，应该寻找怎样的实验信号？

前两条做为理论上根本性的问题，十几年来一直在被激烈地争论着。比如对于第一个问题，有持一级相变论者，有持连续相变论者；对于第二个问题，有持连续相变且具有演生连续对称性论者，也有持连续相变但是没有演生连续对称性论者，而且几方阵营之中，都有笔者的朋友。数值和理论的进展一直没有停步，甚至最近高能物理学者也加入了进来，可见热烈的讨论，一时没有停息的迹象。

在最近的工作里【4】，我们转而去回答了第三个问题，也就是说，如果去禁闭量子临界现象在凝聚态物理材料中存在的话，实验中应该看到什么现象，再进一步说，应该看到什么与遵从 LGW 的普通量子相变不同的现象？

Fig.3 (a) 具有去禁闭量子临界点的 easy-plane J-Q (EPJQ) 模型。q=Q/(J+Q) 为相变的调控参数。q < DQCP，系统具有破缺自旋旋转对称性的 easy-plane 反铁磁长程序 (antiferromagnetic XY order, AFXY)；q > DQCP，系统具有破缺晶格旋转对称性的共振价键长程序 (valence bond solid, VBS)。两者之间是去禁闭量子临界点， DQCP。(b) 具有普通3DXY 量子临界点的 easy-plane J₁-J₂ (EPJ₁J₂) 模型。g=J₂/J₁ 为相变的调控参数。g < 3DXY, 系统具有破缺自旋旋转对称性的 AFXY 长程序；g > 3DXY，系统进入没有破缺任何对称性的 VBS。两者之间是 3DXY 相变点，服从 LGW 描述。  

为了回答这个问题，我们设计如 Fig.3 中所示的模型。Fig.3 (a) 是具有DQCP 的 easy-plane J-Q 模型 （EPJQ）， 笔者在之前的文章中介绍过它的性质【7】。q < DQCP 时，系统为 easy-plane 反铁磁长程序 (AFXY)；q > DQCP 时，系统为以自旋单态为单元的共振价键长程序 (VBS)。两种长程序都有对称性自发破缺，显而易见的是，AFXY  相破缺自旋旋转对称性，VBS 相破缺晶格旋转对称性；不易见的是，两个长程序相遇在一个连续相变点 -- 去禁闭量子临界点 --之上 。为了与之对应，我们在Fig.3 (b) 中特意设计了一个普通的 LGW量子相变过程，系统具有反铁磁相互作用J₁和J₂，g < 3DXY 时，系统也是 easy-plane AFXY 相；而调节 g 的时候，晶格的平移对称性被刻意打破，J₂相互作用强于J₁，结果就是其进入一个对称性已然被降低的 VBS相，注意此时晶格的平移对称性已经在 Hamiltonian 的层次上被破坏，所以这个 VBS 没有长程序。AFXY相和VBS 相之间就一个服从 LGW 的普通 3D XY 量子相变。AFXY 的反铁磁序参量连续地从有限值变为零（在 3DXY 点上），然后系统再无序参量可言。

Fig.4 (a) EPJQ 模型在 AFXY 相 (q < DQCP) 中的自旋激发谱。自旋波清晰可见，(π, π)处为无能隙的 Goldstone 模。(b) EPJQ 模型在 DQCP 上的自旋激发谱。整个能谱在 ω(能量) – q (动量) 上生成出美丽的连续谱。(π,0) 处为无能隙的连续谱，(π, π)处亦为无能隙的连续谱，这些都是分数化 spinon 和演生规范场存在的确定性证据。(c) EPJQ 模型在 VBS 相 (q > DQCP) 中的自旋激发谱。由于VBS 中自旋两两形成单态，能谱中所有动量点上都有能隙。但是能隙之上仍是连续谱，这和 VBS 中的奇异 domain wall 涨落有关。

我们运用 QMC+SAC (quantum Monte Carlo and stochastic analytic continuation) ，计算了 Fig.3 (a) 和 (b) 的两种相变过程中，系统的自旋激发谱，结果总结在 Fig.4 和 Fig.5中。Fig.4 (a), (b) 和 (c) 是去禁闭量子相变对应的过程。Fig.4 (a) 系统仍在 AFXY 相里，能谱上得到自旋波的图像，在  (π, π) 点处自旋波为无能隙的 Goldstone 模，在其他动量点上自旋波色散开来，谱线在能量上的展宽来自于自旋波之间的散射。但在 Fig.4 (b) 中，系统接近 DQCP，整个能谱在 ω(能量) – q (动量) 空间上生成出美丽的连续谱。这连续谱有几个突出的特点：

首先 (π,0) 的连续谱亦从 ω=0 出开始，一如 Fig.4 (a) 中(π, π)处的 Goldstone 模。这里的连续谱，是自旋波分数化成为 spinon 的确定性信号；

其次，能谱在 (π, π) 处很大的能量范围内都有权重，就是连续谱的展宽很明显，这也是分数化 spinon 存在的直接证据，这里的展宽大大超出了普通量子相变临界涨落可能造成的效果（可与 Fig.5 (b) 对比）；

最后，整个能谱的下边界，从 (π,0) 到 (π, π) ，权重的明暗分布有着强烈的变化，这其实反映了在自旋波分数化为 spinon 后，spinon并不是独立的自由粒子，而是与分数化过程中演生出来的规范场强烈耦合着，能谱中权重明暗的变化，其实是物质场 (spinon) 和演生规范场强烈耦合的结果，这显示着DQCP和高能物理学中夸克禁闭到去禁闭的相变的共通性，是在凝聚态物理系统中实现了高能物理学现象。

如此丰富的动力学性质，不算不知道，算出来就是这么清晰明白，Fig.4 就是实验上要观测到的信号，中子散射能谱可以告诉人们，什么样的相变是去禁闭量子相变（如 Fig.4 (a), (b), (c)），什么样的相变是普通的 LGW 相变（如 Fig.5 (a), (b), (c)）。

Fig. 5 (a) EPJ₁J₂ 模型在 AFXY 相 (g < 3DXY) 中的自旋激发谱。自旋波清晰可见，(π, π) 为无能隙的 Goldstone 模。(b) EPJ₁J₂ 模型在 3DXY 相变点上的自旋激发谱。相比于DQCP，这里的临界涨落并不显著。(π,0) 处仍然有能隙，(π, π) 处有一些展宽。做为符合 LGW 的量子相变，这里没有分数化 spinon, 也没有演生规范场。(c) EPJ₁J₂ 模型在 VBS 相 (q > 3DXY) 中的自旋激发谱。由于VBS 中自旋两两形成单态，能谱中所有动量点上都有能隙。能隙之上没有连续谱。

与之对应的，Fig.5 (a) 中的能谱与 Fig.4 (a) 中类似，因为都是 AFXY 相，而 Fig.5 (b) 是 3DXY 相变点，可以看到能谱与 Fig.4 (b) 完全不同。没有 (π,0) 处的连续谱，即使在 (π, π) 点处，自旋波的展宽亦不明显，因为这里没有分数化，没有 spinon 和演生规范场。Fig.5 (c)  是进入对称性低的 VBS 之后的能谱，由于 VBS 中的自旋单态有能隙，整个能谱亦有能隙。有趣的是，在 Fig.4 (c) 中，系统也进入了 VBS 相，但是这个 VBS 自发破缺晶格对称性，虽然有能隙，但是谱线在能量上展宽十分明显，这其实反映了在 DQCP 的 VBS 中，还有着人们没有完全理解的 domain wall 行为，目前的认识是，这样的 VBS domain wall 行为与 DQCP 处物理量测量的反常有限尺度标度行为有着深层的联系【9】。

所以，动力学性质的计算， 得到如 Fig.4 和 Fig.5 中的能谱，可以指导中子散射实验中进行类似的测量和对比，如果测出如 Fig.4 一样的谱学行为，就是去禁闭量子临界点，就是量子物质科学新范式；如果测出如 Fig.5 一样的谱学行为，就是普通的量子临界点。这样的区别和预言，老少皆宜，大家都能看的明白。

结语

要之，动力学性质的计算，是凝聚态物理学量子多体问题研究的方向。通过以量子蒙特卡洛为代表的大规模数值计算方法，结合场论等解析手段，理解、刻画并预测关联电子系统的动力学行为，推动理论和实验的进展，这样的工作才刚刚开始。如这篇文章的两个事例所显示的，以量子自旋液体、去禁闭量子临界现象，还有非费米液体现象为代表的新的量子多体现象，正在日益动摇着凝聚态物理学中朗道-金兹伯格-威尔森相变理论和费米液体理论等传统的框架。以拓扑序、分数化、物质场与演生规范场耦合为代表的新的进展，正在呼唤着量子物质科学新范式的建立。在这个过程中，量子多体问题的动力学性质计算，打通数值、理论与实验的界限，必将扮演着越来越关键的角色。

这个春天已经过去，狂躁的人们还在狂躁着。让笔者感到欣慰的是，寂静的力量、阳光雨露下的那株幼苗，已经悄悄地成长起来，它的几片小小的新叶，已经焕发着新鲜生命动人的力量。在量子多体计算的领地中，动力学性质的计算，这株幼苗会静默地、决绝地、茁壮地成长，当它在下一个、再下一个的寂静春天里长成参天大树的时候，狂躁的人们又会在哪里呢？

参考文献

[1] 海森堡模型的谱，到底有多靠谱

[2] Nearly deconfined spinon excitations in the square-lattice spin-1/2 Heisenberg antiferromagnet, Hui Shao, Yan Qi Qin, Sylvain Capponi, Stefano Chesi, Zi Yang Meng, Anders W. Sandvik

Phys. Rev. X 7, 041072 (2017)

[3] Dynamical Signature of Symmetry Fractionalization in Frustrated Magnets,
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arXiv:1803.10969 (PRL in press)

[4] Dynamical Signature of Fractionalization at the Deconfined Quantum Critical Point,
Nvsen Ma, Guang-Yu Sun, Yi-Zhuang You, Cenke Xu, Ashvin Vishwanath, 

Anders W. Sandvik, Zi Yang Meng
arXiv:1803.01180

[5] Quantum Spin Liquid with Even Ising Gauge Field Structure on Kagome Lattice,

Yan-Cheng Wang, Xue-Feng Zhang, Frank Pollmann, Meng Cheng, Zi Yang Meng,

arXiv:1711.03679 (PRL in press)

[6] Spin-Glass Ground State in a Triangular-Lattice Compound YbZnGaO4,

Zhen Ma, Jinghui Wang, Zhao-Yang Dong, Jun Zhang, Shichao Li, Shu-Han Zheng, Yunjie Yu, Wei Wang, Liqiang Che, Kejing Ran, Song Bao, Zhengwei Cai, P. Čermák, A. Schneidewind, S. Yano, J. S. Gardner, Xin Lu, Shun-Li Yu, Jun-Ming Liu, Shiyan Li, Jian-Xin Li, and Jinsheng Wen,

Phys. Rev. Lett. 120, 087201 (2018)

[7] 西斯廷教堂中的对偶变换

[8] Evidence for Deconfined Quantum Criticality in a Two-Dimensional Heisenberg Model with Four-Spin Interactions,

Anders W. Sandvik,

Phys. Rev. Lett. 98, 227202 (2007)

[9] Quantum criticality with two length scales,

Hui Shao, Wenan Guo, Anders W. Sandvik,

Science 352, 213-216 (2016)

致谢

    一如既往，笔者感谢合作者，感谢团队在这两篇工作【3，4】中的辛勤付出。这里有中科院物理所的博士生孙光宇，博士后马女森、王艳成，副研究员方辰，波士顿大学和中科院物理所教授 Anders W. Sandvik （善德伟），复旦大学副教授戚扬，耶鲁大学助理教授程蒙，加州大学圣地亚哥分校助理教授尤亦庄，圣塔芭芭拉分校副教授许岑珂，哈佛大学教授 Ashvin Vishwanath；感谢国家超级计算天津中心孟祥飞博士、赵洋工程师等人对我们大规模蒙特卡洛计算所提供的资源、技术方面的有力支持；也感谢中科院物理所宽容的环境，保护着科研人员们，让我们可以在混乱嘈杂的背景之下，不随波逐流，遵从内心的方向认真地从事创造。真正的科学发现，离不开这样的环境。

编辑：山寺小沙弥

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