为了吃顿瓜，我们差点打起来了

Original Cloudiiink 中科院物理所 2022-04-06

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在几天前一个夜黑风高的晚上，众小编趁着水果打折，举办吃瓜大会……

高清无修还没有被瓜分的西瓜 ↑

这不最近高考陆续出分，要选专业了嘛，我们也借着热点，探讨了一下不同专业的，会怎么吃瓜。

先是学物理的——量子分瓜法。根据量子态不可分割原理和量子态不可克隆原理，这个世界上的西瓜都是独一无二不可分割不可复制的，所以这个瓜就是我的了，你们要吃自己再买一个去。

学数学的——巴那赫－塔斯基分瓜法。[1] 由巴拿赫-塔斯基定理，在选择公理成立的情况下，我们可以将一个三维实心球分成有限部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。所以就算我们只买了一个瓜，仍旧可以变出 N 个瓜，让每个人都享受用勺子挖着吃的快乐。

巴那赫－塔斯基分瓜法示意图

学计算机的——并行分瓜法。[2]

图片截取自视频 [2]

西瓜变迁史

History of watermelon

在吃瓜之前，我们还是要先做点功课。人类种植西瓜的历史，大概已经延续了四千多年的历史。西瓜也被称为寒瓜，原产于非洲。西瓜在大约一千年前传入中国，不过老祖宗们估计想不到，现在中国的西瓜消费量已经占据了全球西瓜消费量的半壁江山。[3]

以前的瓜，又白，又不甜。Detail of Giovanni Stanchi’s “Watermelons, peaches, pears and other fruit in a landscape” (1645–72), oil on canvas

现在已经进入六月，又是一年吃瓜季。估计大家看过不少关于西瓜「xxx 年前的今天」[4] 的绘画作品，以前的西瓜的样子是真的惨不忍睹，让人看着一点食欲都没有：瓜瓤又白，看上去一点也不甜，真的很让人怀疑古人到底是怀着怎样的心情和毅力，延续着种瓜和吃瓜事业……

过了很久以后小编才知道，这个问题的答案早在一开始就告诉你了。我们都知道，在英语中，西瓜被称为 watermelon，也就是「水瓜」。类似的还有德语中的 Wassermelone，法语中的 melon d'eau，西班牙语中的 melón de agua 等。它们的重点都在「水」上。西瓜如果按照重量计算的话，里面大概有 92% 都是水，是水分比例最高的水果。虽然现在我们吃瓜群众把西瓜当零食来吃，但是在几千年前的非洲，那些干旱少雨的沙漠里，一个个西瓜那就是水球，赖以维生的水源和食物。而西瓜也正好便于储藏，只要将其存放在避光阴凉的地方，甚至可以存放到来年的春天。[5, 6]

在埃及法老的陵墓上，经常放有西瓜果实，不知是否为了方便法老路上吃。

西瓜原子模型

Atom Model

曾经，人们认为一个一个的原子，就像一个个西瓜，电子像西瓜籽一般镶嵌在正电荷中，而一个个的原子，组成了丰富的物质和五彩缤纷的世界。

关于原子，人们其实有很多的遐想。大家最熟悉的原子形象，应该是

铃木园（yuan）子

对不起，不小心放错图了，应该是这个

铁臂阿童木

手冢治虫笔下的阿童木最早其实是做为和平使用原子能的大使出现，推动大众接受核电站。而阿童木这个名字，不是别的，就是 atom 的音译。台湾地区则把铁臂阿童木直译为原子小金刚，露出了他本来的面目。设定上，阿童木诞生于 2003 年 4 月 7 日，不过这样的「原子」要在现实中真正诞生，似乎还遥遥无期……[7]

让我们回到科学史上的原子。最开始，道尔顿认为原子是组成物质的最小单元。虽然这个想法非常的粗糙，但他的假设依旧十分严谨——原子无法借由化学方法进行进一步的分割。他相信在化学反应中，其实就是这样的结构单元重新排列组合，形成新的物质。[8] 在汤姆孙发现电子的存在以后，大家觉得，原子似乎应该也是继续可分的。因此他提出了新想法——既然有电子，那么一定要有正电荷。电子是镶嵌在正电荷背景中的。

汤姆孙认为电子如图所示「镶嵌」在原子中

虽然在汤姆孙的原文里并没有提布丁 [9]，但是在这个模型提出以后，还是被自然而然地冠上了梅子布丁模型之名。在我们的教材里，对这个模型的称谓主要为布丁模型、枣糕模型、葡萄干布丁模型，甚少翻译为西瓜模型。这个译名着实困扰了小时候的我，困扰的原因主要还是在吃上。小时候吃西瓜倒是方便，但没有见过布丁，生在南方也极少见到枣糕，实在想象不出来当时电子是怎么分布在原子核里了。幸运的是，老师在一周以后就解决了我的困扰。不过解决的方法既不是给我们每人发一个布丁，也不是在课上展示一下啥是枣糕。而是告诉我们，汤姆孙模型是错的，于是我屁颠屁颠地就去学习卢瑟福模型了。

凝胶模型示意图，凝胶相当于正电荷背景，电子在里面运动

虽然我们现在知道原子核中的正电子主要集中在原子核中，但是并不代表着这种正电荷背景的想法没有用武之地。在固体物理中，凝胶模型正是假设电子在均匀分布的正电荷背景中运动，此时就可以推导出屏蔽效应啦——通俗理解，异地恋没那么牢靠。[10]

谁都想要那块最大的

Who want the biggest one

在分瓜的过程中，难免遭遇分瓜抢瓜大戏。这个问题被称为公平分配博弈，是指为若干个分配者分配有限数量的资源时的博弈。这个问题看上去很简单，但是如果你想要让分配的结果每个人都满意，不羡慕另外的人分到的结果的话，却非常非常非常的难。

首先一个困难的点在于，在第三者看来的绝对等分，对于被分配者而言并不是真正意义上的等分，根据选择的先后，谁决定的分配份额，相互之间会产生猜忌，总觉得对方拿到的要比自己的多。如果分配不当，脾气暴躁的说不定就先吵起来了……[11, 12]

借用一下笛子的漫画《小蓝和小绿》中的形象

对于只有两个人分西瓜的情况，就是一个常见的脑筋急转弯题目。我们假设有小红和小蓝两个人分西瓜 🍉。我们安排小红先把西瓜 🍉 等分为两份。此时的小蓝视角里西瓜 🍉 并不是均分的，而是有大有小的，所以小蓝选择了他觉得大一点的那一份，小红选择剩下的。在这个过程里面，既可以保证公平分配，也让两个人不会互相羡慕。

但是人数稍微多那么一个，情况就会变得相当相当复杂。以下要开始烧脑环节了啊。

我们还是假设有小红小蓝小绿三个人来分西瓜 🍉 ，希望分配西瓜 🍉 相互之间都没有猜忌。

第一步，先由小红操刀，把西瓜 🍉 等分为三份。然后小蓝和小绿分别选择他们觉得最大的那一块。如果小蓝和小绿选择的不是同样的那块，那么万事大吉。

第二步，小蓝和小绿都觉得右边的这块西瓜 🍉 最大，这时由小蓝拿刀，把他觉得最大的那块切掉一点，直到他觉得第二大的西瓜 🍉 一样。小绿小蓝再分别拿西瓜 🍉 ，如果小绿没有拿走被切了一刀的那块的话，小蓝必须拿走被额外切了一刀的那块。小红拿走剩下的那块。此时三个人都很满意，因为在小绿看来，他是最先选择的那个；在小蓝看来，第一和第二是一样的；在小红看来，三块都是等分的。

第三步，三个人分剩下来的那一小块西瓜 🍉 。这时我们让小绿和小蓝之中没有选择被额外切了一刀的那块西瓜 🍉 的人来切西瓜 🍉 ，不妨假设它是小蓝吧，把剩下的一小块西瓜 🍉 等分成三份。此时小绿先选，小红次之，小蓝最后。小绿因为最先选择，所以不会嫉妒；小红因为小绿所有的加起来都比不上自己原来的那块，所以也不会嫉妒小绿先选择了；小蓝则因为自己等分的西瓜 🍉 ，次序并没有关系。

自此，我们终于完成了三个人无嫉妒公平分瓜任务……但是人数稍微一上升，切瓜的次数显著增加，逻辑关系变得极端复杂，对于四个人及以上的情形，目前得到的无嫉妒公平分配算法切瓜次数上界为 n ^ n ^ n ^ n ^ n ^ n 量级，这是一个比宇宙中总原子数还要恐怖的数字……

后记

Appendix

那天晚上

虽然遭遇了分瓜问题

大家依旧吃的很开心

大家并没有打起来

因为所有瓜没切好的锅

都让我背了

封面图片来自 pixabay

参考文献及链接：

[1] 巴那赫－塔斯基定理，维基百科