其实童年的你离造出火箭只有亿点点距离

Original Arminius&蕉中科院物理所 2022-04-06

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新的一学期开始啦，连小编的摸鱼软件都出现了喜迎新学期的“青少年模式”。

bilibili的青少年模式提醒。来源：baijiahao

这让小编不禁想起自己的童年似乎并没有手机……那个没有手机的童年里，只有一架飞得没有别人远的纸飞机，还有一只经常没能被拴住口的【暴走的气球】——

Tom在“临死”前把自己吹成气球，发现自己没死时太过开心，导致气球松口飞出。来源：好看视频

不过，那时候光顾着追踪气球的飞行路径了，对于在气球里发生的事情一无所知。没想到，小小气球里，竟然发生着和火箭推进器里一样的事情！

话不多说，就让我们开始今天的正题——为什么说童年的我们离造火箭只差yi丢丢？

你推我，我推你：我们用了多大力

我们首先回顾一个很基本，但在太空又很麻烦的事情，叫做牛顿第三定律：作用力和反作用力总是成对出现的，大小相等，方向相反，还在一条线上。

这件事情意义非凡：你想有向前的动力，就必然有什么东西受到向后的力。你在地面上向前加速走，受到地面的力，相应的地面也会受到你的作用，多出一个向后的加速度。只不过地球的质量非常大，一般我们也就认为这个速度可以忽略不计了。在水里也一样，你向后划水能得到向前的力；在高空，喷气式飞机都有巨大的进气道，吸进海量的气体，通过燃烧加热把它们排出，总的来说给了气体向后的力，从而飞机获得动力。但是在太空，似乎没有谁能够被你向后推了……是啊，在太空，你该怎么办？

在人类还不太会飞的时候，俄国的康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基就开始思考这种问题，并且给出了明确的答案：你要扔垃圾消耗质量。在火箭里，我们一般把这部分用于消耗的质量称为“工质”。自己带一点工质，是什么都可以，然后把它向后扔出去，它就受到了向后的力；然后，你就有动力了。这就是迄今为止所有能用的火箭的基本原理：工质反冲。

我推我自己？

我们可以简单地估计一下火箭发动机的效率。

既然是扔东西，一个问题就是扔出去的东西（相对于你）飞得有多快——也就是工质的喷口速度v_e。出于种种历史原因，工程师们更喜欢用“比冲”I_sp来描述。对于火箭来说就是给喷口速度除上一个重力加速度g ，从而得到量纲为时间的量：I_sp=v_e /g。

另一方面是你在单位时间内扔出多少东西，也就是质量流R（单位时间里扔出去的质量，单位：kg/s）。

把它们乘起来就得到了你扔东西的力，根据牛顿第三定律，它也就是东西对你的反作用力，或者说是火箭的推力：

要理解这个公式可以借助“冲量”的概念。你在一段时间t内持续地扔东西，冲量就是Rv_et，而我们知道，单位时间的冲量就是力。知道了推力，就可以用牛顿第二定律了。注意，由于一直在扔东西，你的质量是不断变小的，所以质量是一个时间的函数。于是：

公式：齐奥尔科夫斯基

剩下的事情会需要一点点微积分。我们知道加速度是速度的变化率，那么对时间积分，也就得到了速度的变化量：

其中t₀ 与t_f分别是加速初始时间与结束时间，m₀ 与m_f分别是初始质量与末质量。这就是大名鼎鼎的【齐奥尔科夫斯基公式】。事实上，他是那样有名，以至于好多时候，Δv 成了度量燃料量的标准：不管带了几吨燃料，我只关心我有多少Δv。做飞行规划，也更愿意算一步步变轨需要多少Δv。事实上火箭的Δv决定了它能飞多远，飞到哪里，是火箭设计中至关重要的量.

太阳系的Δv地图。去不同的地方需要不同的Δv，这就像去不同的车站需要的车票价位不同。右下角是太阳，从下往上离太阳越来越远。来源：wiki

【齐奥尔科夫斯基公式】告诉我们，无论你飞行时发动机的工作过程是什么样的（对应于不同的R(t)）——比如说可能一直最大油门，或者也许一直都小推力加速，甚至可能干脆让发动机大部分时间关掉——你的可用的Δv都是一样的，它正比于喷口速度v_e（或者比冲I_sp），也正比于初末质量比（m₀/m_f）的对数。既然初末质量之差就是你用掉的燃料，便可知道火箭飞行需要的燃料要占到总重中非常可观的一部分。立在发射场上偌大的火箭，其实大部分都是待消耗的燃料（以及一些没用的死重），真正运输的货物质量，可能不到总质量的2%。你想要更多的Δv，当然是要带更多的燃料；但是Δv 随燃料量大致是对数增长：多带的燃料固然可以提供加速，但随之而来初始质量的增加，导致同样推力下加速度变小，于是多出来这部分燃料提供的Δv就会变少，加速效果自然会打折扣。（只有最后一滴油是最管用的，但是……

更加行之有效的办法，当然是提高比冲。这就涉及到了具体的发动机设计，或者说怎么扔掉工质。

化学推：看我大力出奇迹

那么问题来了，工质应该怎么扔？

如果像我们手扔东西一样，推力肯定不够。真正的火箭发动机，要比这强大得多才行。最经典的发动机利用的是【化学推进】，靠化学反应释放的能量来扔工质。和汽车烧油的概念略有不同，这里火箭的燃料有“双重身份”：一方面是提供能量去推动工质的燃料，另一方面，化学反应产生的气体，正好就是被推出去、从而提供反作用力的工质。

燃烧产生的气体受热之后，经过精心设计的燃烧室和喷管跑出来，就是我们看到的长长长长的尾焰。

尾焰示意图。来源：360doc.com

一般的化学推进火箭喷口速率可以达到2km/s − 5km/s，也就是说比冲是200s − 500s。这样大的比冲是什么概念呢？我们知道第一宇宙速度是7.9km/s，但实际上想要入轨的话，还要考虑大气阻力以及轨道高度等等——可以假定Δv要达到9km/s。如果喷口速度取4km/s（比冲为400s），按照【齐奥尔科夫斯基公式】，很容易算出m₀/m_f= 9.5。也就是说，在这个比冲下，为了送1吨货物上天，你需要至少9.5-1=8.5吨燃料……但是这还没完，燃料罐和发动机等的质量也不小，如果我们留1/10的火箭质量（除货物以外）给这些死重，那么初始质量和末质量分别是：

m₀=m_货物+m_火箭

m_f=m_货物+0.1m_火箭

再由m₀/m_f= 9.5，可以算出m_火箭/m_货物=170。折腾半天，居然只有0.6%的质量是我们真正想要送上天的货物……

（火箭：带货真不容易啊）

好在实际上有一种技巧叫做【分级】，可以让这个数字不那么夸张。简单地说，就是飞一飞，把用完的空燃料罐都扔掉。另外，火箭是越飞越轻的，刚起飞的时候需要好大的推力，但是飞一飞轻了，按一般的发射程序也不一定需要推力高于重力了，因此需要的推力小了，还可以扔掉几个发动机。扔掉它们一般来说不会贡献多少Δv，但是可以避免你把剩下的燃料浪费在这些没用的质量上。

虽说化学推的比冲看起来有点可怜，但它推力（Rv_e，其中质量流R较大）很大，便宜可靠（相比而言），可以轻松地带着上千吨的火箭腾空而起。而入轨之后，并不经常需要用到发动机，做变轨或者维护轨道的时候开一开就可以了，因此还是很好用的。

核推：还没上天别着急

那么有没有比冲高一点的发动机呢？有！比如【核推】。以“核热火箭”为例，简单地说，核燃料只负责反应释放热能，而工质吸收热能喷出，只负责提供反作用力，工质与燃料分开，不再具备“双重身份”。原则上用什么工质都可以，但普遍看好氢气，因为它分子量小，加热到同样温度可以跑得更快，在上世纪已经实现了850s左右比冲（化学推的两倍）、同时250kN左右推力。这个比冲已经较高，如果想让它更高，就需要把反应堆烧的更热——但温度总归是有上限的，比如考虑反应堆材料熔点的制约。再考虑到核废料的处理问题等等，目前阶段，核推还没有真的上天，只有地面测试。如果你要说自己见过更炫酷的，那一定是在梦科幻电影里吧~

核推反应堆的链式反应，正在发生核裂变。来源：bilibili

内华达州试验场-核火箭开发站。一号发动机试验台上发动机和反应堆的特写图。右边的两名技术人员提供比例尺。来源：wiki

电推：细水长流最省油

真正实用的还要数【电力推进】。当然电力推进你依然可以故伎重演，用电加热工质然后扔出去……但实际上更常用的电力推进，是用太阳能板捕获的电能对工质进行离子化和加速，以提供推动力。工质用什么原则上都没关系，但是考虑到电离工质挺麻烦的，好不容易电离出一个来，我会希望它提供尽可能大的动力，所以希望工质分子质量大一点，习惯上用氙气（Xe，原子量131.2）。

NASA测试新型电力推进火箭。来源：sohu

电推主要消耗电能和极少量惰性气体，但它形成的喷射速度却是惊人的——通常是运载火箭发动机的十倍，因此具有极高的比冲，可达4000s。但是，推力却非常小，一般在1N数量级以下。为了解释为什么电推的推力都这么可怜，考虑质量流为R，喷口速度为v_e，还记得公式（2）得到的推力F=Rv_e，那么在单位时间内把这些质量加速到v_e，你的功率最起码也应该是1/2Rv_e²，则产生单位推力需要的功率：

我们取I_sp=2000s，发现每产生1N推力，至少需要10kW的功率——千瓦级的功率，靠太阳能还比较容易解决，功率再高就麻烦了，所以电推的推力一般也就停留在牛顿级别。相比较而言，化学推燃料自带能量，增加质量流就能提高功率；核反应堆本身能量巨大，也没有这个问题。所以对于电推来说，大推力任务是完成不了（比如起飞、快速变轨等），但像调整航天器朝向与姿态这种细活，或者为小卫星提供动力保持轨道，还是绰绰有余的。就让我们再看一次【齐奥尔科夫斯基公式】——ve越大（即大比冲），获得同样的Δv所需要的m₀/m_f就会大幅变小，而电推的比冲远高于化学推、核推，真乃省油之必备！

目前，天宫空间站“天和”核心舱正在近地点352公里、远地点385公里、轨道倾角41.47°的近地轨道上运行着，它的30台姿轨控发动机中有4台是【HET-80霍尔推力器】，单台推进器最大推力80mN（这样大小的力如果放在地面上，仅能举起8根头发），额定功率1.35kW。这4台霍尔推力器就是上面所讲的电力推进器，是人类首次在载人航天领域应用电推进系统（此处应该有掌声~）。天和核心舱集各种功能于一体，还能够拥有高达50立方米的活动空间，这四个推进器功不可没——毕竟电推省工质省下来的质量真不少……