端着咖啡走路是一项鲜为人知的物理学壮举

Original 蕉蕉的奇妙冒险中科院物理所 2022-04-06

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如何将一杯咖啡从咖啡机端到工位？

或者将一碗豆浆从餐厅窗口端到餐桌？

甚至是如何把一勺番茄蛋汤从锅里舀入碗内？

——干饭人的每天灵魂拷问

对于聪明的人类而言，这不过是生存的众多基本技能之一。（手：这不有我就行？

但对于物理学来说，端咖啡其实是一项了不起的壮举！一切，都要从那两只摆钟开始说起——

摆钟之间的悄悄话

单摆是我们学习物理的过程中接触的最早的模型之一。在单摆中，我们假设绳子一端固定，另一端连接一个质点，并假设绳子是没有重量的，这样所有的质量都集中一个没有体积的质点上，对质点进行受力分析：该质点受两个力的作用，一个是绳子的拉力，一个是重力，再加上绳子不可拉伸的约束条件，得到运动方程式为：

因为sinθ的存在，这是一个非线性的常微分方程，在θ → 0 的情形下，我们可以做sinθ = θ的近似，这样就将原来难以处理的非线性常微分方程，变成了易于处理的线性常微分方程。得到：

它的解为：

其中θ₀，ϕ₀ 由单摆的初始状态决定。这个解表明，单摆的角度正比于时间的正弦函数，这就意味着，单摆的运动具有固定的周期：

并且这个周期只由该地的重力加速度和绳子长度决定，与单摆摆动幅度，单摆末端的质点的重量没有关系。

依据这种特性，1656 年，荷兰物理学家克里斯蒂安·惠更斯，发明了摆钟，用于解决航海中测量经度时的需要。航海中，人们可以通过天文学观测，确定所到之处的纬度；如果有准确的计时工具，就能根据一个经度已知的陆地参考点的时间，确定所到之处的经度。为了让摆钟计时更加地精确，惠更斯计划在船上放两个摆钟。没想到，两个素不相识的摆钟竟然……

……竟然摆着摆着，开始默契的同步了，就像说了什么悄悄话一样（虽然相位是完全相反的，即摆动的方向刚好相反）。

来源：YouTube@Veritasium

也就是说，两个放在一起的摆钟，虽然摆锤初始的位置不同，各自原本的周期也不同，但经过一段时间的摆动，竟然变得周期相同了。这种现象的产生是因为，两个摆不再是独立的摆动，而是通过连接他们的物体发生了相互作用，直到摆动趋于一致。这种现象被称为同步（synchronization）。

三个摆动杂乱的节拍器，通过与连接它们的复杂系统相互作用，最后摆动同步。

来源：YouTube@Veritasium

当你端咖啡时，你在做什么

当一个人端着咖啡，小心翼翼的行进时，他究竟对这杯咖啡做了什么呢？

中学的物理图像可能会说，人给咖啡杯提供了向上的支持力。但实际上，当看到自己的咖啡在杯子里来回震荡，时刻伴随着溢出的风险时，人们并不会无动于衷。（就像小时候每次看到这则《妈妈洗脚》公益广告时，小编都会有亿点点揪心——这得洒了多少水在地上啊……

《妈妈，洗脚》的广告中，小宝贝端的水洒了出去。

来源：腾讯视频

正如前面钟摆所依靠的“第三方复杂系统”，端咖啡的人在咖啡与杯子之间也充当了这样一个角色。此时，我们需要将杯子、咖啡和手的模型进行更加详尽的刻画。如果将杯子里调皮的咖啡看成一个滚动的小球（如下图（a）所示），那么进一步在物理上，杯子与咖啡便可以抽象为“手推车”与“摆”的模型——这是因为，杯子里小球总是贴着杯壁，其与杯壁圆弧所对应的圆心距离始终保持不变，相当于有一个不可伸长的绳子将其限制住（如下图（b）所示）。我们可以将这个组合简称为“车-摆”模型。

端咖啡的概念模型与物理模型示意图

来源：文献[1]

简单来说，面对“想法不一致”的咖啡和杯子，人类的策略就是让它们【同步】。

同步又分为两种。一种是比较“激烈”的【反相同步】。当咖啡向右，趁其还未溢出时赶紧把杯子往左移；咖啡向左，就赶紧把杯子往右移。这样，让咖啡不停的在杯子里来回震荡，只要你晃得够快，咖啡就会被杯壁挡回来。这便是“高频”的反相同步策略——咖啡震荡的相位和咖啡杯移动的相位总是相反。

对墙击球时，手与球之间就是反相同步。

手和墙=咖啡杯壁，球=咖啡

来源：bilibili @东南排球训练营

相反的，另一种【同相同步】则更加温柔。当咖啡要向右了，就让杯子追随咖啡的步伐，也向右移动——毕竟咖啡不会无限的向右移动（因为咖啡同时也向上移动，动能转换为势能而使速度降低），杯子移到一定的位置时咖啡也就停止向右的躁动了；当咖啡开始向左，故伎重演，让杯子追上其向左的步伐便是，不必惊扰咖啡。在这种情况下，杯子移动的没有那么快，而移动的方向却与咖啡始终保持一致，所以是“低频”的同相同步策略。

汤姆端盘子时，身体和盘子就是同相同步。

汤姆=咖啡杯，盘子=咖啡

来源：youku@核桃话综艺

反相高频和同相低频，还可以借助摆长与频率的关系进一步理解。在“车-摆”模型中，反相与同相分别如下图（a）和（b）所示。由于车一直在移动，两种同步运动的等效摆长不同。反相同步的等效摆长明显小于同相同步的等效摆长，由上一节的频率与摆长关系可知，摆长越短，周期越小，频率越高。因此反相同步为高频、同相同步为低频。

两种同步运动的等效摆长示意图

实际上，聪明的人类很有可能在不自知的情况下，熟练的在两种同步模式之间无缝切换——仅凭观察力和直觉，便能在端咖啡挑战中随机应变。但是，如果要设计端咖啡的机器人，我们改如何赋予它这个看起来理所应当的技能呢？

针对端咖啡的两种同步策略进行建模计算，研究者发现，同相与反相同步之间还存在一个【过渡区域】。这种过渡区域是由动力学系统的非线性所导致的。如果机器人被设计成以相对较小的步幅行走，将对应一个较小的周期外力，这时候动力学方程可以近似为线性，两种同步运动间不存在过渡区域，因此行走的频率可以是任意的；当机器人被设计成以较大的步幅行走时，对应较大的周期外力，这时候，在同相同步与反相同步之间存在一个不同步的过渡区，则行走的频率应该尽量避开这个过渡区的频率，以免咖啡与杯子发生不同步。

大步幅vs.小步幅

来源：bilibili

无处不在的同步现象

除了端咖啡，同步现象无处不在：天空的飞鸟群只能知道相邻飞鸟的情况，却最终能实现整个飞鸟群整齐的飞行——

鸟群的同步

来源：YouTube@Veritasium

每只萤火虫都有自己独有的发光频率，而当萤火虫的密度大到一定程度时，他们就会同步发光——

萤火虫闪烁的同步

来源：YouTube@robin meier

我们都听说过军队在桥上齐步走，会因为与桥发生共振而导致危险。但是，没有受过训练的旅客在桥上也可能齐步走。这是因为，每当旅客迈出一步，就会让给桥在侧向有一个微弱的力，这个微弱的力造成的桥的运动状态的改变又会影响其他旅客的脚步，于是旅客们的步伐通过桥相互影响，最终达成了同步。

2000年6月，泰晤士河上350米长的“千禧桥”出现明显摆动。

来源：YouTube@Veritasium

这些例子中每个个体都只能感受到自己附近的情况——这相对于整体来说很小；但却能够实现整体上的同步，这便意味着，整体不是部分的简单加和。个体在组成整体时，因为相互作用的存在，会涌现出新的现象和规律，这些现象和规律是无法通过观察个体发现的。这正是非线性的特点。我们都知道，在线性关系中，各变量间是互不相干的独立关系，满足叠加原理（整体等于部分之和）；而非线性关系则有相互作用，正是这种相互作用，使得整体不再是简单地等于部分之和，还需要考虑各部分之间的耦合作用。当一个人端咖啡的时候，他便是咖啡与杯子耦合作用的来源。这也正是诺奖得主菲利普·沃伦·安德森所说的：量变引起质变（More is different）。