一π多吃,看看你是哪种吃π方式?
“亲爱哒,今天是什么日子鸭?”
“当然知道啦~”
“那你还不表示表示?”
“因为我早已准备好——水果派!”
“??”
(白色情人节是要吃水果派吗?)
“今天是π day耶~
π day 吃派,谁都不爱~”
?!
!!
∵ π ≈ 3.14
∴ 3月14日又称“π日”(Pi Day),证完.
01
π Day 的来源
很久很久以前——1988年3月14日,在旧金山科学博物馆,物理学家Larry Shaw带头整活——让大家绕博物馆纪念碑转了3又1/7圈(π的近似值),然后一起吃了水果派(派,即π)。从此以后,这就成了旧金山科学博物馆的传统。2019年11月26日,联合国教科文组织正式宣布3月14日为“国际数学日”,旨在庆祝“数学在我们日常生活中的美丽与重要”,所以今年是第三个“国际数学日”哦~
02
人与人吃pi的方式
并不相同
同一个世界同一个π——世界的圆不论大小,它的周长与直径的比值都是一样的;然而不同的人有着不同的“吃法”。今天,我们就来盘点一下,那些经典的吃piπ方法。
几何人:我爱夹心派
几何人最经典的“割圆法”有着悠久的历史。以古希腊的数学家阿基米德(前287年-前212年)为代表,他在一个圆里做内接正多边形。随着边数的增加,这个正多边形将越来越接近圆。因此,只要算出正多边形的周长,再除以圆的直径,便能得到π的近似值。由于两点之间直线段比曲线段更短,所以内接多边形的周长一定小于圆的周长——因此,由内接正多边形算出来的,一定是π的下界。同理,若在圆外做外切正多边形,便能得到π的上界。真正的π,就在两者之间。
几何人最爱的“夹心派”方法
来源:www.piday.org
阿基米德一直划分到了96边形,得到的π值在3.1408和3.1429之间——这个精度已经可以解决许多实际问题了。值得一提的是,公元480年左右,我国古代数学家祖冲之用这个方法将π值精确到了小数点后7位,这个记录持续了近800年。就这样,人类在划分正多边形的路上一去不复返——16世纪的荷兰数学家鲁道夫终其一生,将π算到了小数点后35位。这对应的正多边形的边数达到了2^62——也就是正4611686018427387904边形。
(圆:有考虑过我的感受么?)
当然,算完这个的鲁道夫也是非常有成就感,还把3.14159265358979323846264338327950288刻在了自己的墓碑上。这也是为什么,今天德国人常常称圆周率为“鲁道夫数”。
分析人:我爱无穷派
几何人的割圆法简单直观,就是太——费劲。所以到了1666年,23岁的牛顿引入了一种全新的方法后,没有人再执着于割圆了。彼时彼刻正如此时此刻——疫情横行(英国瘟疫爆发),赋闲在家的牛顿就寻思:整点啥活呢?那就从最简单的二项式开始吧:
这是当时的人们已经知道的二项式定理,但认为n只能取正整数。所以牛顿想要拓展它,去寻找新的边界。
其实观察一下系数的形式不难发现,只有当n取正整数时,展开式的项数才是有限的;所以,当牛顿把n换成了负整数和分数后,本来是有限项的二项式,就变成了一个无穷级数。在证明了n的确可以取负整数和分数后,他非常开心——因为他脑海里还有另一个方程:
也就是
牛顿:艾玛,这不就是我的二项式定理嘛(
艾萨克·牛顿
来源:baijiahao
所以,当二项式定理中的n取1/2,x换为(-x2)时,就有了y的无穷级数表达式:
可是这和π有什么关系呢?还记得“流数术”吗——也就是微积分,牛顿刚好在前一年把它提出来。这不,趁热将微积分与无穷级数配合食使用:左边将y从0→1积分,得到1/4个圆的面积,也就是π/4;而右边每一项,都是简单的幂函数求积分。积分后就能得到π的无穷级数表达式,可以精确到小数点后任意位数:
从此以后,π的求解打开了新世界的大门。
利用三角/反三角函数的级数表达式,π的计算得到了更简练、也更实用(更快收敛)的表达。其中,最具应用价值的应该是1706年,英国数学家梅钦(John Machin)提出“梅钦公式”,直接将π值的计算突破100位小数大关:
接下来,许多“类梅钦公式”如同雨后春笋般涌出,形式与上式一致,仅仅是系数和项数的调整。人工计算圆周率的最高纪录是π的小数点后808位,由弗格森(英)和伦奇(美)于1948年共同发表。
计算机:吃得越多越能耐
紧接着自然而然地,到了计算机时代。然后自然而然地,人类开摆,计算机开始比赛!这里小编为大家罗列了一部分里程碑事件:
1950年
世界第一台电脑ENIAC计算出π的2037个小数位,用时70小时;
1955年
海军兵器研究计算机IBM NORC 计算出π的3089个小数位,用时13分钟;
1973年
电脑CDC 7600 计算出π的100万个小数位;
1989年
巨型电子计算机Cray-2和IBM-3090/VF计算出π的4.8亿个小数位;
2010年
日本科学家近藤茂将家用计算机与云计算结合,计算出π的5万亿个小数位;
2019年
3月
谷歌工程师爱玛利用谷歌云平台计算出π的31415926535897个小数位(约31.4万亿),历时4个月;
2021年8月
瑞士DAViS团队创下最新记录,将π计算到小数点后62.8万亿位,历时108天。
眼瞅着这精度逐渐走向离谱......其实对计算机来说,π究竟是多少无所谓的,重要的还是通高精度计算来测试计算机处理能力。如果你还好奇计算机是用什么公式计算π的,欢迎快进到参考文献[9],试试用自己的电脑能不能算叭!
π:没戳,我的精度就是(电脑的标)尺!
来源:新浪微博
物理人:一切皆可派
在物理人眼里,π是多少也无所谓,重要的还是和小滑块一起玩(bushi
所以, 我们是否可以让小滑块自己撞出一个π来呢?
假设一个质量为m的小物块在一光滑水平面上,左边是墙,右边是一个质量为M = Nm的大物块(N > 1)。假设向左为正方向,碰撞为完全弹性碰撞。初始状态下,小物块静止,大物块速度为v > 0。假设小物块与大物块第i 次碰撞后,二者的速度分别为为ui和vi, 于是第i 次小物块与墙壁碰撞后速度为−ui。
大小物块碰撞模型
来源:3Blue1Brown
由能量守恒定理:
我们发现第二个方程是一个形如x2+y2=1的圆方程,这意味着每一次碰撞后的大小物块的速度,都对应单位圆上的一个点。设
于是大小物块运动状态对应的点就在单位圆上折返前行,从最右侧到最左侧。
接下来要求这个过程中小物块总的碰撞次数,这个运用一下动量守恒定理就ok啦:
由此可以看出,相位角α在每次碰撞后都改变了相同的角度!因此,单位圆会被这些状态点按角度均匀分割。当N →∞时,
有
这里我们考虑到半圆对应的相位角为π, 当状态点对应的相位角αi增加到π 时,碰撞过程就停止了,imax就是总的大小物块间的碰撞次数。需要注意,因为碰撞次数i只能取整数,所以第二个等式只是近似相等。
由上面的公式,小物块与大物块的碰撞总次数为0.5πN1/2, 而小物块与墙也会碰撞这么多次,所以整个过程中,小物块碰撞次数为πN1/2。当N取100的幂次方倍时,小物块的碰撞次数就会显示出圆周率啦。
喵星人:吃派属于常态
终于,在小编要收工的时候,卫生间里传来了一阵熟悉的诡秘声音——
《 世 界 名 画 》
来源:见水印
以前总觉得这是“没有一只猫咪抵挡得住卫生卷纸的诱惑”;而今天看来……猫咪极有可能是在计算π!所用的公式大概就是——卷纸的总长度为
其中n为卷纸的层数(中间变量),
算得
l——卷纸总长度
R——卷纸外径
r——卷纸内径
t——单张卷纸厚度
所以只要测出了以上四个量,就能估计π值了!所以猫主子咬卷纸=测量卷纸半径R和r,猫主子把卷纸缠身上=测量卷纸总长度l——猫主子喜欢玩卷纸的谜团解开,以后请不要打扰它!
毕竟小猫咪能有什么坏心思呢?
来源:TIGGER FUNNYWORKS
“这题我会哦,喵~”
来源:腾讯网
写在最后
看到这里的都是真爱
话不多说
就让我们一起
吃个pi庆祝一下吧~
以及
文末有彩蛋哦!
参考文献
特别鸣谢:平平无奇小叶榕, Eric
表情包来源:网络
fu
福
li
利
shi
时
jian
间
今天我们将送出由机械工业出版社提供的《天才引导的历程:数学中的伟大定理》。
【互动问题:你还知道哪些求圆周率的方法或庆祝pi day的方式?】
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编辑:蕉
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