牛献礼：让课堂中的学习真正发生
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今日“星教师”
“老师，请问你教什么？”“我是教学生的。”在教师牛献礼心中，无论是教哪个学科的教师，首先都是“教学生”的教师，其次才是所教学科的教师。
当全课程教育观念越来越流行于我们的校园，今天的教学需要超越学科本位，教师不仅要做学科教学，更要做学科教育。当全课程教学融汇于牛老师的数学课堂中，这里的每一次数学学习便得以真正发生。
牛献礼，著名特级教师，任教于北京亦庄实验小学。
笃信一名优秀的数学教师，应该既深知教学的活力来自充满火热生命气息的生活世界，但同时又善于改造生活原生态为我所用，使生活情境具备清晰而丰富的教育意义，努力引导学生用数学思想方法分析问题和解决问题，使所有的学生都有一双能用数学视觉观察世界的眼睛，同时又有一颗能用数学思维思考的头脑。
在学校教育中，学生的需求与旨趣是多样的，学生的潜能是林林总总的，学生的认知方式是各不相同的。教师要尊重差异，尊重每一位儿童的独特性与多样性，为此，课堂上要尽可能地“引出”而不是“堵塞”学生的真实想法，给各种基于思考的观点与想法提供碰撞的机会。要经常以“为什么”、“你是怎么想的”、“还可以怎么想”等启发性话语与学生对话，并注意延迟判断学生的反馈。在这样的学习过程中，学生往往会回报我们许多的“惊喜”。
例如，在“大数的读写法”教学中，我设计了“猜猜它是谁”的写数游戏，逐一出示提示信息：“它是一个七位数；最高位上是4；千位上也是4；其余各位上都是0。”让学生根据这些信息写出大数。
巡视发现，大多数学生都能写出正确答案，而且不少同学自信满满，已经迫不及待地开始指导同组同学改错了，但也有五六个学生无从下手。怎样帮助这几个“困难户”释疑解惑呢？我决定“后退”，让“小老师”来“兵教兵”。
师：我发现很多同学都写得很正确，谁来做个“小老师”，给同学们讲一讲你是怎么想的？让大家一起分享一下你的好方法。
先后有三个同学发言，其中建鹏同学的发言最为精彩：
“我看到它是七位数，就先画出7个横道（边说边在黑板上画出横道）；再看其他提示，就在最高位上写‘4’，千位上写‘4’，其它数位上都写‘0’，就写出来了。”
建鹏同学的回答赢得了同学们的一片掌声，在后续的类似练习中，许多同学都采用了他的“画横道”的方法。
教学“用除法解决问题”时，我出示了如下题目：
“有两包糖，一包10块，另一包11块。平均分给三个人，每人吃几块？”，让学生练习。
很快，就有学生汇报了算法：（10+11）÷3=7，这跟我在课前预设的一样，方法简洁、准确，就表扬了这个孩子，准备出示下一道题目了。
突然，一个孩子的手举了起来，“老师，我还有别的方法。”
举手的孩子是班里的“后进生”，平时在数学学习上一直有些吃力，上课也很少发言。他能想出什么方法来呢？我感到有些奇怪，就示意他来讲。
结果，他啰里啰嗦讲了很长一段话，列出了好几步的算式，我和其他同学都没听太懂，只听到他算出的得数也是7。
我示意他再把算式重新讲一遍，并把它们板书在了黑板上：
10÷3=3……1；11+1=12；12÷3=4;3+4=7。
看着算式也就明白了他的想法：先把第一包糖平均分成3份，每人分3块，还剩下1块；再把剩下的这块糖和第二包合起来，一共12块；然后，第二次平均分，每人分4块；最后，把两次平均分的结果加起来，就是7块。
老师是看懂了，可是有许多同学并没有看明白，于是班里就有了各种“质疑”的声音。
我没有简单地做出评价或者“一带而过”，而是鼓励这个孩子：“你能给大家说说你是怎么想的吗？”
这个孩子说：“我们家分东西，从来都是这么分的，一包没吃完，不能打开第二包。”
听完这些话，同学们也都明白了这个孩子的想法。我对他也大加表扬：一是他善于把生活经验上升到数学学习上来；二是他对于“余数”的认识是正确的，甚至“高人一筹”；三是他看到有同学说了比较简洁的算法之后，还敢于表达自己“不太简洁”的真实想法，真是勇气可嘉！
漠视知识学习过程中学生心理活动的丰富性、灵活性和生成性，是当前学科教学中至为要害的一个问题。学生在学习新知识的时候绝不是一张白纸，他（她）往往是带着自己的经验进入学习的。
而教书的都是成人，学习的却是儿童，成人的思维和儿童的思维很多时候是不一样的。为此，教师要学会“换位思考”，学会站在儿童的角度，从儿童的视角思考问题，才能有效地引导学生思考。
例如教学“认识余数”时，一位年轻教师创设了“把14块糖平均分给3个小朋友”的生活情境。教师想的是“每人分4块，还剩下2块糖，无法再平均分给每个人了，就会剩下来，余数由此产生。”
但是，出乎老师预料的是，实际教学中学生却认为所有的糖都能分下去，根本就剩不下来。
学生是怎么分的呢？“剩下的2块糖，可以一人咬一口，就分掉了。”
老师就引导：“一人咬一口，多不卫生呀？不能这样分。”
学生又想其他办法：“可以用小刀切开，也能分下去。”
……
糖都分下去了，哪来的“余数”呀？下面的课又该怎么进行呢？最后，年轻的老师只好尴尬地“霸王硬上弓”：“这两块糖不能再分了，就得剩下来。”……
之所以出现上述“尴尬 ”的场面，源于教师对儿童的经验缺乏了解和研究，没有站在儿童的视角思考问题。
后来，我和老师们一起研讨、改进了教学设计，创设了“用14根同样长的小棒，独立地搭大小一样的正方形，能搭几个？”的情境，学生发现“搭了3个正方形之后，还剩下2根小棒。”而这剩下的两根小棒就是“余数”。
调整后的教学师生互动变得更加和谐，也引起了我们的深思：一旦教学中出现“尴尬”场面时，千万不要一味地责怪学生，而应该反思“是不是我们自己的教学设计本身有问题？”如果老师能够经常这样想，他（她）一定会成为一个好老师。
如果老师能够经常这样想，他（她）一定会成为一个好老师。
忽视教学内容之间的“广泛的联系”，也是当前学科教学中至为要害的一个问题。学生成长的方向与节律被“学科逻辑”深深地规定而无由自主。为此，打破体系化的学科知识壁垒成为我校“全课程”教育改革的主旋律。
加强学科融合，践行“全课程”，就应当用“联系”的观点指导具体的教学。
比如，教学“加法交换律”时，我由成语故事“朝三暮四”引出等式“3+4=4+3”。
师：像这样的等式你还能写出几个吗？
生：5+9=9+5
8+2=2+8
1亿+2亿=2亿+1亿
……
师：这样的例子能举出多少个？
生：无数个。
师：观察这几个等式，你发现了什么？
生：我发现“=”两边的数都一样，只不过颠倒了一下位置。
师：哦，这两个加数的位置交换了。
生：“=”两边的结果都一样。
师：你怎么知道两边是相等的啊？
生：可以算啊！
师：是不是每次都要算啊？
生：不一定都要算。
师：那你为什么这么肯定“两边是相等的”？能不能找到一个“反例”，左右两边的两个数相加后结果会不一样？
生：肯定找不到反例！因为左右两边的数都是一样的，只不过是位置换了，加起来结果当然一样。
师：说得有道理！我们可以举出无数个这样的例子，但又举不出一个“反例”，说明这是加法里的一个规律。谁能把这个规律完整地说一说吗？
生：两个数相加，交换它们的位置，结果不变。
师：总结得真好！知道这个规律叫什么名字吗？它叫做“加法交换律”。
我从一开始就确定了研究问题的视角，将学生的注意力引向以下研究方向：从众多例子中发现规律、找反例验证规律、用自己个性化的方法表述规律、思考能否推广到其他运算中去，等等。一旦这些共识形成以后，剩余的工作就十分简单了，只需要“让学生借助经验展开数学的想象”，就能够迁移到后续更多运算律的学习当中去了。
加强“学科融合”并不意味着淡化学科本质。每一门课程都有它的学科特性，都有它不可替代的教育价值，数学教育最基本的目标是，通过教学帮助学生学会思维，特别是学会深层次思考与理性的思考。
例如教学“三位数乘两位数”，在练习阶段，我出示了如下题目。
234×11= 325×11= 547×11= 384×11=
待学生列竖式计算后，引导学生发现“一个三位数乘11的规律”。
再引导学生发现“规律”背后的道理：先用三位数乘10，再加上这个数。
然后,又出示了三道“三位数乘11”的题目，学生很快就算出了得数，已经很少有人再去列竖式计算了。
我乘胜追击，又出示了下面几道题：
234×22= 123×33= 126×44=
学生看了看这几道题，开始并没有发现规律，不少人又低头列起竖式来。
我启发：难道只有列竖式这一条路吗？这几道题跟前面“乘11”的题目有联系吗？
学生恍然大悟，欣喜地叫了起来，“哦！可以把22看成11×2，33看成11×3，44看成11×4，就可以用‘三位数乘11的规律’了！”
……
上述教学中，把基本技能的训练与其他思维能力的培养有机地结合起来，引导学生由单纯的计算（“动手”）转向更为深入的思考（“动脑”）。学生既进行了三位数乘两位数的练习，同时也会让学生体会到计算中也有策略和发现的欣喜。学生的思维会变得更加深刻和灵活，学生解决问题的策略会更加合理与简洁，平淡的计算教学就会更多一些思维的乐趣。
课堂不仅是学科知识传递的殿堂，更是人性养育的圣殿。教学过程中什么最重要？培养公民最重要。我们都是“教学生的”，要坚持“学科育人”，把学生的学习和成长放在中心位置来考虑教学，让学科知识增长的过程同时成为学生人格的健全与发展的过程。
我尝试开设了“数学阅读课”。一般地，数学阅读课的教学流程如下：背景介绍、激发兴趣——自主阅读、尝试探究——互动对话、交流提升。课堂上留出充足的时间让学生去自主阅读、尝试探究，帮助学生真正进入思维状态，让阅读真正成为充满思考的学习过程。
经过一段时间的实践，数学阅读课的成效已初步显现。孩子们在阅读中开阔了数学视野，感受到了数学知识的博大精深和魅力所在，学习数学的兴趣也越来越浓。
还记得学习“数学阅读之冰雹猜想”时是一个周五，我阅读材料时介绍了“英国剑桥大学教授John Conway找到了一个自然数27。如果按照文中所述方法进行运算，掉入‘数字黑洞’的全部过程一共需要111步。”原本我只是想让学生了解一下“冰雹猜想”中还有如此特殊的数而已，并不要求学生亲自去计算，因为步骤太繁琐了！
没想到周一刚到校，就有几个同学找到我说，他们利用双休日的时间亲自去“求证”了一下，真的用111步计算让“27”调入了“数字黑洞”，前前后后耗费了2个多小时，还都乐此不疲——“这样的计算，我喜欢！”、“很累，但我乐意！”。也有家长通过QQ给我留言，说自家孩子原本很贪玩，那天却在家里一直坐在那里验算、推导，整整2个多小时没有离开书桌，直到把结果算出来才起身去吃饭、休息，这是在他以往的学习中从来没有发生过的事情。
数学阅读课的效果令人振奋！阿尔卑斯山谷中有一则广告语：“慢慢走，欣赏啊！”的确，孩子的数学学习不能成为“一个了无生趣的囚牢”。我们应该让孩子驻足欣赏数学学习旅途中的点点精彩，让他们“享受属于自己的乐与苦、喜与悲”。
分享：选定数学阅读内容三原则
一是学生感兴趣的，因为“兴趣是最好的老师”；二是学生经过思考能够理解的，必须“跳一跳才能摘到果子”（否则缺乏挑战性，心智得不到锻炼），最终又能够“摘到果子”（否则会挫伤积极性）；三是能够开阔学生视野，感受到数学的魅力的。
通过查阅大量资料，反复比对，我先后选择了如下阅读素材：《有趣的222》；《“数字黑洞”探秘》、《神奇的“走马灯数”——142857》、《冰雹猜想；回文数猜想》、《奇妙的数字金字塔——杨辉三角形》等等。
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寻找一群有教育情怀、敢于实践、具有创新精神并善于学习的教师，关注他们的经历，他们的课堂，他们的反思，他们的阅读与生活。 在此，我们特别邀请您自荐或推荐您心目中的“星教师”，分享给中外教育同仁以及广大的学生、家长，让我们共同为当下的、未来的教育做点什么！
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