顾志能：贴着学生的思维前行，传统老课也能上出崭新意境
顾志能
特级教师，浙江省海盐县教育研训中心副主任。喜欢研究教材、研究课堂、研究学生，课堂教学先后获浙江省一等奖、华东六省一市一等奖、全国一等奖。
“状况百出”的前测
为了上“平行四边形的面积”这节课，我在不同层次的学校、班级做前测。测试题很简单，纸上印了一个平行四边形（没画出高），问题一是请学生自己想办法求出它的面积，问题二是说明为什么这样做。
绝大部分学生拿到纸，略一想，马上就测量了平行四边形的一组邻边，然后相乘计算。写的想法，要么是“因为长方形的面积是长乘宽，所以平行四边形的面积也是长乘宽”（将一组邻边叫成了长和宽），要么是“这个平行四边形可以拉动变形为长方形，所以这两条边乘一下就可以了”。
学生有如此的思维定势，我该如何应对呢？
也有一些学生，画出了高并测量长度，然后用“底乘高”来计算。这些学生还可以用示意图将原理（即割补）清晰地表示出来。对这些学生做进一步了解，发现他们之所以知道方法，有的是因为在教材上见过这样的示意图，有的是因为家长、兴趣组教师曾经教过。
那么，既然有学生已经知道了，我的教学又该如何导入呢？
更为有趣的是，一些原本是用“邻边相乘”来计算的学生，当无意中瞅了同桌一眼，看到同桌居然画了一条高，先是一怔，蓦然又大悟，马上就写出了正确的式子。
这不禁让我思考，平行四边形“割补”转化的思想，如此一点就穿的“难点”，我该怎样处理，才能让学生充分地经历并深刻地感悟呢？
传统老课“新”演绎
如上的测试过程与结果，暴露出学生真实的思维状况，也带给我教学的思考和灵感。于是，我设计了如下的教学过程。
（呈现带给学生的“礼物”——两张彩色纸片，一是长方形，二是平行四边形。）
师：请你观察屏幕，比一比，哪个图形的面积大？（学生猜测，意见不一。教师请学生拿起这两张纸片对比，学生比后，还是不能统一意见。）
师：我们怎样才能比出它们的面积呢？
生：量一量，算一算它们的面积就知道了。
师：请大家自己量取所需要的数据，计算出它们的面积。
【设计意图】解决问题的愿望，是学生对学习产生需求的驱动力。用两张彩色的纸片让学生比较大小，当他们通过观察重叠无法解决时，就自然地产生了计算图形面积的需求。
1.学生尝试，展现学情。
（1）学生各自测量了所需的数据，在自备本上进行计算，教师巡视。
（2）反馈。
师：请同学们汇报一下，你量了什么，怎么算的？
生1：我量了长方形的长和宽，分别是6厘米和4厘米，6×4=24平方厘米。
生2：我量了平行四边形的底和斜边，分别是7厘米和5厘米，7×5=35平方厘米。
（根据生1和生2的回答，教师标注数据，板书算式，并指出平行四边形的底和斜边一般叫做底和邻边，因此计算方法为“底×邻边”。）
师：这样做的同学，请你们说说想法？
生：平行四边形可拉动变形为长方形，长方形的面积是“长乘宽”，因此，平行四边形的面积就是“底×邻边”。
（教师以实物框架贴在黑板的平行四边形图片上演示，让学生看到这个变化的过程。很多学生都认为，7和5没变，所以面积可以用7×5来计算。但此时，有部分学生表示不同意这样的方法。）
生：我是量了平行四边形的底和高，底是7厘米，高是3厘米，计算方法为“底×高”，因此面积是7×3=21平方厘米。
（教师和学生合作，在贴图上画出高，标注出数据，板书算式，得出计算方法为“底×高”。）
【设计意图】学生的已有认知可能是错误的，但这却是宝贵的，因为他们已经在用自己的能力尝试解决新问题。给学生这样的机会，既能让学生“展现”自己，又能给新知探究提供可研究的材料，这正是教学的启航点。
2.激发疑问，初步解决。
（1）师：现在我们有两个答案，35和21。那么，到底哪个答案对？实际上，要知道它的面积，有一种最原始但也是最有效的方法。
（教师课件呈现方格图，然后移入平行四边形。告知学生每一个方格代表1cm2，只要数出这个平行四边形里包含了几个小方格，它的面积就是多少平方厘米。）
（2）学生利用练习纸（预先下发，每人一张），独立数面积。
（3）反馈数法。（利用实物展台）
生1：我是先数出完整的，有15格，再将那些不完整的小格一个个拼一下，一共是21格，就是21平方厘米。（学生的数法呈现在展台上，如下图左。有些学生认可，有些学生表示还有更好的数法。教师再请学生展示。）
生2：我是将左边的三角形整体移到右边，这样数起来更容易了。每行7格，有3行，共21格。（如下图右）
（教师运用多媒体演示，更清晰地展现这种想法，师生共同得出：整体移一下以后，得到的都是完整的方格，很方便地数出来了平行四边形包含7×3个面积单位。）
（4）得出结论：面积是21平方厘米，比长方形小。
【设计意图】引进小方格的目的，并不只是为了数出平行四边形的面积，更重要的是想借助学生不同数法的反馈，尤其是第二种数法，让学生感受到，只有将图形如此变形，我们才能够方便地看出一个图形里包含了几个面积单位，计算才能变得简单和熟悉。事实上，这就是平行四边形的面积为何要用“割补”转化的理论基础。
3.深入探究，理解原理。
（1）师：现在看来，平行四边形的面积用“底×高”来计算可能是对的。那么，我们来深入想一想，平行四边形的面积用“底×高”来计算，到底有什么道理呢？
（2）引导学生先自主思考，再同桌交流。
（3）反馈。
生：因为把平行四边形沿着高剪下一个三角形来，拼到另一边，就可以变成一个长方形。长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高，它们的面积是一样的……
（教师利用黑板上的图，请学生上前剪拼，告知这叫“转化”，并引导学生理解这些联系，最后得出“底×高”，实际上就是“长×宽”，算的是剪拼后的长方形的面积，也就是原来平行四边形的面积。这样的想法实际上就是刚才数小方格的方法，所以“底×高”的算法是有道理的。）
师：用转化的方法，我们可以把没学过的知识变成已学过的知识，从而解决问题，这是数学学习的一种重要方法。
（4）师：那么，前面把平行四边形拉成长方形，也是转化成长方形，怎么就不对呢？
生2：拉成长方形后，面积比平行四边形变大了。
师：怎么会变大呢？变大的部分在哪里，你能不能指出来？（学生上前指出变大的部分，理解这样的转化，“底×邻边”，即7×5算得的面积比平行四边形大了，面积发生了变化，所以不对。）
师：但是，这个转化中，有一样东西也是不变的，你看得出吗？
生：周长是不变的，因为两条邻边一直没变。
师：看来，在运用转化的方法时，我们要想清楚，转化之后，变的是什么，不变的是什么。
（5）小结。得出公式，教学字母表达式：S=ah。
【设计意图】平行四边形的面积为什么是“底×高”，为什么不是“邻边相乘”？同样是转化为长方形来思考，为什么前者是对的，后者却又不对了？疑问的解答，需要的是观察、比较、分析等充满挑战性的过程，在这样的过程中，学生的思辨能力、数学思想都能得到有益的发展。
1.基本练习。
呈现两个平行四边形，要求学生自己列式计算。
反馈答案时，还请学生说说“你想到了什么图形”，进一步巩固平行四边形和它转化后的长方形的关系，进一步感受计算公式的内涵。
2.变式练习。
基本练习中的第二题解决后，追问“它还可转化成怎样的长方形？”学生说它可以转化成底是18 厘米、高是10厘米的长方形，教师请学生说理。学生从另一种剪拼法说起，得到的长方形面积还是180平方厘米，用180除以18，宽就是10。
教师课件呈现这个转化过程，呈现高是10。师生共同得出“只要我们用相对应的底和高，都可以算出一个平行四边形的面积”。
3.拓展提升。
（1）师：平行四边形拉动可以变成长方形，那么，长方形拉动就可变成平行四边形。现在有一个长10厘米、宽6厘米的长方形，拉动它，它会变成怎样的平行四边形？（课件呈现，学生观察想象）
生：底是10厘米，高是6厘米。（学生对高是6 厘米有争议，教师先请学生想象对错。然后用几何画板演示框架的拉动，让学生通过直观比较发现高肯定小于6 厘米。继续用几何画板演示高不断变小依次得到的几个平行四边形，如下图，每步都组织学生口算面积。）
师：你发现了什么？
生：我发现高不断变小，面积也在不断变小。平行四边形的面积和高有着紧密的联系。
（2）师：在这个过程中，还有一样东西也一直在变，你发现了吗？引向邻边之间的夹角也一直在变，正因为角度的变化，才引起了面积的变化。教师告知学生，将来用两条邻边的长度和这个角度，也可以计算平行四边形的面积。
一堂传统老课，经过如上演绎，显现出了些许新的亮色——课堂简洁，思辨清晰，学生思维激活，教学效果良好。反思课堂的成功，我觉得关键是在“以学定教，顺学而导”教学理念的指引下，教师努力去“想学生所想，研教学之法”。具体而言，体现为以下两点：
1.基于学生的起点切入教学。
学生的学习起点有逻辑起点和现实起点之分。如本节课中，想到“底乘邻边”就是学生应有的逻辑起点，但实际上，却有部分学生知道了“底乘高”，这说明这些学生已经到达了这样的现实起点。
仅考虑学生的逻辑起点，将使得教学缺乏吸引力和挑战性；仅关注少数学生的现实起点，教学也可能会缺乏适切性和有效性。根据对大量前测材料的分析，我发现常态下两者的比例大约是4∶1。
基于此，我的设计，就是想在无提示的状态下让学生自主尝试，将这两种情况准确地暴露出来。这样的做法，既凸显了大部分学生应该具备的认知基础，又照顾了少数学生领先于人的知识状况。
为了更全面地发挥教学起点的价值——不仅为了引入，还为了得出课堂研究讨论的真实素材，更为了激发学生的学习热情，我还在两种起点呈现的方式上加以区别：“底乘邻边”先反馈，让学生说明想法，教师还运用框架加以强化；“底乘高”后反馈，却暂时不让学生说想法。如此一来，素材产生了，学生“入戏”了，课堂自然地朝着目标顺利前行。
2.顺着学生的思维展开教学。
本节课要解答的无非是这样的问题：平行四边形的面积计算公式是什么，不是什么？平行四边形的面积为什么是这个公式，为什么不是那个公式？而学生在学习的过程中，一直在想的或许也是这些问题（当然也可能只是其中的某个问题）。
这就是学生的思维状况！而倘若我们的教学正好能顺着学生的思维而展开，那么，学生就能在这样的目标引领下，在一个又一个的问题解决过程中，感受着突破之喜悦，体验着数学之美妙。
为此，当学生面临两种算法两个答案，很迫切地想知道到底谁对谁错时，教师首先做的并不是马上引导研究“底乘高”的原理，而是适时地呈现出学生熟悉的方格纸，“帮助”学生快捷地解决问题，教学的行为正好合着学生的需求。
当学生通过数方格得出面积，潜移默化地感受到转化的思想时，教师恰到好处地提出“平行四边形的面积用‘底×高’来计算，到底有什么道理呢？”教学的指向又与学生思维发展的进程合拍。
当学生看懂了平行四边形可以“转化”成长方形来思考，真正理解了“底乘高”的原理时，教师又质疑“把平行四边形拉成长方形，也是转化，怎么就不对呢？”问题看似很难，但这不正是学生心中早就积下的疑惑吗……
不断变化的教学行为和要求，不断支撑着学生思维的发展，促进着学生能力的提升，这就是“以变促思，以思提能”。教学，正是在这样的过程中展现着内涵，绽放出精彩。
【声明：本文综合整理而成，主要来源于小学数学教育《教学，贴着学生的思维前行——“平行四边形的面积”教学实践与思考》。如有侵权，请作者联系处理。】
责任编辑|邹雪平