用实验“玩”数学，孩子的思维这样养成
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一位一年级学生早就会20以内加减法了，但是面对 =2+3，居然不会做！2+3= 会做，反过来就不会做了，这是怎么一回事？
2+3= 和 =2+3看起来好像只是形式有异，但真正让学生们困惑的是它们背后完全相反的认知过程——前者是常见的算术顺向思维，后者渗透着逆向思维和平衡观念。
而学生之所以会被形式、认知顺序迷惑，追根究底是他们没意识到“运算中的等号表示的是等价事件”这一核心。
那怎么帮助学生加深对数学核心内容的记忆和理解呢？经过多次尝试实验，我和团队找到并开发了一个神秘武器——“数学小实验”课程。
“数学小实验”的奥秘
“数学小实验”，是一门通过实验方法和手段，进行数学建模和探究的课程。
在长期的实验、教授过程中，根据数学实验涵盖面的大小和操作的复杂程度等，我们将数学小实验分成边做边想式、尝试归纳式、猜想验证式、观察比较式等4类。
这4种实验在适合内容、操作过程和授课效果上各有千秋。
边做边想式——小纽扣 大秘密
要学习“分类”这节内容了，我想到了生活中常见的素材——纽扣，创设了“怎样快速找纽扣”的问题情境，一次特殊的数学实验开始了。
师：纽扣是常见的生活用品，但纽扣市场的纽扣太多太丰富了，如果想找到某一类扣子，怎么才能快速找到呢？
（学生们陷入思索，开始进入情境，接着，我拿出纽扣。）
师：大家看，这么多纽扣堆放在一起，有点乱，如果你是老板，你会怎么分类整理呢？
实验开始了，我们先将学生进行两人分组，然后每组发放8颗纽扣（每颗都编了号），要求先自行分类整理，并记录整理结果和分类标准（哪几颗纽扣分为一类，就写在同一个括号里）。
在第一次分类结束后，同组之间交流分类心得，然后再次尝试其他分类标准和结果。下面是我们本次实验的作品照片。
边做边想类实验，实践起来并不难，在一、二年级最为常用，旨在让学生在动手操作中思考，逐步使自己的发现从模糊走向清晰。前期准备上要注意两个问题：
1. 实验材料的选择——材料既要能吸引学生，又要突出作为学习材料的典型性、实验性和探究性；
2. 数据采集——不仅要采集可以量化的数据，也要注意采集学生的作品。每幅作品背后学生的思索，才能为实验结论的得出提供真实证据。
如果能再拓展一些素材，将实验引向深入，进行数学化分析，那就更加完美了。
尝试归纳式——图形的奥秘
师：我们刚开完运动会，有小朋友用七巧板拼出了上面的图。它像什么呢？
生：像一个人在跑步！
师：是的，大家还知道其他的平面图形吗？
（学生争先恐后抢答）
师：那我们今天就一起用磁力棒和小球来拼平面图形，探究平面图形的奥秘！
看到这儿，相信大家已经知道我们这节实验课的主题——平面图形了，在确认孩子们对学习内容初步思索之后，我们进入了第二个环节——分析比较，提出猜想。
这节课的目标是用磁力棒和小球拼出三角形和四边形。实验开始了，孩子们每人选择了一份材料，拿到了一张表格（用于记下拼出的不同图形的数据）。
我们先向孩子们展示了提前拼出的三角形和四边形的图形，鼓励孩子们仔细观察，说出自己的发现。
生1：三角形有3个点，3条线段。
生2：四边形有4个点，4条线段。
孩子们发现了三角形和四边形的规律，我们开始引导他们运用类比思想，并提出猜想：
五边形，是不是有五个点，五条线段？
六边形，是不是有六个点，六条线段？
七边形，是不是有七个点，七条线段？
八边形呢？
……
师：这样的小猜想有很多很多，大家能把这些小猜想总结成一个大猜想吗?
生：几边形，就有几个点，几条线段！
把孩子们的猜想进行板书后，老师画了另外一张表，带领着大家进入验证环节。
尝试归纳式实验大多是贯穿课堂的大实验，期间思考探究的空间更大，时间也更长。为保证这一类型的实验有序推进，它的实验流程建议设计如下：
1. 提供素材，初步探索；
2. 分析比较，提出猜想；
3. 举例验证，丰富例证；
4. 检验假设，得出结论；
5. 反思评价，积累经验。
猜想验证式——这片叶子的面积有多大
在学习完“面积”这节课，我们拿出了上面这张图片，提出了一个问题：“根据这张图，你能提出什么数学问题呢？”（请各位读者对此问题也进行思考。）
生1：长方形面积是多少？
生2：树叶的面积是多少？
生3：树叶的周长是多少？
生4：长方形面积是树叶面积的几倍？
生5：树叶面积是长方形面积的几分之几？
生6：空白部分的面积是多少？
……
（孩子们提出了各式各样的问题，经过分类，所有问题可分为两类，一类求面积，一类求周长。结合准备的实验内容，我们从众多问题中挑选了一个。）
师：今天这节课，我们先来研究树叶的面积，大家有哪些方法可以估算出树叶的面积呢？
经过交流讨论，孩子们提出了两种方法来计算。
分类数：将长方形分割成单位面积的小正方形，通过数小正方形的方法估测面积。
这里可以把小方格分为两类，一类是整格的，一类是不满一格的，不满一格的都按半格计算。
转化算：转化成我们已经学过的规则图形来估计面积。
孩子们提到的两种方法都很可行，但都要用到格子图，而且是之前经过实验、已经教授过的方法。看到这种情况，老师再次明确了本节课的任务。
师：分类数和转化算这两种估测方法是我们上节课学到的知识。今天这节课没有格子图，只有一盒绿豆，这样大家还能创造出新的方法来估测树叶的面积吗？
又一轮尝试、讨论开始了，很快孩子们得出了几个方法。
方法1：直接铺设法
A小组想先用绿豆填满树叶，然后数出绿豆的数量，估计出一颗绿豆底部的大小，用一颗绿豆的底面积乘绿豆的数量来推测树叶的面积。
方法2：铺满转化法
B小组在A小组的基础上进行了改良，先将绿豆铺满整个不规则图形，然后不改变这些绿豆的数量，将它们摆成一个长方形，只要测量这个长方形的长和宽，就能算出长方形的面积，也就推测出了树叶的面积。
A小组和B小组的做法很稳妥，但可以看出与前面的分类数和转化算方法有些类似，还会有新的想法迸发吗？这时C小组提出了自己的想法。
方法3：撒绿豆实验法
先在不规则图形的上空撒下一把绿豆，然后分别数出在长方形里面和不规则图形里面的绿豆的数量，看看两部分数量有怎样的倍数关系？它们的面积也应该具有这样的倍数关系。
长方形的长和宽可以测量，可以计算出长方形的面积，再根据倍数关系计算出不规则图形的面积。
师：这个方法很新颖，很厉害。但到底能不能求出树叶的面积呢？
生1：撒一次可能不行，因为分布的不一定均衡。
生2：我担心不太准确。
生3：这种方法我们以前从来没有遇到过，可以先试一试，做一做实验，然后再下结论行还是不行。
（生3的看法很有实验的理念，于是老师先鼓励了他们的想法，并带领全班开始对他们的想法进行试验。）
师：怎么随机撒绿豆，怎么统计绿豆，其实就是怎么做一个比较规范的实验，通过之前的实验课，相信大家已经很清楚了。
现在请大家分小组合作做实验（全班分为10组），但要注意一下这几个问题。
（1）撒豆：四人小组，大家轮流撒绿豆；
（2）记录：每撒一次，统计员就要记录数据；
（3）计算：最后算出几次实验的总数据。
经过全班的不断尝试，我们得到了这个数据结果，并将它转成了条形统计图。
通过观察数据，我们发现长方形内绿豆数量是树叶图形内绿豆数量的2倍左右，并得出“长方形的面积是树叶面积的2倍左右”的猜想，在这个猜想下，我们推测出了树叶的面积：
15*12÷2≈90（平方厘米）（长方形长15CM，宽12CM）
猜想是否正确呢？还需要验证。
这时就可以运用以前学过的分类数和转化算的方法了——分类数得到的面积大约是89平方厘米，转化算得到的面积大约是90平方厘米。
至此，我们为“树叶面积的计算”得到了新的算法的结论：用撒绿豆的方法，计算出规则图形和不规则图形中绿豆数量的倍数关系，进而推测出这两种图形的面积，然后根据规则图形的面积来求出不规则图形的面积。
这就是猜想验证式实验，它与尝试归纳式实验类似，贯穿课堂核心环节，是一种常用的研究方式。但由于这种实验略微复杂，所以特此展示下实施流程：
观察比较式——水杯琴如何发声
观察比较式是最基础、最常用的实验方法，它主要帮助学生在观察和分析中发现内在联系和本质特征，并从不同角度解释特征或成因，最终获得对于数学的深刻理解与拓展运用。
例如，“水杯琴”这一数学实验，目的旨在帮助学生了解杯子中的数量和发出声音的音高之间的关系，而观察比较的实验过程通过下面这张实验小卡就可以详细了解。
“数学小实验”课程，它通过帮助学生更好地理解数学概念/原理、验证数学猜想、归纳数学规律、解决数学问题，进而实现数学理念和课堂教学方式的转型，是一种真正实现“探究性学习”的课程。
但是，要想让“数学小实验”达到相应的教学效果，在筹备和内容设计阶段，这几个前提条件需要我们不得不注意：
1. 实验过程中，目标明确，设计合理，操作程序规范，数学分析严谨；
2. 实验步骤上，提出问题-猜想或假设-设计实验-进行实验-分析论证-得出结论-评估交流缺一不可。
（以上课例为本人和团队共同努力的成果）
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图片丨花瓣
编辑丨李俊萱
数学真是一门神奇的学科。有老师说，学生畏惧数学，觉得数学又抽象又难又无趣，很不好教；
但也有老师觉得，数学学科里可以发挥创意、和学生一起探索的内容太多了，可以做小实验，可以画数学画，可以数学阅读，布置作业也大有可为......
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