潘国双：当《红楼梦》“撞上”数学概率，会擦出什么火花？
潘国双
北京师范大学数学科学学院博士，任教于北京市十一学校。他将大学数学知识融入中学课堂，启发学生思维，注重学生能力培养，深受学生喜欢。曾分别指导两名同学在2011年与2012年获得“丘成桐数学奖”。
”才能从中舀
老师要有“一缸水”才能舀出“一碗水”给学生出“一碗水”给学生
学生：“我们为什么要学三角函数？”
老师：“因为要考。”
学生：“学了有什么用？”
老师：“学了可以应付考试。”
这是我在上学时斗胆问过老师的一段话，当然，我现在还想起当时老师回答我的时候非常诚恳，即便这样我心里还是不太服气。结果，我就让我同宿舍的一个同学去问他的数学老师，结果他被骂回来了。这是发生在20多年前的事情，现在我们如果回答学生这样类似的问题，我想学生可能就不学了，因为他们很有个性，他觉得要学这个东西一定要弄明白为什么去学。所以，鉴于目前学生的状况，如何激发他们学习的热情呢？作为老师，我觉得我们不仅要能回答诸如此类的问题，而且还要回答得好，让学生迫不急待就想学。
于是，我想了很久，最后决定从教材作为突破口入手，让他们在教材上能够找到答案。
以我教材中的例子，三角函数可以这样来引入
第一个例子是“弹簧作用下小球的振动”。我完全按照物理课的模式，让学生当场做实验。让他们根据进入不同时刻小球的高度这个实验数据，在平行直角做出小球的高度和时间关系的散点图。从这个图可以看出，小球的高度是周期性变化的；第二个例子，我们又从物理学跳到了天文学知识——大家知道太阳是东升西落是一日，东去春来是一年；第三个例子是地理现象——潮汐现象。解释当海水发生潮汐现象的时候，让学生去考察这个水深与时间的关系，他们会发现水的深度会产生周期性的变化，从而得出潮汐是一种周期现象；第四个例子讲到了化学的元素周期表。科学家根据核外电子的排布的周期性的规律，制定了元素周期表；第五个例子，我们谈到了人的生理现象，比如说人的情绪、体力、智力等等心理的状况都是呈周期性变化的；第六个是医学上的例子，我们都知道心房的心室每收缩和扩张一次是一个周期，如果按照每分钟75次来算的话，每一个周期大概是0.8秒······
通过这些例子，让学生了解到在物理学、化学、天文学、地理学、生理学、医学等等领域都存在着大量的周期现象。这个时候再抛给他们这样一个问题：“用来描述这些周期现象最重要的函数是什么？你们想知道吗？”从而我引出了三角函数。
与传统的教材对比，通过这样多渠道、跨学科的引入，可以让不同爱好的学生都能找到自己的兴趣点。譬如有些学生一开始并不喜欢数学，他喜欢天文，但是当他想去研究这些天文现象时，他就发现逃不过三角函数。所以，他必须得先把三角函数学好。
因此，当学生的兴趣与数学相联时，我觉得我们的数学教学就算成功了。
学习概率问题时，我选取了《红楼梦》的一个例子，从《红楼梦》的“巧”字说起：在第62回有这样的一段文字描述，大致说的是四个人正好在同一天生日。探春说了这么一句话：“倒有些意思，一年十二个月，一个月有几个生日，人多了便这等巧。”分析上面这段文字，原本说的是贾府里的人生日相同的问题，但到了数学这里便成为了一个概率问题。曹雪芹在那个时候就发现了这个现象。
我马上向学生提问道：“生日相同真的是像探春说的那样巧合吗？这种现象背后是否隐藏着深厚的数学背景？”接下来学生们开始研究：64人中至少有两人是生日相同的概率。经过计算，我们发现64个人中有两个人生日相同的概率是99.7%。
我又让学生利用我们功能教室的计算机现场进行更多计算，最后得出了这样一个表格：“比如说100个人，它的小数点后面有6个9；如果是160个人，小数点后就有18个9，这个感觉我们都知道。大观园里面少说也有好几百人，他们中有生日相同的概率可能比小数点后18个9的概率还要多，他们想要不在同一天生日都很难！”
如果作为一个数学知识的传授课，到这里便可告一段落了。但是我接着问，“曹雪芹为什么不懂古典概率？”这个时候班上就热闹了，当然也有一些七嘴八舌的，有的学生说，“曹雪芹是学文科的，理科当然就不好了！”这个说法马上被现场一些文理科都特别好的同学否认。有几个同学直接走到教室后面的电脑旁进行查找，他们查出曹雪芹是1715年到1763年的，但直到1812年法国大数学家才首次对概率做出了古典的定义，1933年概率才真正成为现代数学的一个重要分支。也就是说，其实曹雪芹很冤，在他的生存年代概率都没有诞生，他怎么可能懂概率呢！
这时，有些学生就开始讨论了，“多好的机会没把握住，哪像我们这个年代，该发明的都被别人发明了，我们哪有这个机会啊。”我马上就反问他们，“如果让你穿越到曹雪芹那个年代，你觉得能做哪些具体的工作？别急着回答我，想清楚再说。”过了一会儿没人说上来，此时，我觉得机会到了，就告诉他们：“科学创造机会固然重要，但是实力更重要。你们现在是打基础的时候，还没有足够的实力去发明创造，所以感觉没有机会。等你们有一天把基础打得扎扎实实的，到那个时候没准机会就出现了，别忘了机会总是给有准备的人。”
通过这堂概率课的学习，同学们不仅仅学会了概率中的生日问题，还经由曹雪芹为什么不懂概率的探讨引出了概率的发展史，同时也明白了“科学创造光有机会还不行，更需要意识力”的道理。
美国知名学校HOCKADAY的数学主任来“十一”交流时，分享过这样一个经验，“若有数学成绩优异的学生，每当上数学课的时候，学校都会派校车送他们到附近的一所大学，由学校为他们聘请教授专门授课。”我们的老师问她：“如果只有一个呢？”这位主任毫不犹豫地回答：“一个也派车，这是我们的职责。”
学生需要更多的选择机会和平台。就像练体操一样，错过最佳的时机，就永远地错过了。特别优秀的学生，确实发展得比别人早。若没有在合适时机提供给他合适的东西，他也就变成普通人。发现和保护一个天才很难，扼杀他们却很容易。
2011年开始，我开发了“数学V”课程。“数学V”这个课程是数学层级中最高的一级，涉及的学生从初一到高三都有，大概是15%左右。怎样的学生选择数学V呢？一般是将来从事金融方向，我们就会推荐他学“数学V”。学习“数学V”的学生是一群很聪明的学生，反应快，兴奋点很高、对老师的期望值很高、很有个性。他们对自己的想法有时候非常自信，甚至我觉得他们有时候有一点点固执。
准
准确把握知识点的内在逻辑——“数学V”比想象的简单
数学是讲逻辑的，没有逻辑就不是数学了。因此，在写数学V的时候我就有一个想法，一定要建构适合我们自己的、适合我们数学V学生特点的一个教材，要把这个逻辑重新整合，按照自己对数学的理解整合成自己认为的逻辑结构。
我把初中、高中、大学前两年该下放到中学的内容重新整合，把行列式与矩阵二维和三维的部分下放。二元一次方程组队列的就是大学行列式与矩阵，这样就更容易看清它的本质，况且学生接受应该不是困难的。
等我把书发下去的时候，家长就开始给我打电话了，我记得有少数家长当时问我的第一句话是说：“你就把我孩子当成小白鼠在做实验。你现在就把它放到初中，孩子受得了吗？”我说，“你回去不要告诉孩子这是大学的内容，到时候我们再看看结果。”之后我专门把这部分内容抽出来单独考试，和我们本来学的做了一个对比，结果发现这部分的考试分数比传统的要高。
准确把握学生的思维——数学也需要更多“意外”
“准”的第一点是把握知识点，作为老师我们还要跟人打交道，所以我还要准确把握学生的思维。
“如果我是爱因斯坦，你也就同意我的观点了。”
我来十一学校第一年就被这样一句话震住了，一个学生跟我的观点不一致，我们争执了很久，因为他很相信自己。他说：“如果我是爱因斯坦，你也就同意我的观点了。”虽然那时我已经读完博士，但我却不能用他所接受的方法把他说服。
当然，这个问题没有结束，我后来又想了几天，讲道理真的不难，难的是与不讲道理的、或者说与不懂道理的人讲清楚。经过不断的反思，我终于想出了一个办法：结合这个学生当时已有的知识，我说，“我们数学不是老说反证法嘛，我假设你说的是对的，我们继续往下推理······”最后利用我们所谓的“归谬法”得出了很荒唐的结论，从此他就服了。
由这件事情给我一个启发，我把它叫做“寻错探秘”。在总结课堂知识时，课堂上不能总是讲对的，讲对的学生下次还会犯错，因为这是他的第一直觉。所以，我开始用了这样一种方法：我讲正确的，但是也讲错的。后来我干脆不讲对的，就将错就错，顺着他们的错误走，反而能发现一些意想不到的东西。
宽
将各学科知识点融合，数学也可以“添油加醋”！
譬如我数学书上有一个例题，第一段叫阅读材料一，是报纸上的一篇新闻稿，大致是讲在1972年的时候在长沙挖掘出了千年女尸。在这个阅读材料后面我放了第二段阅读材料，大致讲述了一下同位数碳十四的一些性质。然后有两个标注，问千年女尸生活的时候大概是在什么年代？就是一个很简单的例题，但是我为什么这么挖空心思设置？首先作为一个数学老师，我非常支持学生学语文，因为我觉得语文的阅读太重要了。所以，我在这里设计的这个就是要想让学生能够学会阅读。
跳出数学去看数学，可能更容易看出数学的本质。
老师可以换位思考，如果我是学生，我希望读到一本怎样的数学教材？如果我是学生，我希望数学课上学到什么。我做数学V的教材时，因为没有参照版，我就自己做。譬如，一块内容在大学教材里有二三十页，厚厚的像一座山，学生通常爬得很吃力。我不让他们这么爬，我尝试把坡度加大，把内容分不同的层级学习，学生走在上面的话就不感觉陡，从而更易于接受。
比如说利率我是这样设定的：我将各大银行的利率表打出来，让大家观察一个信息：一年利率和两年利率有什么区别？大家都说两年利率比一年利率高。如果你是银行的决策者，你怎么来定这个利率？是不是只要保证两年的利率比一年的高就行了？很多同学不加思索地说“是”。其实不是这样的。一年和两年之间有一个利滚利，比如说一年的利率3.3，其实折合为两年就是3.6了，我们知道钱是会增值的，也就是说存两年的3.6和存一年的3.3实际上是等价的。如果你在银行你是一个决策者，你仅仅让两年的利率大于3.3，这样的话就可能会赔本了。当我们多角度给学生灌输，他们就能感觉到数学就在身边，并没有那么远。
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