蔡宏圣：让数学史在课堂中“飞”一会儿
蔡宏圣
江苏省特级教师，苏教版小学数学教材编委，其 “和谐数学”的教学主张被收录进《江苏省著名特级教师教学思想录》，创办有“蔡宏圣名师工作室”，多家媒体对其进行过专题报道和推介。
“为什么0没有倒数？”
你可以依据定义这样来回答：“因为乘积为1的两个数互为倒数，0和任何数相乘都得0，找不到一个数和0相乘得1，所以0自然没有倒数。”
但如果学生问：
“小数不小啊，为什么要称为‘小数’呢？”
“为什么称未知数为‘元’，方程的解为‘根’呢？”
……
诸如此类问题，又要如何回答？可见，有些“为什么”的问题，即便是一个在数学上满腹经纶的教师都深感棘手。
为什么会出现这种状况？上述的这些“为什么”，有学者将它们分成了两类，一类称之为“逻辑上的为什么”，一类称之为“历史上的为什么”。“逻辑上的为什么”，可以利用教科书中的定义和逻辑做出回答；而“历史上的为什么”，教科书已经无能为力了，只能超越教科书，用数学史来回答。
在中国古代数学著作中，分、厘、毫、秒、忽等单位经常用来表示小数的位置，它们间的关系便是十进分数制，“忽”以下的单位不再给予专有的名称。刘徽在注《九章算术》时，对于开不尽的根，将不再命名的“忽”以下的部分称为“微数”：微数无名者以为分子，其一退以十为母，再退以百为母，退之弥下，其分弥细。可见，刘徽所说的微数就是我们今天所说的小数点后的部分，确实是较小的数。
而今天我们所说的“小数”不再只限于纯小数，也就是说，随着时间的推移，概念名称的字面意义已经和概念内涵分道扬镳了——一个概念为什么这么称谓，不会无缘无故，一定有合情合理的一段历史。
1“旧史”新看教科书省略了一些概念的诞生细节，也压缩了不少数学知识逐步约定、逐步完善的过程。例如，复杂的计算需要分解为多个简单数目的计算，为了不遗忘中间步骤的计算结果，就需要进行记录，这便是计算竖式的由来。
教科书中的数学从概念到定理都是那么严谨自如，从例子到公式都是那么理所当然。但是，数学史却告诉我们，每一个数学成果都是点点滴滴累积而成的，常常要经过几十年乃至几百年的努力才能迈出有意义的几步。
如同竖式，翻读数学历史我们会发现，用现代的眼光看，那些曾经在历史上留下了痕迹的竖式都留有明显的缺陷，现代样式的计算竖式的形成不是一蹴而就的，而人类数学文明的发展尚且如此，我们为什么就不能容许学生在刚学写竖式的时候“丢三落四”呢？ 所以，懂得“怎么变成现在这样子”了，教师的教学无疑会更为从容和淡定。
在教学“用字母表示数”时，大家常用的一种典型的教法就是利用教师和学生间的年龄关系。教师问：“当某同学10岁时，老师多少岁？”学生答：“10+16=26岁。”教师再问：“当某同学15岁时，老师多少岁？”学生答：“15+16=31岁。”然后，教师问：“当某同学a 岁时，老师多少岁？”由此引出“用字母表示数”。
2007年，我读这样的案例时不禁琢磨，通过这样的学习，学生所理解的知识意义与客观的数学本质有多少距离？“用字母表示数”到底意味着什么？这样的问题如同一个“暗箱”，你不可能通过询问学生得到清晰的答案，只有从历史中去寻找。
对于“用字母表示数”，初等代数史上有两个经典时刻。
一个经典时刻是公元3世纪，古希腊的丢番图在其著作《算术》中首次用字母表示数，他用音节第一个字母的缩写来表示未知量。未知量不同，音节不同，表示未知量的缩写字母不同，列出的方程也就不同，解方程的方法当然也不同。因而，丢番图解一个方程用一种方法，全凭高度的技巧。有人说：研究了丢番图一百个方程的解法后，还是不知道怎样去解第一百零一个方程。
第二个经典时刻是16世纪，法国数学家韦达实现了历史性的突破，他不仅用固定的几个字母表示未知数，而且用某几个字母表示已知数，因而方程有了更一般的形式，解法也就有了更通用的办法，开创了符号代数的时代。
把两个历史时刻联系起来看，学习“用字母表示数”最重要的一点是体会用字母去概括已知量。由此看来，教学中要解读教育形态的数学，要注意从数学史中去寻找教学智慧。一个知识产生、完善过程中的磕磕碰碰，虽然对于知识本身来说没有意义，但对于学习者来说，却是一条产生深度理解的路径。
1怎么化用数学史？
——以“用字母表示数”的教学为例
以“用字母表示数”的教学为例，我曾听过一些老师是这样授课的：
老师用多媒体出示了“你知道吗”：
人们认识用字母表示数的过程是很漫长的。早在3800年前，古埃及人用“堆”表示特定的数。公元4世纪前后，古希腊学者丢番图开始用希腊字母表示数和一些运算，成为用字母表示数的先驱。这之后又经历了1200年，16世纪的法国数学家韦达才有意识地、有系统地用字母表示数，因此，他被尊称为现代代数学之父。
环视课堂，孩子们眼神空洞、茫然，显然这段文字没有触动他们的情和知。一些老师特意在常规的教学设计中加一点数学史的知识，介绍一些数学概念产生的背景材料，如果有可能，还特别津津乐道于我们的祖先比其他民族早了多少年提出了这个数学知识，借以给课增加些文化色彩。但多数情况下，孩子们实际上并不理解数学史所表示的意义。
现在的数学课堂是不是都必须戴上一顶数学史的帽子？数学史是不是只能以这样的形式走进课堂？在对此现象拷问的基础上，我们重构了“用字母表示数”的教学。
导入
1.通过CCTV 和其完整说法（China central television）的比较，引导学生体会生活中的字母运用和数学中一些单位的字母表示，都是完整说法的缩写。（板书：缩写）
2.引导学生思考“2，4，6，8，X，12，14”中，x表示什么样的数？让学生领悟以前的学习中，字母更多地表示特定的未知数。（板书：特定未知数）
体验
屏幕上出示三根小棒搭成的三角形，要求学生写算式表示摆2个、3个、4个三角形需要几根小棒？
师：好，下面我们来个小比赛，从摆10个三角形，也用这样的算式来表示摆三角形用的小棒根数，比一比谁写得多！预——备，开始。
（学生纷纷动笔疾书，在交流中，学生总结了这些算式的特点。）
师：既然这些算式写不完，那你们能不能用一道算式，把你们已经写的和还没有写的算式都包括进来吗？
生1：n×3。
生2：x×3。
生3：a×3。
师：看来大家意见都比较一致，就是用字母表示。那行，老师就和刚才那位同学一样写成“（a×3）”（课件出示）。不过都用字母表示数了，为什么不把这里的“3”也用字母表示呢？
生：三角形都有3根小棒是不可能改变的。
师：很好！可见，用字母表示数不是简单地用字母替代数，而是把一直变化的量用字母表示，而不变的量照写。
师：孩子们，刚才我们写的这些算式（手指着屏幕上“（2×3）”、“（3×3）”等算式），每一条算式都表示摆三角形的一种情况，那现在的“（a×3）”呢？
生1：各种各样的情况。
生2：所有的情况。
师：也就是说，这里的字母表面上看只是一个字母，但它是个有魔力的字母，它可以代表是——
生：（齐声）无数个数。
反思
师：孩子们，我们又用字母表示数了，回想一下刚才我们所经历的过程，你觉得它还是这些意思吗？（手指板书“缩写 未知数 特定”）
生：不是。
师：那有了什么发展？
学生稍稍思考后，举起了小手。
生：特定。
师：那现在是什么意思了？
生1：不是特定的，不定了。
生2：自由了。
生3：是变化的。
生4：现在表示许多个数了。
师：对，差不多的意思。（在“特定”后面板书：→变化）那在这里，真的就可以随心所欲地变，没有一点范围吗？
学生凝神思考。
师：这里的a表示三角形的个数，比如说摆1.2个三角形，可以吗？
生：不可以。
师：老师举的例子给你有什么启示？
生：说明a不能是小数、分数。
师：对，只能是什么数？
生：自然数。
师：那还只能表示未知数吗？（手指板书“未知数”）
生：不是，是已知数了。（在“未知数”后面板书：→已知数）
师：既然是已知数，哪为什么还要用字母表示呢？
思考片刻后，五六个学生举起了手。
生1：因为这个数的范围很大，我们不确定它到底是多少。
生2：因为它有无数个。
生3：因为它太多了，一个个地说，说不完。
师：正因为这样的数太多了，所以我们用一个字母把它们都——（学生异口同声地）概括进来。而且我们约定，用26个字母中的前几个字母表示已知数，最后几个字母，例如x、y、z表示未知数。
……
运用
师：下面一个练习是“编故事”。故事的主角是“a×4”。老师先作个示范。（掂掂学生的数学书）如果a表示一本数学书的重量，那么a×4就是？
生：（异口同声）4本数学书的重量。
师：而且是4本同样的数学书的重量。很容易吧？下面，哪个同学来编？
学生们用a代表各种数量，说了“a×4”的意思。
师：大家把“a×4”讲得这样地丰富多彩，老师讲个这方面的历史故事。在历史上，数量和数量之间的关系，我们人类最初是用文字表达的（课件出示：每个重量×4，每个价钱×4，每班人数×4，其中“重”、“价”、“人”用红色标出）。
师：用文字来表达，显然比较烦琐。因而，古希腊数学家丢番图想到了用“缩写”的方法来表示，仿照丢番图的方法，这里的“每个重量×4”，取“重”发音的第一个字母，表示成“z×4”。那么“每个价钱×4” 和“每班人数×4”怎样用缩写的方法表示？
生：j×4和r×4。
师：丢番图用字母的缩写来表示数量间的关系，虽然简洁了，但每个字母都表示特定的意思，不能把z×4和j×4混同起来，所以，并没有给数学家研究数学带来更多地简便。到16世纪，法国数学家韦达想，如果把各种情境中字母表示的特定意思都去掉的话，不都是一个数和4相乘吗？（课件中“z×4”、“j×4”、“r×4”依次变为“□×4”）所以，韦达就表示成了a×4，这里的a还是特定的意思吗？
生：（异口同声）不是！
师：对，字母“a”已经不表示任何具体的意义，和这里的小方块一样，只是一个符号而已（在“缩写”后面板书：→符号）。自从韦达把字母当作符号来表示数之后，许多数学难题得到了解决，数学获得了飞速发展，韦达被称为现代代数学之父。故事的最后，老师想请大家猜猜，从丢番图用缩写的方法表示数，到韦达把字母当作符号来表示数，用了多少年？
生1：100年。
生2：很多年。
师：对，是很多年，整整1200年！
（学生情不自禁地发出了惊呼）
师：孩子们，一方面我们应该为历史上无数数学家百折不挠、呕心沥血献身于数学的精神而感动，另一方面也为我们自己用了40分钟就跨过了人类认识提升的1200年历史，表现出的巨大的学习潜能而----
生：骄傲！
师：当然，通过今天的学习，有些同学对“用字母表示数”可能还有些模糊，那也不要紧。你想想，在历史上数学家们都用了1200年，你才学了一节课，你急什么呢？！相信自己，通过后面的学习一定能融会贯通的。
……
同样的教学内容，为什么数学史既可能使教学充盈着创意，也可能与教学貌合神离？这恐怕主要是因为教师还没有确立“为教育而历史”的意识，而更多地只是关注自己的课堂是否穿上了时尚的“数学文化”的外衣。
如果停留于历史的考察，我们只能看到数学发展的史实：是谁在什么时候提出了什么数学知识。对于孩子们的数学学习来说，知道这些事实性的知识是有益的，但对于孩子们的数学理解来说，作用显然是极其有限的。而如果深入到学生数学学习的内部，保持着敏锐的“怎样促进儿童数学学习”的触角，我们就可以通过研读数学史，捕捉到其间隐藏着的丰富的教育基因。
例如：通过数学发展史可以提炼出孩子们的认知发展规律，通过数学家的困难可以预见和解释学生的学习困难，根据历史发展的顺序可以作为安排学习层次顺序的参考，利用历史背景知识可以用来激发学生的兴趣，历史上的弯路和挫折可以用来减少学生的学习焦虑，如此等等。
在更为一般的意义上，数学知识的背景史料、相关的生活常识，形、体的视觉美等东西，都可以作为数学文化的构成因素而进入课堂，但数学文化的核心是在数学产生、发展的历史进程中，逐步沉淀下来的数学思考、数学观念、数学品质等观念层面上的东西。如果我们仅仅运用史料、图案等可视文化因素，那课堂可能只是一场秀，嘈杂热闹中教育的本真意义何在？
文化性是数学的内在特性，我们不应该在数学本质之外去寻找文化的装饰，使得我们的课堂看上去更“文化”一些，而应该努力去把握和呈现数学知识的知性本质、数学思维的冷峻深刻、数学品质的求真至善。唯有此，数学教育才能走向更深入和厚实。
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