回归诊断中的观察值独立性问题

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“如何分析真实世界研究数据”系列（10）

本号在上一篇论文中，指出线性回归方法要求LINE的，其中I指的是独立性，要求因变量各观察值之间相互独立。独立性问题是回归分析重要的前提，无论是线性回归、logistic回归、还是COX回归均要求观察值相互独立（更多学习：开展回归分析，必须要了解回归诊断的原理与方法）

一般情况下，独立性问题可以基于主观判断即可，不需要特别复杂的方法来进行判断，当然线性回归有Dubin-watson检验，logistic和COX回归一般没有。

虽然独立性问题本质上对回归结果影响不大，但是统计学学习时很多人会独立性问题，因此现在专门举例进行解释。

所谓的独立性，不是指观察值是否独立，而是指残差是否独立

案例分析

分析一个班级同学的期末医学统计学成绩，探讨它的的影响因素。主要变量包括：医学统计学成绩、性别、“上个学期成绩等级”、“期末复习时间”四个。

观察值存在着聚集性

从一个班级的成绩总体来看，成绩显然存在着各团体内部相关性。

首先，女性成绩都很高、男性成绩都不高，因此女性个体成绩存在着相关性，男性个体成绩也有相关性，看起来成绩是不独立的。

同样，如果把这些同学根据“上个学期成绩等级”综合排名分为1-4等，我们很可能发现每个等级中的医学统计学成绩都很相似，显然同等级成绩存在着聚集性或者不独立。

但观察值不独立不代表残差不独立，需要进行残差分析来判断

构建模型，进行残差分析

模型一：

首先，我们建立一个不包括性别与“上个学期成绩等级”，只包括“期末复习时间”自变量的单因素线性回归方程，因变量是期末考试成绩

这一回归得到的残差如下，数据没有均衡地分布在0水平线上。它显然没法解决性别、“上个学期成绩等级”人群聚集性问题。

模型二：

现在再建一个回归模型，除“期末复习时间”变量之外，再纳入一个“性别”自变量，得到的新的残差图。结果是残差图表现变好，在值上下方分布相对均衡；

模型三：

现在在模型二基础上，建立第三个回归模型，除“期末复习时间”、性别、再纳入“上个学期成绩等级”。结果显示，残差分布更为均衡（虽然可能存在着方差不齐的情况）

总结

所以，独立性的问题，本质不是因变量这一观察值的事情，而是残差是否独立的问题。残差是否独立，本质原因是，缺乏合适的变量来解释因变量观察值相关性。

比如传染病发病，往往存在着 严重聚集性，观察个体是否发病往往明显相关，都是有传染源造成的。在这种情况下，很难有相应的方法来解释聚集性问题，因此，很多传染病的的回归分析（通常是logistic）是没法应用的。

独立性的条件，不仅是线性回归分析的要求，而且也是logistic回归、COX回归的要求。诸位在构建回归模型时要初步判断是否符合条件。

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