构造图形，巧证糖水不等式

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构造图形，巧证糖水不等式

该不等式一般被称为“糖水不等式”，证法众多，如作差法、作商法、分析法、综合法、反证法、增量法、 构造函数法、定比分点公式法等等，背景深刻，应用广泛，读者可参看拙著《不等式探秘》（湖南科学技术出版社，2015）．

《不等式探秘》封面

一般地，人的视觉和记忆对于图、表、符号更为敏感．因而有人说“有什么比用插图来展现一个个重要的数学知识点更好的主意呢？”，据此，本文尝试给出“糖水不等式”的三种构图证法，供教学参考．

图1

图2

图3

图4                                      图5

当谈到数学定理或命题的证明时，很多人常常为之色变，认为这只是一个枯燥的公式堆砌和深奥的数学推导过程．其实，这是一个让大家感到纠结的误解．因为数学证明中包含的美丽与精巧实在是一道亮丽的风景线，而这种亮丽甚至不需要用语言来描述就让我们为之震撼．

        Gardner曾说：“在很多情况下，沉闷的证明可以辅以几何模拟，而且这是如此简单、美丽以至于瞬间就可以看到定理的真相．”这些图片最终能够传递和表达那种强烈的数学的张力，使大家领略通过理解、通过思考后马上被震撼、被吸引、为美妙所折服的感受．

        张景中院士曾比喻说：把学数学比作吃核桃．核桃美味而富有营养，但要砸开才能吃到它 ．有些核桃，外壳与核仁紧密相依，如若咋不得法，砸开了也很难吃得到．因而，张院士“教育数学”的思想理念是：改造数学使之更适宜于教学和学习．

张景中院士 签名

 “糖水不等式”来源于生活，容易理解，其严谨的演绎证明方法也是汗牛充栋．若在平常的数学教学中有意识地涉及类似的“构图证明”，由学生自主探究、联想、发现，体会那种成功后恍然大悟的喜悦之情，我想，“冰冷的美丽”终会被学生和老师们所感动，慢慢地就融化为“火热的思考”了．

参考文献

[1]彭翕成，杨春波，程汉波．不等式探秘[M]．湖南科学技术出版社，2015.

[2]朱华伟，程汉波．函数与思想方法[M]．中国科学技术大学出版社，2015.

[3]（美）Roger．Nelsen 编，肖占魁，符稳联 译．数学写真集——无需语言的证明[M]．机械工业出版社，2014.

作者|广东广州 程汉波 

        河南郑州 杨春波

编辑|吉林长春 王云阁

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