一道预赛试题的八种证法

2013全国高中数学联赛江西省预赛第11题为：

 该三角不等式形式对称、简洁优美．考察学生三角恒等变形能力以及不等式放缩技巧等基本功．笔者对该不等式探究后发现，它不仅证法众多，而且内涵与外延丰富，是供竞赛学生提炼思想、方法与技巧的绝好素材．本文拟给出该不等式的多种证法供读者参考．

证法1

证法2

评注 从常见三角恒等式出发，一招制敌．积累常用结论，并善于联想和联系是提高解题能力的一大关键．正如波利亚在其著作《怎样解题》中多次强调“你以前见过它吗？”、“这里有一道题目和你的题目有关而且以前解过？”．

证法3

证法4

证法5

    评注 证法5中使用的“局部调整法”需首先对等号取得时极端情形进行猜测，才能明确调整的方向．而证法中使用的“广义局部调整法”具有更强的适用性与优越性．其实质就是固定该多元函数中的一个或多个变量，再对剩下的最后一个变量考虑函数单调性，最后求其最值予以解决．

证法6

评注 “作差比较法”的思路，“常值代换”的技巧，“和差化积”的思想方法．并结合非钝角三角形的角度特征进行有效“估计”．直接而简单地判别了差的符号，进行证得不等式，正可谓“大拙即巧，大愚即智”．

证法7

评注 “万能公式”代换是将三角问题转化为代数问题的一种重要途径．本解法正是巧妙运用这一途径，将相对较为陌生的三角不等式转化为条件代数不等式，并结合分析法一步步地证得该等价代数不等式．

证法8

    评注 “正弦定理”将三角不等式转化为几何不等式，然后联想其几何构造．证得直观、简洁．一张图，无需语言，即深刻而简洁地刻画出了丰富的内涵．正如Yu.I.Manin所说：一个好的证明让我们更聪明．

 一道好题，犹如一块璀璨的碧玉，折射出人类智慧的光辉；

多种解法，犹如一弯绚丽的彩虹，撑起一片湛蓝的天空．

“一题多解”的教学和实际训练，对活化学生知识结构及激发学生学习数学的兴趣至关重要．在我们的日常教学中应给予足够的重视！对于尖子生的培养更是如此！

此文发表于《数学教学》2016年12期

作者|广东广州朱华伟  程汉波

编辑|吉林长春王云阁

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