【从初中数学到高中数学】一道折叠问题的初高中解法

编者按：【从初中数学到高中数学】是本公众号的一个固定栏目。初高中属于两个不同的学段，两者之间虽有知识上的断层，但也并非不可逾越。从典型题目入手，分别给出同一题目的初中解法和高中解法，实打实地分析，真正将初中数学与高中数学衔接起来。

一道折叠问题的初高中解法

图1

这是一道折叠问题，分析发现：在动态折叠的过程中，始终有EG＝EA＝3，则点G在以E为圆心，3为半径的圆上.这里有动点G的轨迹，而所求“线段CG的取值范围”则是几何最值问题.折叠、轨迹、最值，这三者常在一起，体现了折叠问题的综合性.

图2

真的是这样吗？其实上面的解答大错特错！容易发现动点G的轨迹不是完整的圆，至少没有左半圆，“最大值8”取不到，那“最小值2”能取到吗？点G的真实轨迹又是什么？

这提醒我们：在处理轨迹问题时，一定要弄清楚轨迹具体是什么——是直线，还是线段？是完整的圆，还是半圆，又或是四分之一圆？

接下来我们作出具体判断，并计算CG的最小值.

如图3，当点F与点B重合时.

在Rt△ABE中，AE＝3，AB＝4，BE＝5，

则∠AEB≈53°，∠AEG≈106°，

而∠AEC＝180°－∠DEC≈180°－53°＝127°，故∠AEG＜∠AEC.

图3

有读者会问：此题数据特殊，可用角度估算，那如果不知道角度该怎么办呢？

设∠AEB＝∠GEB＝∠DEC＝α，需比较2α与180°－α的大小，即比较α与60°的大小关系，这可在Rt△ABE中用三角函数来判断.

好了，过了判断这一关，我们就转入具体计算：如图3，过点G作AD与BC的垂线，垂足分别为M，N.

注：线段MG的计算有多种途径——可借助△AEG用等面积法算，也可放在Rt△ADG中用等面积法算.

课堂上讲罢这个过程，学生大呼受不了！计算受不了！笔者心想：如果连这点计算都受不了，那高中的计算你又该如何面对？计算一直是学生的软肋，而计算却又是数学中一项很重要的能力，过硬的计算功底是学好高中数学的先决条件！这在【初数到高数】六个位置，五种结果中也有提及.

其实，CG的最小值用高中知识来解非常简单：

高中解法用到了诱导公式（必修4第一章），二倍角的正弦公式（必修4第三章）和余弦定理（必修5第一章），这些都是高中数学的基本内容.这样看来，也可改编出一道解三角形的试题给高中生做：

高中题目  在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝4，AD的中点为E，把∠A沿EB折叠，使点A落在点G处，则线段CG的长度为________.

这在高中只能算作一道基础题，但又真的很难说学生会做成什么样.亲爱的读者，您不妨在班里一试.

作者|河南郑州 杨春波 刘畅

 编辑|吉林长春 王云阁

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