【从初中数学到高中数学】2018初高中数学衔接——序言
2018初高中数学衔接
初中数学与高中数学在知识内容上存在一些空缺或者是衔接上的不当，这已是中学老师们人人皆知并习以为常的事．所以，在讲授高中新课（集合，函数等）之前，应当补充一些衔接知识，以使初三学生能顺利地过渡到高中数学的学习中来．笔者以为，不做任何衔接的教学行为是不负责任的．当然也有部分老师（顶着压力）做衔接，但衔接的内容多少有些盲目，讲了几节后为赶教学进度（发现比别的老师落下好多课呢）而又放弃或草草了事，似乎只是为了衔接而衔接．对于中学老师，一提到初高中衔接，大概就是“因式分解”“解一元二次不等式”“解分式不等式”，却很少去思考：还有哪些衔接内容？为什么要衔接这些？初高中数学到底存在哪些差异？新高一学生在数学学习上最欠缺什么？……
总体来讲，初中内容浅、少、易，贴近生活，简单、形象、具体；高中内容深、多、难，有些稍远离生活，复杂、深奥、抽象．从初中到高中，教材在逻辑性、抽象性、概括性以及空间想象等方面对学生的要求都大大提高．
具体地讲，“因式分解”“解一元二次不等式、分式不等式”需要衔接：一方面，集合一章中有大量的不等式的解集问题，涉及到不等式的求解；其次，求函数的（自然）定义域就是求使解析式有意义的x的取值范围，最终也转化为不等式（组）的求解；而求解不等式又往往需要因式分解．这样一想（理顺）就自然了．必要性弄清楚，讲解时就坦荡了（不必顾虑耽误课时，磨刀不误砍柴工，这是为后面的学习打基础呢）．
这里所说的衔接主要指初中数学与高中数学必修1的衔接，以帮助初三学生尽快适应高中数学学习，找到适合自己的学习方法，初步形成应对高中数学学习的能力为目的．至于初中数学与必修2（立体几何，解析几何）、必修4（三角函数，向量）的衔接自然也是存在的，但可暂时缓一缓．只要一开始衔接好了，后面的衔接多数可以自我应对，没必要再集中处理，用到时现场解决即可．
需要衔接的内容还有函数（这对绝大多数新高一学生来说是道坎儿）：高中所讲函数十分抽象（用集合与对应的语言所描述），学生还没完全弄明白符号f（x）的含义，函数这块各种各样的新名词、新问题、新方法就劈头盖脸地袭来——求定义域、求解析式、求值域、分段函数、复合函数、抽象函数、单调性、最大（小）值、奇偶性、换元法、分离常数法、赋值法……，让你（高一新生）猝不及防，无力招架，结局只能是——高中数学太难，我太笨，学不会！于是，亦有必要在衔接部分通过一些简单函数（如y=|x|，y=1/x等）让学生在复习初中所学知识的过程中提前感知高中所关注和研究的函数问题．
另外，二次函数也是个“难题”．初中数学里，二次函数是重点内容，是（河南省）中考的压轴题，是热点；高中数学里，二次函数是基础内容，相关知识要求熟练掌握．这本没有什么毛病，但问题在于初高中数学对二次函数的着力点不同：中考不要求记忆顶点坐标公式，不要求掌握两根式（解析式的一种形式），不常求解二次函数在给定范围上的最值问题（绝不是重点），殃及的还有一元二次方程的韦达定理（不要求记忆）……而这些在高中老师眼里统统都是常识，必须熟练，熟练，再熟练！二次函数虽是中考压轴题，但也只是一个载体（仅提供点的坐标关系），在此基础上讨论几何图形的相关问题，最终还是几何，二次函数也就是个空壳儿．
突然想起了一个笑话——数学中的“两不讲”．初中老师说：“这个知识点，到高中老师会讲，我们就不讲了”；高中老师说：“这个知识点，你们初中老师讲过的，我们就不讲了”．笑话归笑话，却真实反映了初高中数学存在的断层．
近几年，全国多数省份将面临新一轮的课程改革，教材也推翻重来，有较大变动．史宁中教授在谈到十年课改的突出问题时列出的第四点就是“初高中内容不衔接”，应对之策是新教材必修1中加入了“常用逻辑用语”“相等关系与不等关系”“二次函数与一元二次方程、不等式”（网传目录）等衔接内容，但显然力度不够．
以上种种，促使笔者决心自主编写一本初高中数学衔接的教案，初步设想如下：以数学思想（转化与化归，函数与方程，分类与讨论，数形结合）引领衔接内容的展开，重点内容（如十字相乘法分解因式，一元二次不等式的解法，二次函数等）精讲，讲透，多练；拓展内容（如解高次方程、高次不等式、含参不等式等）一定要把握好度，让学生留下印象，点到为止．衔接内容重在渗透思想与方法，切忌贪多求快，一下子塞给学生很多结论（毕竟还是衔接，而不是机械的知识前移；衔接可以为后续内容助力分压，但也无法承载太多的内容与压力）．具体目录见下表
一级目录 | 二级目录 | 重要程度 | 主要内容与意图 | 思想方法 |
1.数与式 |
1.1代数变形与求值 |
☆ 复习过渡 | 梳理常见变形公式．这是代数学习的基础内容，是高中学习方程、不等式、函数等数学知识的基础，与分数指数幂一节相衔接 |
转化与化归 |
1.2分母有理化与分子有理化 |
选讲 | 算作代数变形的一部分．分母有理化是复习初中所学，分子有理化是适度拓展，为后续单调性的证明埋下伏笔 | ||
1.3因式分解 |
☆☆☆ 重点 | 着重训练十字相乘法，为求解一元二次不等式打牢基础 | ||
1.4解高次方程 |
选讲 | 作为因式分解的巩固练习．可先猜根再分解，亦可直接大除法 | ||
2.常见不等式的解法 |
2.1一元二次不等式的解法 |
☆☆☆ 重点 | 十字相乘法，配方法，求根公式法都要讲解，各有特点，为后续集合化简，求函数的定义域打基础 |
函数与方程 转化与化归 分类讨论 数形结合 |
2.2分式不等式的解法 |
☆☆ | 分类讨论法，等价转化法都要讲，交由学生自主评价 |
分类讨论 转化与化归 | |
2.3高次不等式的解法 | 选讲 | 穿针引线法要讲清楚原理 | 数形结合 转化与化归 | |
2.4含参不等式的解法 |
选讲 | 只涉及最简单的例子，巩固分类讨论思想 |
分类讨论 | |
3.几类简单函数的图象 |
3.1绝对值型函数 |
☆ 复习过渡 | 以函数y=|x|串联分段函数，图象平移，解绝对值方程、不等式等内容 |
数形结合 |
3.2分式型函数 |
☆☆☆ 重点 | 讲分离常数法，图象平移，回过头来用图象解分式不等式 |
数形结合 | |
3.3取整函数 |
选讲 | 高考鲜有涉及，却是训练巩固数形结合思想的绝佳素材 |
数形结合 | |
4.二次函数 |
4.1基础知识点，公式 |
☆☆☆ 重点 | 初中不要求记忆的相关知识点与公式 |
函数与方程 |
4.2配方法 | ☆☆☆ 重点 | 算作代数变形的一部分 | ||
4.3给定范围求最值 |
☆☆☆ 重点 | 为利用单调性求函数值域埋下伏笔 |
数形结合 | |
4.4动轴定区间，定轴动区间问题 | 选讲 | 也可放在单调性之后讲 | 数形结合 分类讨论 | |
4.5简单的恒成立与存在成立问题 | 选讲 | 也可放在函数综合问题中讲 |
一些老师看了这个目录后坦言：新学期时间紧，任务重，哪有那么多的时间衔接？按笔者的设计，除去选讲内容，仍需6-7个课时，约一周时间．目前的教学环境下谁敢花一周时间只讲初高中衔接呢？进度就在那里，像一只无形的大手样约束着你，还有月考范围，期中考试范围……这些都是（无奈的）实情．也有部分老师认为集中讲解不如在正常课程的安排下逐步渗透的好，这属于不同教学方式的比较，我们自当另论．
对于初高中衔接，学校里若要集中讲解，必须各校区、全年级统一进行（这需要领导的魄力），否则只能是个别（负责任，有想法的）老师结合自己所教班级情况的个人行为．不管哪种形式，做了总比不做的好．接下来的正文里，笔者将尽可能详细地阐释想法，希望能引发你的讨论与共鸣；将尽可能多地提供例题和练习，希望你能“择优录取”，进行再加工与整合．接下来的正文像是论文，但又会夹杂诸多不成熟的个人观点，仅供参考；笔者更愿意它是一份教案，一份详案，让每一位想上并且有条件上初高中衔接的数学老师直接“拿来主义”．愿笔者梦想成真！
作者：河南郑州 杨春波
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