一类以“拐点”为背景的函数试题解法及思考

作者简介：李红春，湖北黄陂人，中学高级教师,中国教师发展网新高考研究院特聘研究专家，武汉市高中命题库核心成员,《中学数学》（高中版）特约编委．黄鹤英才卢琼名师工作室成员，“全国数学联赛优秀教练员‘’、“武汉市优秀青年教师”、“武汉市优秀备课组长”,“武汉市优秀主讲专家”，黄陂区学科带头人，近5年在《数学通讯》等国家级、省级教育教学期刊上发表论文200余篇.

函数是高中数学的核心内容，以高等数学知识为背景的函数题，因其背景公平，能考察学生临场应变能力，和后继学习的能力，备受命题者的青睐．笔者通过研究发现，以高等数学中的“拐点”知识为背景的试题正悄然升温，值得关注．

 1、“拐点”的概念

    拐点，又称“反曲点”，是函数图像凸凹的分界点，是函数的一阶导函数单调性发生改变的点，直观的说，就是使切线穿越曲线的点。对于可导的函数f(x)而言，若其在拐点处有二阶导数，则二阶导数为零，且二阶导数在拐点附近两侧异号． 比如：顺着x轴的正方向看，在x=0附近，f(x)=x³图像从上凸变为下凸，函数f(x)=sinx的图像从下凸变为上凸，所以0是它们的拐点。有些函数可能没有拐点，如二次函数，有些函数只有一个拐点如f(x)=x³，而有些可能有多个，如f(x)=sinx．

2、应用

考点1：拐点处的切线“穿越”曲线

本质上讲，极值点偏移刻画的是函数图像的“轴对称”形态，而拐点偏移刻画的是函数图像的“中心对称”形态。从近年来，“极值点偏移”问题已经连续多次出现在高考试卷中，如2010年天津卷、2011年辽宁卷、2013年辽宁卷、2016年全国乙卷等，高考命题讲究传承与创新，所以笔者认为：“拐点偏移”问题极有可能成为下一轮高考命题的新热点，值得关注！

转载自：高中数学之窗

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