融入三角函数的导数综合问题探究追寻数学探究的快乐

尤伟峰，中学数学高级教师，原临川一中零班班主任，江西省骨干教师，抚州市优秀教师，中学数学奥林匹克金牌教练员。从2008年至2016年6月，一直在临川一中任教零班数学，共培养出25名清华北大学生（含2010年全省理科状元徐师昌、2016年全省理科状元计逸雄和2017年南昌市区状元黄翔），特别是2016年所带班级高考成绩尤为突出：其中全省前十名中有4人，有8人录取清华、北大，有17人上清华北大分数线。从2009年开始辅导数学竞赛，参加全国数学高中联赛的学生中累计有14人获省一等奖，38人获省二等奖，45人获省三等奖。参加抚州市优质课比赛曾获市一等奖，所撰写的论文有10余篇发表在《中学数学研究》、《中学生数理化》等学术报刊上，参与编写的论著有《直击高考》、《完美课堂》、《点拨》等。

引言：

一．谈谈我对数学及数学教学的理解：

①在与学生一起成长的过程中，感觉数学教学的过程就是一场思维的旅行，目的地虽然重要，但我觉得更重要的是学会欣赏沿途的风景，教会学生欣赏数学，欣赏数学中的美。

②数学就是玩概念，玩变形，玩推理。

③玩好题包含三个层次：把题玩好，玩好的题，让题好玩。

（一）把题玩好：善选题，好做题，能编题，会品题。

（二）玩好的题：简洁抽象，启迪思维，值得玩味。

（三）让题好玩：数学教师的追求。

④数学教学不是讲课，而是组织学生进行高效的学习。

二．谈谈我对函数的理解

导数是一种工具：

形：几何意义(切线的斜率)         数：平均变化率的极限

三.回顾利用导数可以研究的问题. 

（1）研究函数的极值、最值问题；

（2）研究函数的切线问题（切线概念的理解---切线的求法----切线放缩）；

（3）研究含参函数的单调性；

（4）研究不等式的恒成立、能成立（存在性）、恰成立问题（含一元和多元函数问题）；

四．高观点下的导数问题处理策略. 

        导数是高中数学与大学数学的一个连接点，它为初等数学研究函数提供了有力的工具，同时也是进一步学习微积分的基础，从高观点下解决导数问题，可以更加深入本质，清楚问题的来龙去脉。

（1）用极限思想解决问题

在现行教材中没有给出极限的定义（只是在导数的定义中使用了极限符号），但在教材中从多方位、多角度渗透了极限思想：在研究双曲线的渐近线、求 2 的近似值、二分法求方程的近似解、幂指对函数增长的快慢、介绍无理指数幂的意义以及在统计中研究密度曲线都

渗透了极限思想。在新课标及教材中均已给出极限定义。

（2）用函数的凹凸性解决问题

（3）用洛必达法则求极限后解决问题

高中数学人教 A 版选修 2-2 第一章用大量的篇幅介绍了导数的实际背景以后，抽象出来导数的概念的形式化定义：

这不仅说明“导数”是一种“特殊的极限”，而且还可以反向使用：为求某种特殊的极限也可以利用与之有关函数的导数给出。

（4）用麦克劳林公式解决问题

（5）用函数的级数知识解决问题

（6）用拉格朗日中值定理解决问题

（7）用定积分知识解决问题

五．今天重点研究融入三角函数的导数综合问题. 

※关键词：三角函数 导数 探究

解后反思：本题的解法是“先必要后充分”，这也是求函数问题中参数范围的常见、有效的解法. 在证明充分性中也可以考虑以下思路：

这正是 2008 全国Ⅱ理 22 题设计源头

※探究的背景：

此不等式容易构造“差函数”用导数证明，也能基于三角函数线构造面积方法得以证明. 

※探究问题设计：

源头

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