三角函数的自变量为何要使用弧度制？

     转自 乐学数韵

 小编按：前日在大罕的揽数习文微信群，有教师提出了如下疑惑：为何不用角度为自变量定义三角函数。这个问题在群内展开热烈地讨论，我也参与了讨论。我说：这个问题教材已经讲得很清楚了，建议大家认真阅读下教材，以角为自变量可以通过弧度数实现与实数一一对应，自然符合函数的定义呀。（如图是人教版必修4教材P30-31页内容）

下面是大罕先生的新浪微博的博文。（已经得到大罕的授权发布）

（引用地址：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_4aeef05d010320ku.html）

【提问】

      以角度为自变量可以建立三角函数吗？有人说不行，因为以角度为元素的集合不是数集。又有人说，角度带有单位，应该是常量，不是实数。请教王老师，该如何解释？ 

      【回复】

      所谓角度，一般指用度分秒制表示角的大小。

      1°表示一个大小是周角的360分之一的角，当然不是实数。

      但是，把1°中的数值1单独抽出来说，这个1是实数。

      任意给定一个角α（正角、负角或零角），总可以用度分秒制的度数表示它的大小，这个α角的大小就是n度，再把其中的n单独抽出来看，n是一个实数（这个过程实际上与用弧度制表示角时把弧度二字省略是一样的）。反之，任意给定一个实数n，我们总可以找到一个角α使其度数为n。于是角n的集合与实数集R建立了一一对应的关系。

      因此，我们能以角度n为自变量建立正弦函数等三角函数。

      必须即刻指出的是，以角度为自变量的函数，它给我们带来的麻烦不仅是难以胜数而且是无处不在的，而弧度制处处显示它的优越性。

      首先是换算。度分秒制里的数，并用着十进制和六十进制。例如角α＝136°47′21"，其中136、47、21都是十进制，而度、分、秒之间是六十进制。于是，为了找出与角α对应的实数n，通常是比较麻烦的。

      其次是运算。例如弧度制下π/3+1=(π+3)/3，畅通无阻。而60°+1怎么加？难道是60+1＝61（度）吗？多么尴尬！

      更重要的是运用。比如，弧长公式用弧度制是l=αr，而角度制则是l=nπr/180，麻烦不少.

      又如求导公式，在弧度制下的求导公式，如用角度制，则统统要改写，比如自然对数的导数，在弧度制下非常漂亮，用角度制呢，则自找麻烦！

      总之，用角度制非不行也，乃不便也，故不必也。

     【PS】

      ️有人说“其实角度制的数字是带量纲的，弧度制的数字是不带量纲的，弧度制下的三角函数问题已经抽象为纯粹的数学问题，有更为广泛的应用。”

      我的看法是，角度通常认为它是无量纲的量(与长度不同)。如果硬是说它有量纲，那么它量纲为1。量纲说到底是物理上的概念。其理论还有点复杂。不必深究。何况回答上述问题，完全不必扯出量纲来。

      ️有人说“度分秒制表示的角是有理数，不能与实数集一一对应。而弧度制能，所以用弧度制。”

      我的看法是：从理论上讲，度数为无理数的角是存在的，如同弧度制里有无理数的角一样，其大小可用有理数去逼近。例如根3度的角，虽然我们不能精确地画出来，可是它是客观存在的。可见，这个不能成为三角函数用弧度制的角作为自变量的理由。

      ️有人说“这个问题教材已经讲得很清楚了，建议大家认真阅读下教材，以角为自变量可以通过弧度数与实数一一对应，自然符合函数的定义呀。” 

      我的回答是：你说的教材讲清楚了，是讲为什么可以用弧底制定义三角函数，而教材中没讲为什么不用角度制去定义三角函数。

      再者，教材里是把该讲的问题讲清楚了的，却不可能包罗万象，把一切可能疑问的问题都讲清楚。比如，为什么不用角度制去定义三角函数。第一，教材不必要讲（因为是学生用的教材），也不好讲（涉及更多东西）。这些，就是我们教师教研时可以讨论的问题。

      ️有人问“函数作图，对X轴与y轴单位是要求一致吗？角度制下能画出三角函数的图像吗？”

      我的回答是：函数图像要求横轴和纵轴的单位必须一致。否则会使得图像“失真”。但是，作为实际应用题的函数的图像，横轴与纵轴的单位允许不一致，以需要与可能为准。

      另外，在角度制下，三角函数的图像是可以画出的。不过，要事先作种种的约定。这无疑是件令人生厌的事情。比如说，表示1度的实数1，在横轴上画一个单位长，90度的正弦值等于1，这个1在纵轴上同样画一个单位长，那么，这样画出来的“正弦波”相当地扁平，比起弧度制下的正弦波来它丑陋不堪，让人难以接受。不仅如此，如果作其它的约定，也可以画出图像来。从而引起无谓的争论。因此，从画图这一点来说，也是人们摒弃角度制而坚定不移采用弧度制来定义三角函数的理由之一。

      ️又有网友这样说：“上述这个问题，似在嘴边，而几乎没有想到。明白了这个道理，继续学习三角，积极性提高了。”笔者完全赞同这个说法。

      2018-11-27

注：本文已收录到《大罕数学教学随笔》书稿中。

以下内容来源于百度：

起源

公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了。

三角学中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。

我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。印度数学家不同，他们把半弦（AC）与全弦所对弧的一半（AD）相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。

印度人称连结弧（AB）的两端的弦（AB）为”吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；称AB的一半（AC）为”阿尔哈吉瓦”。后来”吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为”弯曲”、”凹处”，阿拉伯语是 ”dschaib”。十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了”sinus”。 ^[1] 

古希腊历史

早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯。他按照古巴比伦人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的弧度制不同）。对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。梅涅劳斯在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》（SyntaxisMathematica）中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。

古希腊文化传播到古印度后，古印度人对三角术进行了进一步的研究。公元5世纪末的数学家阿耶波多提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦，这个做法被后来的古印度数学家使用，和现代的正弦定义一致了。阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度（3.75°）的三角函数值表。然而古印度的数学与当时的中国一样，停留在计算方面，缺乏系统的定义和演绎的证明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定义，但他们的三角学是直接继承于古希腊。阿拉伯天文学家引入了正切和余切、正割和余割的概念，并计算了间隔10分（10′）的正弦和正切数值表。到了公元14世纪，阿拉伯人将三角计算重新以算术方式代数化（古希腊人采用的是建立在几何上的推导方式）的努力为后来三角学从天文学中独立出来，成为了有更广泛应用的学科奠定了基础。

阿拉伯历史

进入15世纪后，阿拉伯数学文化开始传入欧洲。随着欧洲商业的兴盛，航行、历法测定和地理测绘中出现了对三角学的需求。在翻译阿拉伯数学著作的同时，欧洲数学家开始制作更详细精确的三角函数值表。哥白尼的学生乔治·约阿希姆·瑞提克斯制作了间隔10秒（10″）的正弦表，有9位精确值。瑞提克斯还改变了正弦的定义，原来称弧对应的弦长是正弦，瑞提克斯则将角度对应的弦长称为正弦。16世纪后，数学家开始将古希腊有关球面三角的结果和定理转化为平面三角定理。弗朗索瓦·韦达给出了托勒密的不少结果对应的平面三角形式。他还尝试计算了多倍角正弦的表达方式。

18世纪开始，随着解析几何等分析学工具的引进，数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示。Collins将牛顿的结果告诉了詹姆斯·格列高里，后者进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。莱布尼兹在1673年左右也独立得到了这一结果。欧拉的《无穷小量分析引论》（Introductio in Analysin Infinitorum，1748年）对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。

弦表的发明

根据认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，A’C’，A’’C’’…之间的距离。然而，第一张弦表制作者希腊文学家希帕克（Hipparchus，约前180~前125）不是这样作，他采用的是在同一个固定的圆内，去计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长。这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处。希帕克的原著早已失传，我们所知关于希帕克在三角学上的成就，是从公元二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗著《天文集》中得到的。虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。

据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的60进位法。把圆周360等分，把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份，每一小份又等分为60份，这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。很久以后，罗马人把它们分别取名为”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”；后来，这两个名字演变为”minute”和”second”，成为角和时间的度量上”分”和”秒”这两个单位得起源。

 建立了半径与圆周的度量单位以后，希帕克和托勒密先着手计算一些特殊圆弧所对应的弦长。比如 60°弧（1/6圆周长）所对的弦长，正好是内接正六边形的边长，它与半径相等，因此得出60°弧对应的弦值是60个半径单位（半径长的1/60为一个单位）；用同样的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所对应的弦值。有了这些弧所对应的弦值，接着就利用所称的”托勒密定理”，来推算两条已知所对弦长的弧的”和”与”差”所对的弦长，以及由一条弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。正是基于这样一种几何上的推算。他们终于造出了世界上第一张弦表。

传入中国

三角学输入中国，开始于明崇祯4年（1631年），这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。在《大测》中，首先将sine译为”正半弦”，简称”正弦”，这就成了“正弦”一词的由来。 ^[2] 

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