近三年全国卷高考导数8类问题的命题研究与应对策略

一、地位与作用

      “导数”在高中数学教材中处于一种特殊地位，它与高等数学衔接紧密，是进一步学习高等数学的基础。

      导数不仅具有明显的几何意义，同时又是一种很重要的代数运算工具，是高中数学知识的一个重要的交汇点。

       高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数、不等式、数列、解析几何中的应用，在高考中常以“压轴题”的形式出现。

二、“考试说明”解读

       通过研读考试说明，“导数的几何意义、用导数直接求极值、最值和判断单调性”是复习备考的重点内容，也一直是高考常考不衰的热点。但导数作为“压轴题”出现，命题变换空间会较大，主要体现在用导数研究函数、方程与不等式等的上面，与数学方法结合紧密，特别是会借助导数对考生的函数、方程与不等式思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化的数学思想方法进行一定程度的考查。

       因此，作为大题的导数题其难度应会保持在中档以上。通常，第一问考查“导数的几何意义、用导数直接求极值、最值和判断单调性”等基本内容和方法；第二问以能力立意，突出考察考生运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力。

       所以，不论是文科还是理科，“导数及其应用”的复习一要夯实基础知识，不要好高骛远，即使是现在的二轮复习也要注重基础；二要重视解题中对数学思想方法的的提炼和运用，通过专题复习和分析研究高考真题，积累方法，做到举一反三、灵活运用。

八大题型浅析及应对策略

①切线问题的考查：

主要是已知切线方程或切线斜率求参数的值，这是中等或中等偏下的学生应该争取到的分数，是高考目标分数在120分以上的学生必须掌握的题型.做题时，要关注到以下三点：切点在切线上、切点在函数图像上、切线斜率是函数在切点处的导数.近几年文科理科均有对切线的考查，理科考查的难度稍大，但也属中等以下的难度，虽然2016年和2017年有所弱化，但作为导数的重要应用，二轮复习中我们也要强化训练，特别是中等生要把所有可能出现的与切线有关的问题熟练掌握，才能确保高考不丢分.

②含参数讨论单调性、求极值或最值：

这种题型对学生的分类讨论和理解分析能力要求比较高。2017年的两道导数题，如出一辙，同一个模板，对于中等生来讲并不简单，而且Ⅱ卷难度稍微大一点点。2016年导数大题的难度也是比较大的，尤其在问法上又不是特别明确。所以，在复习备考时我们应该对含参数讨论求极值、最值这样的知识点练习到位，争取在导数的第一问上拿到满分。

③直接讨论函数单调性：

2018年的导数题需要求最值，2016年导数题需要因式分解，也需要求最值，这样的问法，会让很多考生不容易看出是求最值的问题。所以，这种不含参数的导数题还是有一定难度的，训练时需要夯实基础，对导数解答题的“小河流水哗啦啦，遇到礁石就分叉的流水一条线”的解题思路要了如指掌。

流水一条线：写出定义域—求导得到导函数（直接看不出来则求二阶导数）-判断单调性-若无单调性则解导函数方程-看在导函数定义域下方程的根是否在给定的范围内（若不在，则讨论）-求极值最值。

④导数与函数的零点或方程根问题

这种题型主要考查利用导数来判断函数的零点或方程根的个数，或者依据函数的零点存在的情况求参数的值或取值范围.

判断函数零点个数的两种常用方法：

直接法：

直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图。函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题；

分离参数法：

分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间上的单调性，求出极值以及最值，画出草图．这时，函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题，只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可。

⑤导数与不等式恒成立问题

这种题型主要考查利用函数的单调性求函数最值的方法和根据不等式恒成立问题求参数的值或取值范围.

第(2)问利用转化思想、分类讨论思想求解：

要使f(x)≥0成立，只需f(x)min≥0即可，由(1)求出f(x)在a的不同取值范围内的最小值，进而求出a的取值范围.

用导数解不等式恒成立问题的两种方法

分离参数法:将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题—利用导数求该函数的最值—根据要求得所求范围.

函数法:将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题.

⑥导数与不等式的证明问题

第(2)问利用构造法、导数与函数的单调性、分类讨论求证：

先利用导数研究函数的单调性，再证明函数f(x)存在唯一极大值点，最后根据极值点处导数为零，证明不等式.

利用导数证明不等式的四个基本步骤:

作差或变形----构造差函数h(x)----利用导数研究h(x)的单调性或最值----根据单调性及最值，得到所证不等式

⑦多元变量问题和极值点偏移的问题

2018全国卷Ⅰ导数大题的第二问就是多元变量问题；2016全国卷导数大题的第二问是极值点偏移的问题。解答以上两种问题可以用“主元法”来解决。主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“主元”，将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题，其本质是消元法与函数方程思想的应用．

通过“分析法”，逐步消元，得到了“主元”，问题便迎刃而解了。

同理，对于2016全国卷Ⅰ导数大题的第二问-极值点偏移问题也可用“主元法”来解答。

“极值点偏移问题”也可以用对数不等式或构造一元差函数法解答，但这种做法给人有点模式化的感觉，而主元法才是破解极值点偏移问题的通法。

       总之，要想破解高考导数压轴题，教师和学生都需要在平日的练习中多总结，多积累，勤思考。

       而通过细致探究高考题，我们会发现：

       不论是分离参数法、最值法、消元法，还是函数法、主元法、分析法都是教材所体现出来的方法；

       不论是函数方程不等式思想、数形结合思想，还是分类讨论思想、转化的思想都是教材所蕴含的思想；

       不论是零点、极值，还是函数、最值等定义都是课本上的概念。

       精研教材，发掘教材中蕴含的思想方法，研究好通性通法才是攻克压轴题的根本所在。

       作为教师，要将那知识、方法和题型的“冰冷的美丽”化作学生“火热的思考”。