关于函数不得不澄清的若干问题

Original 杨春波解忧数学杂货店 2022-07-16

收录于合集 #函数导数专辑 23个

函数是当前中学代数最主要的内容之一，中学教学既要对函数作一般性讨论，又要讨论一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些具体的初等函数．中学教材虽对函数着墨甚多，中学教师也对函数研究甚广，但是关于函数，常常还是有一些认识上的盲点，笔者在这里提出来与大家共商，希望仁者见仁，智者见智．

问题一：函数的灵魂是什么

中学教材指出函数的三要素是定义域，对应法则，值域．那函数的灵魂是什么？定义域，解析式，还是图象？

其实，函数的灵魂是运动与变化，学习函数内容的首要任务就是要实现由静到动的转变，从常量到变量的飞跃．

方程研究的是静态的点，不等式研究的是动态的区间，而函数研究的则是动态的全部，即整个定义域．

若把函数问题搞清楚了，则与之相关的方程与不等式问题可利用数形结合的思想迎刃而解，这充分体现了函数、方程与不等式的紧密联系．

问题二：函数概念的分析与比较

函数的概念大抵有变量说、对应说、关系说三种．

变量说：如果某些变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一些变量的函数．(欧拉，1755)

分析：【优点】“变量说”建立在变量的基础上，描述和强调了函数最重要的特性——变化，其优点是形象、直观、自然，通俗易懂．任何人理解函数，建立函数关系，都是从观察两个变量之间的依赖关系入手的．因此“变量说”是最朴素、最根本的，对于初学者也最容易接受．【缺陷】这种描述性的定义没有准确表达函数的本质——对应关系，而且什么是变量，也并没有给出明确的定义．但“变量说”是一种朴素的思考，更加本原，也能体现事物的本质．

对应(或映射)说：我们假定Z是一个变量．如果对它的每一个值，都有未知量W的一个值与之对应，则称W是Z的函数．(黎曼，1851 )

分析：【优点】“对应说”突出了函数的本质——“对应”，普适性强，也更接近现代数学的集合论语言．【缺陷】“对应”仍然不是一个经过了严格界定的概念，还需要对对应关系作更清楚的刻画．

关系说：若X，Y是两个集合，X×Y的任何子集S称为它们之间的一种关系．如果关系F满足：对于每一个x∈X，都存在唯一的一个y，使得(x，y)∈F ，则称关系F是一个函数．（布尔巴基学派，1939）

分析：【优点】“关系说”完全解决了前两者语义模糊的问题，没有使用其他未经定义的日常语言，完全用集合论的语言叙述，是完全数学形式化的表述，便于更深入地理解函数本质，已广泛用于计算机科学中．【缺陷】正是由于“关系说”过于形式化，抽去了函数关系的生动直观——变量变化及相互依赖关系的特征，看不见对应关系的形式和规律(解析式)，对初学者来说不易理解和掌握．“关系说”虽不适合放在中学教材中，但中学教师应该掌握．

我们知道，高中教材中函数的定义是：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f (x)，x∈A ．

每一个、唯一是函数的核心成分吗？其实，“每一个”并不要紧，无非出现偏函数（部分函数）而已，偏函数总可以变成全函数．“唯一”与否也不是关键，取值唯一只是为了研究方便所进行的技术处理．如果不唯一，无非出现多值函数而已，而多值函数在复变函数论中非常重要．

在函数定义教学中，过分强调“每一个”、“唯一值”，其实无助于函数观念的建立，对日后应用和解题也没有帮助，因此不必费太多的心思．建议函数的定义中去掉“每一个”、“唯一值”，只需在定义之后另加上说明：“为了研究的方便，常常限制函数为单值全函数．”或者说“中学只研究单值全函数．”

问题三：什么是求函数的定义域

中学数学课本这样描述函数的定义域：…其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域．中学数学课本中有这样的问题：已知函数，求函数的定义域．课本上说，“如果只给出了解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合．”但这又和前面的定义有什么关系呢？

不管是从理论上讲，还是从应用上讲，函数定义域都应该是已知的，不是一个可以求解的事情．

那么，课本要求函数的定义域是什么意思？中学数学求函数定义域准确的含义是求自变量可以允许的最大范围．这个最大范围要受限一些其他因素，如函数解析式，这也是求解课本问题的基础．

另外，我们在研究具体函数如幂函数时，总是去讨论定义域最大时的情形．这当然是一种合理的想法，因为其他情形可以由此拓广得到相关结论．

但不能因此以为定义域就是自变量可以允许的最大范围，而只能说不会超过这个范围．否则，函数y=x(x>0)又该如何理解？其实，从本质上讲，定义域只不过就是讨论的范围，它影响问题的讨论，而不是反过来．课本对定义域与值域概念的处理不当，是造成教学病题泛滥的重要原因，也使得求值域成为学习难点．

大家试比较以下两题的异同：

问题四：单调区间要求极大吗

高中课本有这样的问题：根据图像说出函数的单调区间．

同学们给出这样几种答案，你认为对吗？

◎[-5，-2)， [-2，1)， [1，3)，[3，5]

◎[-5，-2]， [-2，1]， [1，3]，[3，5]

◎[-5， -3)，[-3， -2)， [-2，1]， [1，2)， [2，3)，[3，5]

为什么要引入单调区间的概念？不过是为了比较函数值的方便而已．与极大无关，当然单调区间越大越有利．大家试比较以下两题的异同：

问题五：为什么要求奇（偶）函数的定义域关于原点对称

函数奇偶性的当前定义为：

◎y=f(x)(x∈D)是奇函数à如果对于任意的x∈D，都有f(x)=-f(-x)

◎y=f(x)(x∈D)是偶函数à如果对于任意的x∈D，都有f(x)=f(-x)

定义中隐含了D要关于原点对称，因对任意的x，都有f(x)=f(-x)或-f(-x)，-x接受了f的作用，说明-x也∈D，故D关于原点对称．那么我们能不能不要求定义域关于原点对称呢？

下面给出函数奇偶性的一个可能的定义：

◎y=f(x)(x∈D)奇函数à如果对于任意的x∈D，若存在-x∈D，则f(x)=-f(-x)

◎y=f(x)(x∈D)偶函数à如果对于任意x∈D，若存在-x∈D，则f(x)=f(-x)

该定义并没有改变函数奇偶性的本质，还有概括性更广的优点．那教材为什么不采用该定义呢？

是因为原定义可以使奇（偶）函数的几何特性规整漂亮：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．话又说回来，如果定义域不对称，简单扩充就行了，其实也很方便．

问题六：分段函数与抽象函数是两种函数吗

分段函数怎样定义？有必要吗？由于课本没有明确给出分段函数的定义，只以例题的形式出现，不少学生对它认识肤浅模糊，以致解题时常常出错．我们通常认为分段函数是指“对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则的函数”．

这算定义吗？什么叫做“不同”的对应法则？说不清！其实，不过就是表示方式的问题．

过分点说，任何函数都可以是分段函数．形式并不能反应任何本质特征！

什么是抽象函数？一般指“不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征方程的函数”．而什么又是“特殊条件”和“特征方程”呢？

在我们的印象中无非就是f(x+y)=f(x)+f(y)，f(xy)=f(x)+f(y)，f(x+y)=f(x)f(y)诸类，这些抽象函数往往以相应的具体函数为背景和载体，依据其性质进行命题，在中学教辅界流行了近十几年！

每一届学生都要接受它们的洗礼，且很多学生和老师也停留在做题和讲题的层面上，从来不去想抽象函数和具体函数到底是什么关系．

我想一句话可以点破其本质：抽象函数其实就是函数方程！

当越来越多的学生和老师明白方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解在什么条件下就是正比例函数；方程f(xy)=f(x)+f(y)的解在什么条件下就是对数函数；方程f(x+y)=f(x)f(y)的解在什么条件下就是指数函数时，与此相关的试题也就完成了自己的使命，渐渐退出各级各类的考试试卷，相关的知识也慢慢地成为大家耳熟能详的东西了．

令人痛心的是，分段函数、抽象函数是我国数学教育界生造的两个概念，是应试教育的产物．这反应了教学对本质理解的缺失．

问题七：指数函数与对数函数的交点问题

受中学教材示例图形的影响，学生容易形成以下直观印象：

当a>1时，y=a^x和y=log_ax的图像都与直线y=x无交点，并且两者也不相交；

当0<a<1时，y=a^x和y=log_ax的图像都与直线y=x交于一点，并且两者也是只交于这一点．