圆锥曲线中的“中点”问题教学设计
作者：龙宇 佛山市顺德区罗定邦中学
一
教学内容分析
对于普通班级而言，圆锥曲线的复习往往止步于策略性，格式、规范方面。通过对高考题的梳理与研究，我们发现该章节的问题并非“遥不可及”，而是可以作为我们现阶段分数增长点的。本节课设计的主题是圆锥曲线中的“中点”问题。
高中阶段学习的圆锥曲线包括：圆、椭圆、双曲线、抛物线，“中点”问题指的是圆锥曲线中“弦”的中点。作为“中点”有几何与代数两种形态，我们在解题的过程中，可以分别从这两个角度入手。
二
学生学情分析
授课学生已经过高三的一轮复习，二轮复习也已接近尾声。学生对于圆锥曲线的基本性质有了一定的认识，关于格式与规范方面已经进行了充分的训练。班级的个别优生能够完成该章节的解答题，大部分学生仅仅止步于格式及策略性的分数。学生的困难在于条件的转化与计算化简的过程。
目前的学生迫于高考的压力，有较强的学习动力，但碍于运算能力和逻辑推理能力的不足，往往选择放弃后续的运算。本课题的选择是为了给学生建立信心，以高考题为主要的训练素材，通过总结模型来突破难点。
四
教学设计过程
一、利用“中点”的几何性质求解——点差法
在圆中，与弦中点有关的性质有很多，而在高中阶段常用的是“垂径定理”，转化为代数关系即为一组斜率关系。该结论可“完美地”平移至其他的圆锥曲线，且该类题型在高考中也是一个高频考点。关于“中点”的其他几何特性，本课题不做过多探讨，仅在课后的练习中有所涉及。第一环节：梳理高考题，总结题型特点。
点评
本题组分别以抛物线、椭圆及双曲线为例，推导该结论。三个结论的结构一样，其蕴含的几何性质也相同。本环节的设计意图是让学生熟悉“点差法”的运算流程，发现该题型的核心要素。在讲解过程中，强调推导的过程，程序化的知识更便于记忆与掌握。点差法是“设而不求”的一种解题思路。点差法的基础是以点A,B为基本量，通过代点及作差获得一个程序化的结论，而对于点A,B而言，并没有任何直接的结论可用。这也是学生的一个主要思维难点。
利用点差法也有一个弊端，该结论不包括斜率为0或斜率不存在的情况。对于上面三个练习的最终结论，当研究对象为圆时，该结论对应的几何关系即为圆的“垂径定理”。通过伸缩变化，即可直接将该结论推广至椭圆。所以我们可以把该结论统一地称之为圆锥曲线的“垂径定理”。
二、利用“中点”的代数性质求解
点评
预测学生的难点并不在于点差法的使用，而在于上述条件的转化，这也是此类问题的共有难点。当学生在转化过程中，思维受阻时，引导学生应用常规解法求解。即通过基本量，表达出所求式，转化为代数问题，通过代数运算获得结论，在进行解释。
通过本节课的训练，我们可以总结出解决含“中点”问题的一般解法，点差法的模式固定，运算量小。但对模型的要求较高，需要学生有较强的观察力。且需对题干的条件或结论进行适当的转化。当点差法失效或不能直接使用时，还可以通过常规解法求解。
点评
第1题是点差法的直接应用，在上面的高考题及习题中都没有设计到圆，在第2题中，笔者就以圆为背景进行设计，在圆中可通过构造直角三角形利用勾股定理求解。对于第3问，在考查中点的基础上涉及到面积的运算以及最值问题，该问题的难度较大。
五
总结与反思
复习到这个阶段，该如何寻找学生的分数增长点？经过一轮，二轮的复习，基础知识已经较为熟练，但也形成相对固定的思维定势。学生可能对某一类题会很熟练，而对某一类问题完全没有想法。比如本课题设计的“中点”问题，很多学生都知道“点差法”，但什么时候用，有没有限制等等还比较陌生。此时要教会学生归纳整理，将陌生的题型转化为熟悉的模型。
此阶段的复习要特别重视通性通法，避免技巧性特别强的答题技巧。让所有的学生都有分可拿，以此建立学生的做题信心。
转自 顺德数学家园
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