心智乐高04 - 很傻很天真的贝叶斯定理

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感谢大家对标题党 00 的宽容，这篇文章的完整标题应该是：很傻很天真 - 但是拥有迷妹万千 - 不黄很暴力 - 十分钟提高智商的贝叶斯定理。

上一篇心智乐高探讨了基本比率谬误，有盆友在留言中提到了贝叶斯。懵懂的 00 一时回答不出来，于是心智乐高第四篇，我们严肃正经地来八卦一下特别重要的贝叶斯定理。

等等，为什么我们要去了解一个数学定理……还是统计学定理？

在你点返回、骂辣鸡、愤而取关之前，再看几条对贝叶斯的安利：

• 一个看上去很傻很天真的定理，却在学术和生活中意外的很强大很好用

• 你看不见它，它却无处不在，几乎所有需要作出概率预测的地方，它都阴魂不散

• 是机器学习的核心方法之一

• 关键时刻可以令你智商上线，用来保命，或者挣得巨额财富

（啊，简直 POI 根妹即视感！)

贝叶斯在生活中真的有用嘛？别着急，00 先代表广大宅男/宅女提一个问题：

我发给女神/男神的微信，只有一半会收到回复，她/他是喜欢我还是讨厌我？我们有发展的可能吗……

然后我们来慢慢解答。

贝叶斯定理的由来

话说 18 世纪 70 年代，有个一个牧师叫 Thomas Bayes，为解决一个「逆向概率」问题写了一篇文章。尝试解答在没有太多可靠证据的情况下，怎样做出更符合数学逻辑的推测。

所谓「逆向概率」是相对「正向概率」而言。正向概率的问题很容易理解，如“假设袋子里面有 N 个白球，M 个黑球，你伸手进去摸一把，摸出黑球的概率是多大”。但是实际场景中，这个问题往往相反：“如果事先并不知道袋子里面黑白球的比例，而是闭着眼睛摸出一些球，观察这些取出来的球的颜色，我们可以对袋子里面黑白球的比例作出什么样的推测”。

贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。它建立在主观判断的基础上，也就是说，你可以不需要客观证据，先估计一个值，然后根据实际结果不断修正。

贝叶斯生前并没有发表他的文章，他的“朋友” Richard Price 在他死后去他的住处揩油，发现了这篇文章，并发表出来。

1812 年，法国人 Pierre Simona 将贝叶斯的理论进一步发展为条件概率，帮助人们在概率相关的决策过程中，通过新获得的观察结果来更正对概率的判断。

贝叶斯定理（Bayes’ theorem）告知我们如何利用新证据修改已有的看法。在事件 B 出现的前提下，事件 A 出现的概率，等于 A 和 B 都出现的概率，除以 B 出现的概率。用公式表示就是：

几个相关概念：

• 先验概率：在考虑观测数据前，能表达不确定量 p 的概率分布

• 后验概率：在考虑和给出相关证据或数据后所得到的条件概率

• 条件概率：事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率，表示为 P(A|B)

• 可能性函数/似然函数：一种关于统计模型中参数的函数，用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计

这就是贝叶斯定理的含义：我们先预估一个「先验概率」，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了「先验概率」，由此得到更接近事实的「后验概率」。

「AM I SICK？」贝叶斯定理的经典用法

假设，有一种叫做「叶贝死」的病，人群中得病概率是万分之一，即 0.0001。然后，有一种测试可以检测你是否患有「叶贝死」病，准确率为 99.9%。你做了一次测试，结果被告知得病了！

然后你的世界坍塌了，把这个不幸的消息告诉家人，开始准备遗嘱，甚至皈依了一个莫名其妙的宗教，好走完最后的日子……

这个时候，你的智商不知道被谁通知上线，让我们再找回检测报告，看看遗漏了些什么。

逃出生天之图解版

我们知道，每当 1 万人中会有 1 个人患病，这也意味着另外 9999 个人没病。

再来看看检测的准确率。如果真正患病的人去做检查，那么 99.9% 的概率会被诊断出来。如果实际上没有患病的人，会有 0.1% 的概率会被误诊断。于是这 1 万人中，9989 人相安无事，总共有 11 人被诊断为「叶贝死」，但只有 1 人真正患病。

所以，你虽然被告知患病，但实际上真正患病的概率是：1/11 ，约 9%。

逃出生天之公式版

把题目正经描述一下：

已知「叶贝死」的发病率是 0.0001，即 10000 人中会有1个人得病。现有一种测试可以检验患者是否得病，的准确率是 0.999，即在患者确实得病的情况下，它有 99.9% 的可能呈现阳性。它的误报率是 0.1%，即在没有得病的情况下，它有 0.1% 的可能呈现阳性。

现在张三的检验结果为阳性，请问他确实得病的可能性有多大？

用贝叶斯定理进行计算，步骤是这样的：

令 S 表示患病事件，N表示未患病事件，Y表示检验结果为阳性事件。

我们想要计算的是，在检验结果为阳性的条件下，张三确实「叶贝死」的概率：

从题目中找到公式右边的三个变量：

将表格中的值代入上面公式可得

结果为：9%

女/男神到底爱不爱我

正襟危坐这么久，终于可以回到正题胡说八道了。

我发给女神/男神的微信，只有一半会收到回复，她/他是喜欢我还是讨厌我？我们有发展的可能吗……

世界上不知道有多少痴汉，每天在痴痴地等着某个微信好友头像出现新消息提示。每发出一条消息，心中就有一群问题如羊驼般呼啸而过：

生活在这些问题中，实在是太可怕了。

自黑党的痴汉们，做痴汉也要做得有极客范。用贝叶斯定理来帮助我们 YY 吧！把羊驼们哄回羊圈，沐浴斋戒，摊开纸笔，写下通往未知和答案的神奇公式：

• P(喜欢一个人|回微信)：回复微信的情况下喜欢一个人的概率

• P(回微信|喜欢一个人)：喜欢一个人时会回复微信的概率

• P(喜欢一个人)：女/男神喜欢一个人的概率

• P(回微信)：女/男神正常情况下回复微信的概率

假设你通过八卦、潜伏、收买人心、纯粹臆想等花式调研，获得了以下情报：

那么计算的结果是：

结论1：女神真难追啊！

结论2：少年你想多了，这概率比 P2P 的投资回报率还低，还是乖乖回家提升自己吧！

结论3：愚蠢的人类，用微信就想推断女/男神的心？有本事约去旅行看看？

注：这部分纯属胡说八道，请勿当真！如路遇女/男神，还请勇敢壁咚

你贝叶斯了吗？

贝叶斯定理，其实体现了一种概率观，它利用过往信息来逐渐逼近事件发生概率，这是一种启发式的统计学思考方式。

具有贝叶斯思维的人，并不试图刻画事件本身，而只是从观察者信息补全的角度出发，先从以往经验中总结一个大致结果，再基于这个结果判断下次出现这类事件的概率，每次的结果会不断修正之前的判断，如此往复。这个过程反应的是我们知识状态的情况，而并非试图描述客观世界中事件发生的概率。

人类基因里可以给予我们的直觉只能指导我们如何觅食，躲避天敌，在危险的世界活下来。而一旦涉及到科学范畴，那些原始的直觉就不起作用了。想用更理性的思维分析周遭，就要摒弃固有的直觉，不断通过理解与学习建立新的直觉。

今天，你贝叶斯了吗？

参考资料

• Bayes’ theorem - Wikipedia

• 贝叶斯定理 - 维基百科，自由的百科全书

• 先验概率 - 维基百科，自由的百科全书

• 后验概率 - 维基百科，自由的百科全书

• 条件概率 - 维基百科，自由的百科全书

• 数学之美番外篇：平凡而又神奇的贝叶斯方法

• 贝叶斯推断及其互联网应用（一）：定理简介 - 阮一峰的网络日志

• Everything You Ever Wanted to Know About Bayes’ Theorem But Were Afraid To Ask. - YouTube

• 医生说你得病、你就真的得病了吗？