磁单极的三世三生——本科生硕士生博士生层面的磁单极精讲

磁单极（magnetic monopole）是在科学文献和科普读物里经常可以见到的名词．本文试图由浅入深地介绍人们对它的认识逐步提高的过程．文中的一些公式经过了后人对最初文献中的公式的整理和改写．

1　本科生层面上的磁单极

1.1　经典电磁学：磁力线是封闭曲线

大家知道，电荷有正、负之分，电力线从正电荷发出，到负电荷终止。但是一个条形磁铁总是N极和S极共生的，这一头是N极，另一头就是S极。磁力线在磁铁外部是从N极指向S极，但在内部则是从S极指向N极，二者合起来构成了无头无尾的封闭曲线.即使把一条磁铁拦腰截断，剩下的部分仍然如此。没人见过只有N极或只有S极的磁体，这就是说没有磁单极（即单一磁性的磁荷）存在。

1.2　静态电磁场方程：磁场是无源场

先考虑静态场，电场强度E和磁场强度B满足不同的方程（取SI制但是为简单起见令ε₀=μ₀ =c=1，无介质）

(1)

(2)

方程(1)右方的是电荷密度，但是方程(2)的右方是零，这就是“没有磁荷”的数学表达，满足方程(2)的场称为无源场。

1.3　无源麦克斯韦方程组的电-磁对偶性

当电磁场与时间有关时，真空中（无介质）的电磁场满足麦克斯韦方程组，它除去包含方程(1)和(2)以外还包含

(3)

(4)

其中,表示对时间的导数，是电流密度.式(1)和式(4)保证了电荷是守恒的，

 (5)

同时，电荷在电磁场中所受的洛伦兹力是

(6)

对于无源的情形，麦克斯韦方程组成为

这组方程对于变换

 (7)

是保持不变的.这个变换称为电-磁对偶变换。

1.4　添加了磁荷的麦克斯韦方程组和它的电-磁对偶性

在场的电-磁对偶变换的启发下，即使对于有源情形，也可以人为地添加磁荷密度ρ_m和磁荷流密度j_m，使麦克斯韦方程组成为

(8)

(9)

 (10)

 (11)

式(9)和式(10)保证了磁荷也是守恒的，即

 (12)

同时，粒子既可以带有电荷qe也可以带有磁荷q_m，称为双荷子(dyon)，它在电磁场中受的力是

(13)

如果在式(7)的变换之外再添加变换

 (14)

则方程(5)、(8)～(13)都是不变的.

1.5　连续的电-磁对偶变换和磁荷的约定性

事实上，式(7)和式(14)的电-磁对偶变换还可以连续化，就是定义变换

 (15)

其中，α 是任意的实参数，只不过α+2nπ(n 是整数)代表与α 相同的变换.式(15)是把4个类似的变换写在一起了，比如说它表示

(16)

和

 (17)

等等.不难证明，在这样的变换下，方程(5)、(8)~(13)仍然保持不变.为了比较容易地看出这一点，不妨注意式(15)也等价于

再进一步，在式(15)的变换下，电磁场的能量密度和能量流密度（波印廷矢量）S = E × B 也都保持不变.所以总起来说，这个变换使所有的可观察的电磁现象都不变.这就是电磁现象的电-磁对偶性。

从这个角度看来，“电荷”与“磁荷”的区分并不是绝对的，它们是可以互相转换的.在这个意义上，我们目前采用的没有磁荷的麦克斯韦方程组只是一种方便的“约定”。

1.6　无磁荷的麦克斯韦方程组的规范不变性

“没有磁荷”这个约定给我们带来了一个很大的好处，那就是使电磁场成了规范场(gauge field)。众所周知，当式(2)和式(3)成立的时候，我们可以引入电磁势(φ ,A )把场(E ,B )表为

(18)

而且在(φ ,A )受到如下的变换

(19)

时(E ,B )是不变的，其中χ 是任意的时空函数.这就是麦克斯韦电磁场理论的规范不变性。

这样一来，物理学家就面临一个难题了：电磁现象的电-磁对偶性和规范不变性都是很好的对称性，但二者却是矛盾的，即前者要求电荷与磁荷可以互相转换，后者却要求不存在磁荷。科学家们是如何一步一步解开这个矛盾的呢？

2　硕士生层面上的磁单极

2.1　狄拉克的带奇异弦的磁单极

让我们立足于规范场理论，也就是。它真的不能容纳磁单极吗？在球坐标系(r ,θ ,φ )中，磁荷量为q_m 的磁单极的磁场是

(20)

那么，是否有什么A 能够给出这样的B 呢？狄拉克在1931年建议取^[1] 

 (21)

为了比较容易地计算它的旋度，不妨注意在球坐标系中

所以式(21)的矢量势也可以写为

(22)

其中φ 是方位角.利用公式和，就很容易证明

(23)

而且，利用公式和，还不难证明

(24)

但是这个结果令人费解：公式是一个恒等式，而这里却有

其中δ (x)是δ 函数.解答这个疑问的关键在于这个A 是奇异的：在–z 轴上θ =π而tan(π/2)是无穷大。这条半无穷长直线称为奇异弦，在它上面其实并不等于B 而是无穷大.让我们取任何一个紧紧围绕–z 轴的小闭合回路（其方向与z 轴正向成右手螺旋）并计算A 沿的线积分.按照斯托克斯定理，

(25)

其中Σ是所包围的曲面，是穿过Σ 的磁通.对于式(21)的A，很容易算得

 (26)

这就表明：其实沿着–z 轴有一个流向原点的常数磁通q_m，而它也正好是处于O 点的那个点磁荷向外发出的总磁通.所以，准确地说应该写

(27)

其中θ (x )是单位阶跃函数，它完全满足在任何封闭曲面S 上.

这样一来情况就清楚了：原来式(21)的A 描写的是一条沿着–z 轴的细螺线管，它的一端开口在O 点，另一端伸到无穷远，里边有朝上的磁通q_m。显然，这条细螺线管（也就是奇异弦）并非必须沿着–z 轴而是可以沿着任何方向，甚至也可以是曲线的形状。换一种说法，对式(21)的A 进行一个规范变换，我们可以把奇异弦变成从原点延伸到无穷远的任何曲线，它给出的磁场处处都像是一个点磁荷的磁场，但是奇异弦上的点除外。所以，实际上狄拉克的奇异弦是没有物理效应的，是观察不到的。

2.2　吴大峻-杨振宁的U(1)纤维丛磁单极

既然狄拉克奇异弦是不可观察的，我们能不能把它去掉呢？或者说，规范场理论是不是存在着没有奇异性的磁单极解呢？吴大峻和杨振宁一直在思考这个问题。1968年，他们提出了下面的新方案^[2] ：对θ ∈［0,(π/2)+0⁺ )的区域（称为北大半球）取

 (28)

也就是式(21)，而对θ ∈((π/2)–0⁺,π］的区域（称为南大半球）则取

(29)

注意：A_u 的奇异弦是–z 轴，但它并不在A_u 的定义域内，A_d 的奇异弦是+z 轴，它也不在A_d的定义域内，所以A_u和A_d在各自的定义域内都给出式(20)的B 并且都不包含奇异弦。赤道即θ ∈((π/2)–0⁺,(π/2)+0⁺)是A_u和A_d互相重叠的区域，然而A_u和A_d在这里并不相等。这有问题吗？没有问题，因为在这里它们只不过相差一个规范变换：

(30)

从数学的角度看来，这样的处理完全符合微分几何中一类重要的理论——纤维丛理论的精神。规范势A 在纤维丛理论中称为联络 (connection)，它是在空间的不同邻域中分片地定义的，在邻域互相重叠的地方，不同的联络借助于连接函数 (transition function) 互相变换，而它正是规范变换。所以，吴大峻和杨振宁完成的工作，实际上是利用纤维丛的手段给出了没有奇异弦的磁单极子的矢量势，其代价是整个空间变成了两个大半球的并集，并且在它们的交集上要做规范变换。

由于麦克斯韦电磁场理论是U(1)群的规范场理论，数学上就是U(1)纤维丛理论，所以吴-杨磁单极实际上是U(1)纤维丛的拓扑非平凡解 (topologically non-trivial solution)，可以简称为U(1)丛磁单极。

必须指出，由于狄拉克磁单极（即U(1)磁单极）的奇异弦很诡异，点磁荷的总能量（即质量）又是无穷大，所以实际上它并不是粒子物理学家们心目中的“粒子”。现在，更多地利用U(1)磁单极这个概念的领域反倒是凝聚态物理。凝聚态物理学家经常把一些理论中出现的带有磁通量尾巴的准粒子 (quasi-particle)（或称元激发）叫做磁单极，当然这和作为粒子的磁单极子是不同的两种对象。

2.3　波函数的规范变换和薛定谔方程的规范

不变性

狄拉克在1931年的那篇文章中，除去提出了点磁荷的矢量势以外，更重要的是提出了“磁荷量子化”的概念，它的关键是考察带电粒子在磁单极的磁场中运动的量子力学。

首先，在经典物理中，为了使带电粒子在电磁场中所受的力为洛伦兹力，即，粒子的哈密顿量应该是

(31)

其中p 是粒子的正则动量。因此，带电粒子在电磁场中的薛定谔方程是

(32)

其中是动量算符.不过这样一来就提出了一个问题：进入这个方程的不是场(E ,B )而是势(φ ,A )，如果后者受到了规范变换 

薛定谔方程岂不是要变了吗？对这个问题的回答是：当电磁势受到规范变换的时候，波函数也要进行变换

(33)

结果薛定谔方程仍然保持不变.这称为薛定谔方程的规范不变性，式(33)称为波函数的规范变换。这就保证了可观察的物理现象是不随规范变换而改变的。

2.4　纯规范势场中的波函数

所谓纯规范情形就是在一个有限的时空区域（不是整个时空）中E =B =0，因此在这样的区域内

  (34)

根据波函数的规范变换式(33)，如果φ =0, A =0时薛定谔方程的解是，那么时的解就是

(35)

下面只考虑静磁场并且无电场的情形，所以对任何选定的两个空间点r₁ 和r₂ ，有

如果我们从r₁出发，走了一条封闭的回路以后又回到了r₁，那么就有

(36)

但是波函数必须是单值的，所以必有

(37)

其中n是整数（正整数或负整数或0）。式(37)是电动力学和量子力学彼此相容所必须满足的条件。

2.5　磁荷量子化

现在我们把斯托克斯定理式(25)代入式(37)中，就得到

(38)

其中,Σ是所包围的曲面（二者方向成右手螺旋），是穿过Σ的磁通，h是普朗克常数（注意不是）。问题是，如果可以在B=0的区域中连续地收缩为一点，那么由于右方的n不可能连续变化，所以唯一的可能是=0，这是所谓的拓扑平凡情形.如果Γ不能在B=0的区域中连续地收缩为一点，那么就有可能n≠0.比如说，这个区域是平面上“挖”去了一个点，而恰好把这个点围在了里边.这样的区域称为是拓扑非平凡的。

狄拉克磁单极正属于拓扑非平凡情形.考虑半径r→∞的球面，那么除去奇异弦穿过球面的那一点以外，球面上处处B→0，所以式(38)有效.一旦Γ把奇异弦包围在内，式(26)就给出了，所以我们得到

(39)

这就是狄拉克的磁荷量子化条件，或者写为

(40)

这称为狄拉克关系.由前面的分析我们知道，只有当狄拉克关系得到满足的时候，电动力学和量子力学才是相容的.

当然，如果采用吴-杨的U(1)丛磁单极模型，就不存在奇异弦，那么磁荷量子化从何而来？在吴-杨磁单极那里，A_u和A_d要在赤道上通过规范变换联系起来，这个规范变换的连接函数是

(41)

其中φ是方位角，因此，北、南两个大半球中的波函数也要在赤道上通过变换

(42)

连接起来，由于φ+2π和φ代表着空间中的同一点而波函数必须是单值的，这就要求

(43)

这显然给出了同样的狄拉克关系式(40).从这个角度，我们对狄拉克关系中的整数n又有了新的认识.变量φ描写了一个圆周（数学上记为S¹），而是幺模复数，它在复平面上也是一个圆周S¹， 所以函数是从S¹到S¹的映射。这种映射可以按照下面的情形来分类：当源点φ在源空间的S¹上逆时针跑完一圈的时候，像点在像空间的S¹上（顺时针或者逆时针）跑了几圈？这个圈数n当然是整数，而且是在映射的连续变形之下不会改变的，称为拓扑不变量，它的代表映射就是.用数学的术语来说，这表明圆周S¹（也就是群U(1)）的第一同伦群是整数加法群，也就是.所以狄拉克关系中的n是一个拓扑特征数，称为第一Chern（陈省身）数。

对于狄拉克关系也可以有另外一种解读，那就是

(44)

也就是“电荷量子化”。事实上，自然界的这个现象早就为人所熟知：各种物质粒子的电荷都是一个基本电荷的整数倍.理论物理学家一直对这个现象感到不解，现在狄拉克关系似乎给了一个解释.其实，磁荷量子化和电荷量子化的说法都不完全准确，因为量子化的是电荷与磁荷的乘积.狄拉克关系最重要的意义在于：整数n在本质上是一个拓扑特征数，所以这个量子化可以称为是数学的必然。

2.6　磁通量子化

由于狄拉克磁单极子直到现在也没有在实验上被发现，所以磁荷的量子化并没有直接的实验证据。但是不难看到，磁荷的量子化实际上就是磁通的量子化，而磁通量子化却在超导体中得到了完全的实验证明。超导体有迈斯纳效应，也就是把磁场完全排除在超导体外，这就是磁悬浮现象的机理。第二类超导体是“软”超导体，在磁场强度的一定范围内它会处在超导和非超导的混合相.所以当我们把磁场加在掺杂的第二类超导体上的时候，它会出现磁通钉扎的现象，这时候超导体样品中穿过了一把一把的磁力线.奇妙的是，实验完全证实了这些磁通是量子化的，每一把磁力线的磁通量都是

（45）

其中e是电子电荷的绝对值.乍看起来，这好像违反了狄拉克的磁通量子化条件，因为分母上多了一个因子2.但是实际上它恰好和超导电性的BCS理论一致，因为BCS理论说超导电性是因为电子组成了库珀对(Cooper pair)，而库珀对的电荷正是－2e。

3　博士生层面上的磁单极

狄拉克磁单极不是物理的“基本”粒子，物理上合理的磁单极子是胡夫特-波里雅科夫( ’t Hooft-Polyakov) 的非阿贝尔自发破缺规范场的磁单极.由于这部分内容用到了比较高等的物理理论，我们将只介绍一个大致的轮廓而不涉及细节。

3.1　非阿贝尔 (non-Abelian) 群的规范场理论

受“电磁场是规范场”的启发，杨振宁和米尔斯(Mills)在1954年提出了非阿贝尔群规范场（以后就被称为Yang-Mills场）的理论^[3] .在量子电动力学里，电子通过交换光子而产生电磁相互作用，Yang-Mills 场论的基本图像与它类似，即是带有各种“荷”的费米子通过交换“规范玻色子”而产生相互作用。但是与量子电动力学不同的是，由于规范群变成了非阿贝尔群，所以这些规范玻色子还有自互相作用，这使得非阿贝尔规范场论中的场方程是非线性的。

根据这个思想再加上夸克假设，物理学家们建立起了量子色动力学 (Quantum Chromodynamics, QCD) 理论，为描写粒子之间的强相互作用提供了一个有效的框架.在 QCD 理论中，夸克带有3种不同的“色荷”，它们通过交换“胶子”发生相互作用，而胶子带有8种不同的色荷，所以还可以互相作用.这个理论给出了与实验观察完全一致的结果。

3.2　规范对称性的自发破缺，希格斯(Higgs)机制

规范场理论具有规范不变性，这导致规范玻色子是无质量的，就像光子那样。但是用这种理论来解释弱相互作用却碰到了困难，因为弱相互作用的中间玻色子是有质量的.为了解决这个矛盾，人们又另外引进了一些标量场，它们的真空期望值（或者说使势能达到极小的值）是非零的.再让这些标量粒子和规范玻色子相互作用，结果是有一些标量粒子被一些规范玻色子“吃”掉了，使那些规范玻色子变成了有质量的.这个现象称为规范对称性的自发破缺。但是，仍然有一些规范玻色子保持为无质量的，也有一些标量粒子没有被吃掉而保留下来。这样的机制称为希格斯机制，那个剩余的标量粒子就称为希格斯粒子。利用这个机制，物理学家们成功地建立了一个电磁相互作用与弱相互作用统一（简称电-弱统一）的理论，其中带质量的规范玻色子W^±和Z⁰ 是弱相互作用的中介，而保持为无质量的规范玻色子就是光子.电-弱统一理论获得了1979年的诺贝尔物理学奖^[4] 。

量子色动力学和电-弱统一理论合起来构成了粒子物理“标准模型”的基石.迄今为止，这个模型和实验的符合程度是相当令人满意的。尤其是，2012年7月4日，欧洲核子研究组织 (CERN) 的两个研究小组宣布在大型强子对撞机 (LHC) 上发现了希格斯粒子，填补了标准模型与实验进行比较的最后一个空白。最先提出希格斯机制的两位科学家在2013年获得了诺贝尔物理学奖^[5] 。

3.3　作为孤子的胡夫特-波里雅科夫磁单极子

1974年，胡夫特和波里雅科夫各自独立地发现^[6，7] ，带有希格斯机制的对称性自发破缺非阿贝尔规范场理论存在一种能量有限的光滑解，广义地说，这种解也属于孤子 (soliton) 的一种.这个解在离它的中心很远的地方（或者说从“外边”看起来）表现为一个磁单极，即存在中心对称的磁力线，然而它在整个空间中完全没有奇点，因此总能量是有限的。之所以能够如此，主要是因为它的磁力线产生于核心中的非线性自相互作用。在物理学家的眼中，这样的磁单极子才是现实地可能存在的粒子。

3.4　宇宙中的磁单极子流

那么，胡夫特-波里雅科夫磁单极子可能在什么条件下产生？观察表明，在目前地球上的粒子世界里并不存在磁单极，所以人们把眼光投向了早期宇宙。当然，早期宇宙阶段的世界究竟是由什么物理定律支配，人们还不十分清楚，但是超大统一理论和超弦理论是非常可能的候选者，而这些理论中都包含高秩的非阿贝尔规范相互作用和对称性自发破缺，因此存在磁单极子.这些磁单极子的质量（能量）应该在大统一或弦理论的能量尺度上，所以是非常高的，在目前的地球实验室的条件下不可能产生.但是可以想见，在大爆炸之后不久的早期宇宙中应该大量地产生磁单极子。它们会随着宇宙的演化遗留到现在，形成当今宇宙中的磁单极子流。

3.5　实验上寻找磁单极子的努力及其结果

既然磁单极子只能来自宇宙太空，我们就只好“守株待兔”了。20世纪80年代，一位年轻的实验物理学家 Blas Cabrera 在斯坦福大学建立了一套超导量子干涉器件 (SQUID) 装置，以探测宇宙磁单极子。他声称^[8] ，这个探测装置在1982年2月14日记录下了一个完美的磁单极子信号，于是世界上许多实验室纷纷效仿。可惜的是，迄今30多年过去了，没人再看见第二个.如果 Cabrera 测到的不是虚假信号的话，我们可以据此估算出：宇宙中的磁单极子的数目只有宇宙中的核子数目的1/10²⁹ .欧洲航天局(ESA)发射的普朗克卫星探测器对星系磁场的测量似乎也不支持在太空中存在磁单极。

3.6　磁单极子问题和宇宙暴胀

我们观察到的宇宙磁单极子是如此之少，这被称为“宇宙磁单极子问题”.这个问题和“宇宙平坦性问题”及“宇宙视界问题”一起，构成了大爆炸(Big Bang)宇宙模型的3大疑难.古斯 (Guth) 在1980年提出了暴胀宇宙 (Inflationary Universe) 理论，为解决这些疑难指出了方向.目前，“大爆炸加暴胀”的宇宙模型被称为宇宙论的标准模型。

4　结语

磁单极子这个东西还没有在实验和观察上得到确认，但是大多数理论物理学家都相信它的存在。也许在将来的某一天，我们能记录到更多的宇宙磁单极子来访的信号，或者在人类建造的加速器中把它们制造出来。这一天的到来有可能要让我们等待很长的时间，但是窥知自然界奥秘的渴望一定会支持人们锲而不舍地探索下去。

作者感谢杨振宁教授提供原始文献的副本以及他对一些历史过程的评述．

参考文献：

［1］Dirac P A M. Quantised singularities in the electromagnetic field［J］. Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical Physical & Engineering Sciences, 1931, 133(821):60-72.

［2］Wu T T, Yang C N. Some solutions of the classical isotopic gauge field equations ［C］// Mark H, Fernbach S. eds. Properties of Matter under Unusual Conditions. New York: Interscience (Wiley), 1969: 349-354.

［3］Yang C N, Mills R L. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance ［J］. Physical Review, 1954, 96 (1): 191-195.

［4］The Nobel Prize in Physics 1979. The Nobel Foundation. ［EB/OL］. ［2015-03-03].http://www.nobelprize. org/nobel_prizes/physics/laureates/1979/.

［5］The Nobel Prize in Physics 2013. The Nobel Foundation. ［EB/OL］. ［2015-03-03].http://www.nobelprize. org/nobel_prizes/physics/laureates/2013/.

［6］’t Hooft G. Magnetic monopoles in unified gauge theories［J］. Nuclear Physics B, 1974, 79(2):276-284.

［7］Polyakov A M. Particle spectrum  in the quantum field theory ［J］. Pis'ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 1974, 20: 430-433 (in Russian), or J. Exp. Theor. Phys. Lett. 1974, 20: 194-195 (in English). 

［8］Cabrera B. First results from a superconductive detector for moving magnetic monopoles［J］. Physical Review Letters, 1982, 48(20):1378-1381.

引文格式:  徐湛. 磁单极的三生三世——本科生硕士生博士生层面的磁单极精讲 [J]. 物理与工程，2015，25（2）：12-18.

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