爱因斯坦建立狭义相对论的关键一步——同时性定义

1  建立狭义相对论的关键一步——定义同时性

1.1 狭义相对论之前已经有许多物理现象与牛顿理论矛盾

1905年之前已经显示：电磁场方程在伽利略坐标变换下不能保持形式不变（即电磁理论不满足伽利略相对性原理）；真空光速是物体运动的极限速度且具有不变数值；寻找以太的实验都是零结果以及其他一些实验无法用牛顿理论进行解释等等；后来物理学家们通过引入各种假设和对牛顿理论修修补补，得到了用以解释新实验结果的各种公式，例如，斐兹杰惹-洛伦兹收缩假说(1892)、拉摩时钟变慢假设(1900)、质量速度关系式(1904)、电磁理论中的质量能量关系式、洛伦兹变换等等.在这些公式中都含有真空光速，但是它们分别来自不同的假设或不同的理论模型.只有当爱因斯坦利用单向光速不变定义了同时性并进而在1905年建立起狭义相对论^[1] 之后才对上述所有问题给出了统一解释.

1.2 爱因斯坦迈出的关键一步：定义同时性

爱因斯坦在1916年发表的《广义相对论基础》^[2] 一文中说：“狭义相对论与经典力学的分歧不在于相对性原理，而只在于真空中光速不变的假设”.彭加勒在1905年之前就已经接近了光速不变原理，例如他在1898年发表的“时间测量”的论文中写道：“光具有不变的速度，尤其是它的速度在一切方向上都是相同的，这是一个公设，没有这个公设，就无法量度光速.这个公设从来也不能直接用经验来验证”.彭加勒也讨论过使用光信号进行时钟的同步，但是并没有进一步由此引入惯性系中的时间坐标并进而获得洛伦兹变换.

爱因斯坦在1905年发表的《论动体的电动力学》论文^[1] 中第一节的标题就是“同时性的定义”：我们在A、B二点各放一只钟来分别定义“A时间”和“B时间”，但还没有定义对于A和B是公共的“时间”.然而，当我们通过定义光从A到B所需要的"时间"等于它从B到A所需"时间"的时候，这后一个时间也就可以定义了.有了这个公共时间（即惯性系的时间坐标）也就有了惯性系的明确定义，爱因斯坦进而利用单向光速不变以及其他显而易见的初始条件推导出了洛伦兹变换.

现在用图1具体说明单向光速各向同性的假设与光速的测量以及定义时间坐标的关系.

在A和B二点各放一只标准时钟分别记录当地时间tA和tB（设A和B之间的距离是L）.光信号从A传到B再返回A所用的时间间隔由A钟记录（即A时间）：；如果假定光速各向同性，即，则，那么这个光信号往返的平均速度就是，其中的A时间t_ABA 是在A点的同一只时钟记录的时间间隔，而与B钟是否与A钟对准没有关系，就是说双程光速可以直接测量出来，而假定单向光速各向同性实际上并不能直接测量单向光速而只是假设了它等于双程光速的测量值.有了这个（假定的）单向光速的数值就可以用来定义时间的同时性，即用光信号对准任意地点（例如A、B）的时钟：，这也就是定义了惯性系的时间坐标（即所谓的公共时间）.惯性系x和x′的时间坐标 t 和 t′的定义体现在推导洛伦兹变换时使用了光信号单向速度不变的方程式： 在x系和x′系光信号在任何方向上都以不变速度c传播的方程式分别是

正是由于爱因斯坦使用单向光速不变的假设定义了惯性系的时间坐标并且进而得到洛伦兹变换，因此才建立了狭义相对论^[1] .

2  爱因斯坦同时性是无穷多种等价的同时性中最简单的一种

原则上说，如果没有不依赖光信号对钟的新方法就不可能测量单向光速；但是双程光速的测量只需要放置在给定地点的与同时性无关的同一只时钟记录时间，因而其数值是可以直接测定的.假定了光速各向同性后也只是假定了单向光速等于双程光速而不是直接测量单向光速的数值.

2.1 真空中回路光速不变而单向光速可变的表达式^[3-6]

至今所完成的真空光速的测量全都是对双程（闭合回路）光速的测量^[5-6]，这些实验结果表明真空中双程（或说回路）光速是个不变的常数c.在真空中满足双程（回路）光速不变而单程光速可变的表达式是

（1）

其中e是光信号传播方向的单位矢量，常数矢量q表征单向光速的可变性，常数c是双程光速，c_e 是光信号沿e方向传播的单向速度.

现在验证方程（1）满足回路光速不变的要求；光信号沿任意闭合回路的传播时间是：

（2）

 右边第二项其中dl是光回路上的无穷小间隔，e是它的方向，所以edl=dl，而倒数第二个等号使用了斯托克斯定理把回路积分变成面积分，由于q是常数矢量因而其旋度是零. 所以，

为了分析问题简单化，我们假设q的方向平行于惯性系x轴和x′轴而且在两个惯性系中相同；这样沿x轴和x′轴的光速由式（1）给出：  

（3）

其中c_+x 和c_-x 分别是光信号沿正、负x和x′轴的真空光速.方程（3）自然满足在x和x′轴往返双程光速不变的要求：

2.2 惯性系中同时性定义（即时间坐标的定义）及其坐标变换^[1,3-6] 

现在考虑利用真空中单向速度可变的光速即方程（3）定义的同时性与爱因斯坦同时性的差别（下面的讨论对x′系完全类似）.

假定在t_原点时刻光信号从（任意惯性系）x轴原点发出而后到达x点，在x点放有两只完全相同的标准时钟（参见图2），其中一只是爱因斯坦时钟t₀ （即使用爱因斯坦同时性定义），另一只称为爱德瓦兹时钟t（即使用单向光速可变的方程3对钟），因此光信号到达x点时爱因斯坦时钟的时间t₀ 和爱德瓦兹时钟的时间t应当分别调到

（4）

和

（5）

因此这两只在同一地点的时钟由于同时性定义不同而给出的时间差是 

即

（6）

这就是爱因斯坦惯性系的时间坐标t₀与爱德瓦兹惯性系的时间坐标t之间的关系.这里以及下文中使用带有下标“0”的记号代表爱因斯坦的物理量，而不带下标的代表爱德瓦兹物理量.

对于时空间隔，两种同时性定义的差别形式上完全类似

（7）

使用爱德瓦兹时钟t测得的物体速度记为v=Δx/Δt；使用爱因斯坦时钟t₀测得的同一物体的速度记为u₀ =Δx/Δt₀ .利用式（7）可以得到使用两种不同时间坐标定义测得的速度之间的关系是

即

（8）

说明： 速度u是一般速度在x轴的投影，也就是速度的x方向的分量.这个公式对任何速度都一样，例如对于两个惯性系之间的速度通常用记号v和v₀ 代替式（8）中的u和u₀ .

考虑两个爱因斯坦惯性系x系和x′系在开始时刻其相应的3个轴互相重合，而且x′系相对于x系以不变速度v0沿x轴运动，这两个爱因斯坦惯性系的坐标变换就是我们熟知的洛伦兹变换

（9）

我们只写出了空间坐标x和x′之间的变换关系，略去了另外两个空间坐标的变换y′=y和z′=z.方程（9）是线性变换，所以时空间隔的变换形式上一样；设Δx≡x₂－x₁ ,Δx′≡x′₂－x′₁,Δt≡t₂－t₁,Δt′≡t′₂－t′₁ ,则时空间隔的洛伦兹变换是

（10）

类似于推导洛伦兹变换的方法，爱德瓦兹惯性系的坐标变换是^［3,5,6］ 

（11）   

注意：爱德瓦兹惯性系与爱因斯坦惯性系的差别只在于时间坐标，而空间坐标与同时性定义无关因而没有差别，所以我们使用了同样的空间坐标符号而只对爱因斯坦时间坐标加了下角标“0”以示区别.同样地，时空间隔的爱德瓦兹变换是

（12）

2.3速度互易性与同时性定义相关

速度的互易性是指“你看我的速度是v₀ ,我看你的速度是－v₀ ”；速度是由时间坐标间隔定义的，因而与同时性定义有关，也就是说速度的互易性与同时性定义有关.

1） 洛伦兹变换具有速度互易性：在（9）中代入x′=0得到x′系相对于x系的速度x/t₀ =v₀ ；在（9）中代入x=0则得到x系相对于x′系的速度x′/t′₀ =－v₀ ，即具有速度互易性.

2） 爱德瓦兹变换（11）并没有速度的这种互易性：将x′=0带入（11）得到x′系相对于x系的速度x/t=v；但是将x=0带入（11）得到x系相对于x′系的速度是 x′/t′=－v/(1+2qv/c)而不是－v，即没有速度互易性.这个结果也可以直接从同时性定义推得：由式（8）可得到v0=v/(1+qv/c)；在x′系有类似的关系v′=v′₀/(1-qv′₀/c)，将洛伦兹变换的速度互易关系v′₀=－v₀ 代入这后一个方程后再用前一个方程把v₀ 换成v就得到上面的结果v′=－v/(1+2qv/c).

2.4洛伦兹变换和爱德瓦兹变换在物理上等价^[5,6]      

洛伦兹变换（9）同爱德瓦兹变换（11）的差别只是来自同时性定义不同，因而将关系式（6）和式（8）(式中的u和u₀ 分别换成v和v₀ )代入爱德瓦兹变换（11）也就是把爱德瓦兹时间坐标t换成爱因斯坦时间坐标t₀，同时把爱德瓦兹速度v换成爱因斯坦速度v₀，那么爱德瓦兹变换（11）就变成洛伦兹变换（9）.这就是说，爱德瓦兹变换（11）在物理实验中等价于洛伦兹变换（9）（因为至今一切实验都是使用单向光速不变的假设来对钟的），这就是说代表单向光速可变的方向性参数q不能被实验测到.为了具体地看到这一点，我们在下面举两个例子：时间膨胀和长度收缩效应.

 1） 时间膨胀（运动的时钟变慢）^[5,6]

设时钟固定在x′系，因而Δx′=x′₂－x′₁=0 ，代入式（10）后得到爱因斯坦时间膨胀公式

（13）

这里我们使用了“”来表示“固有时”，是由固定在x′系的同一只时钟记录的时间间隔，因而是与同时性定义无关的直接物理测量量；而Δt₀则是在x系中的两个不同地点的时钟记录的时间之差（称之为坐标时间隔，与同时性定义相关）.所以时钟变慢是“一只钟”比不同地点的“二只钟”走得慢.

类似地，由式（12）得到爱德瓦兹时间膨胀公式

（14） 

将关系式（7）和式（8）(式中的u和u₀分别换成v和v₀)代入式（14）并注意到固有时间隔与同时性定义无关因而，则式（14）就变成了式（13）.下面再用具体的实验数据作为例子加以说明.

假设实验室的实验结果是：运动时钟的速度是真空光速的一半，运动时钟记录的固有时间间隔是1s，坐标时间间隔是    

先把这3个数值当作爱因斯坦物理量，即，v₀/c=1/2,Δt₀=将这3个数值代入爱因斯坦时间膨胀公式（13）发现二边都是1s即实验与爱因斯坦时间变慢的预言相符.

 如果现在把上述3个实验数值也直接看成是爱德瓦兹物理量，即,v/c=1/2,Δt=代入式（14）后得到单向光速的方向性参数 q=0（即单向光速各向同性）；这似乎是说这个实验验证了单向光速的各向同性.但是，必须注意的是，至今为止实验室的时间同时性定义都是假定单向光速不变性，即都是使用爱因斯坦同时性.因而上述3个数值（除了固有时间隔）都是爱因斯坦物理量，即v₀/c=1/2,Δt₀=而相应的爱德瓦兹物理量需要通过式（7）和式（8）求得

（15）

（16）

把式（15）和式（16）以及=1s代入爱德瓦兹时间膨胀公式（14）后等号两边相同而与方向性参数无关，这就是说这个实验并不能确定q的数值；也就是说，q从-1到+1的取值虽然有无穷多种（代表无穷多种同时性）但是在物理上都是等价的，而q=0（即单向光速各向同性爱因斯坦同时性定义）是其中最简单的一种.

2） 长度收缩（运动尺子缩短）^[6]

假设在x′系沿x′轴放置的静止杆子的长度是L≡Δx′；在x系的爱因斯坦观测者看到这个杆子以速度v₀ 运动，而爱德瓦兹观测者看到杆子则以速度v运动.在x系测量运动杆子的长度必须同时测量杆子的前后两端，否则测得的长度就是杆子的长度加上它运动的路程.所以，爱因斯坦观测者和爱德瓦兹观测者以各自的同时即Δt₀ =0和Δt=0分别代入各自的坐标变换（10）和（12），得到爱因斯坦长度收缩和爱德瓦兹长度收缩分别是

（17）

和

（18）

下面证明^[6]如果把爱德瓦兹物理量换成爱因斯坦物理量后，式（18）就变成了式（17）.

由于同时性定义不同，所以Δt=0不等同于Δt₀=0，实际上将Δt=0代入二者的关系式（7）给出

（19）

这就是说对于爱德瓦兹同时测量杆子的两端在爱因斯坦观测者看来没有同时测量杆子两端，这样如同前面已经说过的不同时测量就意味着测得的距离包含了杆子在Δt₀的时间内走过的距离δ

（20）

所以爱因斯坦长度收缩与爱德瓦兹长度收缩的关系是（也就是说要从爱德瓦兹测得的长度中减去δ才是爱因斯坦测得的长度）

即

（21）

将式（21）以及速度的关系式v=v₀(1－qv₀/c)^-1代入爱德瓦兹长度收缩公式（18）后就得到了爱因斯坦长度收缩公式（17）；这就是说这两种长度收缩公式在物理上也是等价的，因而类似于时间膨胀的情况，同样也不能用长度收缩的实验测定单向光速的方向性参数，即不能检验单向光速不变的假设.

3  结论

从上面的分析知道：（1）爱因斯坦利用单向光速不变的假设定义同时性即定义了惯性系的时间坐标,并推导出洛伦兹坐标变换近而发现了狭义相对论；彭加勒虽然早已认识到假设单向光速不变性的必要性并用光信号讨论过对钟方法，而且还预见到新力学^①,但是他没有用同步时钟的方法定义惯性系的时间坐标进而获得洛伦兹变换，因而错过了发现狭义相对论的机会.（2）双程光速可以直接测量并已经被实验证明是个常数；单程光速只能假设而不能直接测量，这是因为迄今为止没有发现其他的对钟方法而实验室都是使用爱因斯坦同时性定义.所以，双程光速不变而单向光速可变的爱德瓦兹狭义相对论在物理上等价于爱因斯坦狭义相对论.也就是说在物理上互相等价的同时性定义有无穷多种而单向光速不变的爱因斯坦同时性定义只是其中最简单的一种.

①1904年彭加勒在圣路易斯会议的报告中写道：“也许我们将要建造一种全新的力学，我们已经成功地瞥见到它了.在这个全新的力学内，惯性随速度而增加，光速会变为不可逾越的极限.原来的比较简单的力学依然保持为一级近似，因为它对不太大的速度还是正确的，以致在新力学中还能够发现旧力学”

参考文献

[1] Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Krper［J］. Annalen Der Physik, 1905, 322(10):891921. （参见上海人民出版社1973年出版的中译本《爱因斯坦论著选编》）

[2] Einstein A. Die Grundlagen der allgemeinen Relativittstheorie［J］, Annalen der Physik, 1916,49:769822. （参见上海人民出版社1973年出版的中译本《爱因斯坦论著选编》）

[3] Edwards W F. Special relativity in anisotropic space. American Journal of Physics［J］. Am. J. Phys.,1963, 31(7), 482489.

[4] Winnie J A. Special relativity without oneway velocity assumptions ［J］ Phil. Sci., 1970(37)81;223

[5] 张元仲，狭义相对论实验基础［M］.北京：科学出版社，1979，1983，1994. 

[6] Zhang Y Z., Special Relativity and Its Experimental Foundations［M］, Singapore: World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 1997. 

引文格式:  张元仲. 爱因斯坦建立狭义相对论的关键一步——同时性定义[J]. 物理与工程，2015，25（4）：3-8.

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