狭义相对论洛伦兹变换的推导及其他
1 洛伦兹变换
在狭义相对论中通常熟悉的洛伦兹变换是
（1）
这是任意两个惯性系k (x ,y ,z ,t )与k ′(x ′,y ′,z ′,t ′)之间的坐标变换，这两个惯性系具有如下特殊的设计（如图1所示）：k ′系相对于k 系沿x 轴的正方向以不变速度v 运动，在t =0的初始时刻k 系和k ′系相互重合（即x ,y ,z 轴分别与x ′,y ′,z ′轴互相重合）；所以，x ′轴的原点即x ′=0在k 系看来其运动轨迹是
（2）
2 惯性系的定义与惯性定律
惯性系是由惯性定律定义的：惯性系是惯性定律在其中成立的参考系.惯性定律是说不受力的质点要么相对静止要么相对匀速直线运动.
仔细分析会发现惯性定律的表述以及惯性系的定义存在不清楚之处或者说存在逻辑循环：例如什么叫“不受力”？什么叫“匀速”？什么叫“直线”？惯性系由惯性定律定义，可是上述惯性定律的表述只有在惯性系中才有效；也就是说先要有惯性系的定义然后才能有上述关于惯性定律的表述,但是惯性系又要由惯性定律定义，这就成了逻辑循环.解决这种逻辑循环的办法就是假定存在理想的真空；在其中的任何区域和任何时刻都没有物质因而没有相互作用力；质点（其尺度和质量可以忽略不计）在其中都在作惯性运动，质点之间都以不变的相对速度作直线运动.以这些质点建立起来的参考系系就是惯性系.
3 任意两个惯性系之间的坐标变换
为了使惯性定律的表述一致，任意两个惯性系之间的坐标变换取线性变换的形式，即
（3）
利用初始条件式（2），即代入x ′=0后应当得到x =vt，因此方程（3）变成
（4）
下面需要利用光速不变原理确定式（4）中的3个参数α ,β ,γ .
4 光速不变原理与洛伦兹变换
狭义相对论的第二个基本假设（即光速不变原理）是说：光在真空中总是以不变速度c传播且与光源的运动无关；用惯性系中的时空坐标表示这个（单向）光速的不变性为
（5）
其中， 是k 系中的任意位置P 与坐标原点之间距离（参见图2）的平方，所以单向光速的不变性在k 系中表示成
（6）
同样，光速不变原理在k ′系表达为
（7）
方程（6）和（7）就是光速不变原理的坐标表达式，即在任何惯性系观测到的真空光速在任何方向都以不变速度c 传播且与光源运动无关.
式（6）和式（7）是球面方程，即在初始时刻从坐标原点向四面八方发出的光信号其轨迹是个球面（后见图3，在略去z 轴或在z =0的x -y 平面内是实线圆，虚线是非各向同性速度的光信号运动的轨迹，它偏离圆）.
现在使用单向光速不变的表达式（6）和（7）确定线性变换式（4）中的3个参数.将坐标变换式（4）代入式（7）后得到
（8）
再代入式（6） 即后，式（8）变成
（9）
左边的坐标x 和t 是在任意方向r 传播的光线的时空坐标，而x 只是r 在x 轴的投影，所以x 和t 之间没有固定的函数关系，因此方程（9）的左边各项必须分别为零，这就要求x 和t 各项的系数为零，即得到方程组[1] ：
（10）
解方程组（10）得到
（11）
（12）
代入式（11）和式（12）后，式（4）成为
（13）
其中的正负号很容易确定：v =0时两个惯性系必须成为同一个惯性系，即应当有x ′=x ,y ′=y ,z ′=z ,t ′=t，也即式（13）右边应当取正号，这就是通常熟悉的洛伦兹坐标变换式（1）：
（14）
上面的推导使用了单向光速在任意方向传播的表达式（6）和式（7），也就是说洛伦兹变换式（14）把k ′系中的光信号运动方程（7）变成了光信号在k系中的运动方程（6）.
5 光速不变原理与同时性定义
惯性系中任意空间点P (x ,y ,z )的空间位置由该点到3个直角坐标轴的投影x ,y ,z 表达，该点的时间由放置在该点的一只标准时钟给出，但是放置在任意点P (x ,y ,z )的时钟必须同放置在坐标原点O (0,0,0)的标准时钟对准（或说同步，这种同步就是同时性的定义）.上面在推导洛伦兹变换中使用的单向光速不变性公式（6）就是将惯性系中任意位置P (x ,y ,z )的时钟与原点的时钟对准了；为了明确地显示出来，将式（6）和式（7）重新写成
（15）
类似地有
（16）
式（15）是说，在坐标原点的时钟指示的零时刻从原点发射的光信号到达位置P (x ,y ,z )时将这个位置的时钟指针调到t =r /c ；类似地在带撇的惯性系中任意位置P ′(x ′,y ′,z ′)的时钟调节成t ′=r ′/ c.因此使用了单向公式不变性的式（6）和式（7）就是用单向光速不变性对准了惯性系中所有位置的时钟，也就是定义了时间坐标t 和t ′.所以，如果询问“为何要假定光速不变原理”，那么答案只有一个，就是为了对准各地的时钟，也就是为了定义惯性系的时间坐标[2] .
6 更一般的洛伦兹变换的推导
洛伦兹变换式（1）或式（14）所对应的两个惯性直角坐标系的取向和相对速度是图1所示的特殊情况：初始时刻两惯性系重合，并且带撇系以不变速度v 沿x 轴的正方向运动.
更一般的情况是v 的方向是任意方向，为了推导这种情况的洛伦兹变换，需要把式（14）改写成空间三维矢量的形式.为此，使用三维矢量的分解公式
（17）
其中，r∥和r⊥ 和分别是r 在平行于和垂直于速度方向（即v 的方向）上的投影分量，即分别定义为
（18）
式（14）中的v 与x 轴方向平行，所以
（19）
考虑到式（19），可以把式（14）写成三维空间矢量的形式
（20）
类似地
（21）
利用式（17）和式（21），这更一般的洛伦兹变换是
（22）
另外，不含时空反演和时空平移的最一般的情况是初始时刻两惯性系只有原点重合而3个直角坐标轴不重合，即3个直角坐标轴之间存在三维空间的转动，那么这种情况的洛伦兹变换就是用三维空间的转动算符去乘式（22）（可参考文献[2]）.
7 闭合回路（双程）光速不变而单向光速可变与同时性定义
爱德瓦兹坐标变换[2,3] ： 保留狭义相对论的相对性原理假设，同时把单向光速不变原理修改成双程光速不变原理，即在真空中双程光速（而非单向光速）是个不变的常数c 且与光源运动无关.满足这个双程光速不变而单向光速可变的单向光速的表达式是：
（23）
和
（24）
其中
（25）
式(23)和式(24)中,c+x(c+x′)和c-x(c-x′) 分别是光信号沿正、负x (x ′)轴的单向真空光速（注意，在垂直于x (x ′) 轴方向上单向光速等于c ）.为了分析问题简单，我们假设可变的单向光速方向性参数q 和q ′的方向平行于x 轴和x ′轴.方程（23）和（24）满足沿x 和x ′轴往返的双程光不变的要求，由式（23）有
（26）
使用可变光速式（23）来对钟（即定义时间坐标tq ）有
（27）
这样定义的坐标时间tq 式（27）与前面用单向光速不变性定义的坐标时间t 式（15）之间的差别是
或写成
（28）
类似地，对于x ′系用式（24）对钟定义时间坐标是
（29）
或写成
（30）
由于时间坐标t 与tq (以及t ′与t′q′ ) 的定义（即同步）不一样，因而由不同的时间坐标定义的速度u =x /t 与uq=x/tq 也就不同，它们之间的关系是
（31）
同样有
（32）
至此，爱德瓦兹变换无需单独推导，只需把爱德瓦兹同时性定义与爱因斯坦同时性定义之间的关系式（28）和式（30）以及式（31）代入洛伦兹变换式（14），即把爱因斯坦时间坐标t 换成爱德瓦兹时间坐标tq ，同时把爱因斯坦速度v 变成爱德瓦兹速度vq ，就得到爱德瓦兹变换
（33）
取q =q ′=0，则vq=v ，那么式（33）就变成通常的洛伦兹变换式（14），即洛伦兹变换只是爱德瓦兹变换的特殊形式；或者说q (q ′)的无穷多种取值代表无穷多种同时性定义，爱因斯坦同时性定义只是其中最简单的一种.这无穷多种同时性在物理上是互相等价的，即至今的任何物理实验都不可能测出q (q ′)的非零数值；也就是说实验不能测量出单向光速而只能测量出双程（回路）光速[2] .
8 双程光速可变的坐标变换——罗伯逊变换[5]
罗伯逊变换的原始形式是
（34）
其中，a0,a1,a2是v2 的函数， (XYZT) 是爱因斯坦定义的惯性系，即在其中单向光速不变.
式（34）中的参数难以看出其物理含义，为此改换成另外一组具有明显物理含义的新参数[3,4] 为
（35）
代入式（34）后得到
（36）
为了显示新参数的物理含义，下面计算光速的表达式：在XYZT系单向光速等于常数c 即光速的运动方程由式（6）给出,即
（37）
将式（36)代入式（37）得到
（38）
其中用到定义：
（39）
由式（38）解出光线在XYZT系沿任意方向r 的速度
（40）
在式（40）中与角度有关的（亦即与方向有关的）项是cos2α ，这表明：（1）不同方向的光速不同；（2）在任何给定方向r 上正反方向光速相等（也就是说单程光速等于双程光速），而且由式（39）可知α 是r 的方向与x 轴正方向的夹角，所以α =0,180°是x 轴的正反方向；而α =90°,270°是垂直x轴的正反方向，相应的光速是
（41）
式（41）显示参数c∥和c⊥ 分别代表平行于和垂直于x 轴方向上的光速.而参数d 只是个共形参数.这表明，新的参数c∥,c⊥,d 具有明显的物理含义.以这种速度传播的光信号其轨迹是
（42）
因cr 随方向而改变，所以式（42）是偏离球面的方程（参见图3中的虚线，在x -y平面偏离了实线圆）.
9 更一般的坐标变换（M-S变换）[6]
洛伦兹变换满足单向光速不变性（当然双程光速不变性也一定成立）；爱德瓦兹变换满足双程光速不变性而单向光速可变；罗伯逊变换包含双程光速的可变性而在双程路径中往返的单程光速相等（当然单程光速也就等于双程光速）.下面给出的M-S（Mansouri-Sexl）变换则满足双程光速和单向光速均为可变的，即
（43）
式（43）中使用的新参数c∥,c⊥,d 与原始参数ε =(εx ,εy ,εz ),a ,b的关系是
（44）
其中，q =(qx ,qy ,qz )代表单向光速可变的方向性参数，在这个参数为零时M-S变换式（43）变成罗伯逊变换式（36）.
10 4种坐标变换之间的关系[4]
4种坐标变换不同之处只在于时间坐标的定义不同；而时间坐标都是用光信号的速度值定义的，所以它们各自相应的光速假定不同：（1）洛伦兹变换相应的光速（单程光速和双程光速）在任何方向都是常数c；（2）爱德瓦兹变换所相应的光速是双程光速在任何方向都是常数c ，而双程之中往和反的单程光速不同；（3）罗伯逊变换所相应的光速是双程光速的数值与方向有关而任何方向上的往和反光速相等，更具体地说就是平行于两惯性系相对速度v 的方向上的双程光速c∥与垂直方向的双程光速c⊥不相等，但是往和反的单向光速相等，例如沿x 轴的正和反方向的单向光速都等于c∥，类似地沿y轴和z轴的正和反方向的单向光速都等于c⊥；（4）M-S变换相应的光速是双程光速和单程光速都与方向有关，双程光速随方向的变化情况与罗伯逊变换相应的双程光速相同，但是往和反的单向光速不相等，例如沿x轴的正和反方向的单向光速互相不相等而且也都不等于c∥而与方向性参数q 有关，所以q =0的M-S变换就成为罗伯逊变换.
这4种变换之间的关系用图4表示.
单向光速的测量需要事先对准各地的时钟，而对准时钟又需要事先知道单向光速的数值，所以在自然界不存在绝对的对钟手段而只能使用光信号对钟的今天，单向光速是不能用实验测量的，即方向性参数q 的数值不能由实验给出.因此，在物理上爱德瓦兹变换与洛伦兹变换等价；M-S变换与罗伯逊变换等价.这就是说，洛伦兹变换和罗伯逊变换都可以用物理实验来检验因而是非平庸的变换，而爱德瓦兹变换和M-S变换中的方向性参数不能用物理实验给出因而这两个变换分别与前两个在物理上等价，所以它们是平庸的变换.既然已经知道了爱德瓦兹变换与洛伦兹变换的关系，那么M-S变换与罗伯逊变换的关系完全类似，因而M-S变换不但平庸而且多余.
至今的物理实验证明了真空双程光速的不变性（即没有观察到c∥和c⊥ 的差别），所以实验证明的只是洛伦兹变换.
参考文献
[1]柏格曼.《相对论引论》[M].北京：人民教育出版社，1961.
[2]张元仲.狭义相对论实验基础[M].北京：科学出版社，1979，1983，1994.
[3]Zhang Y Z. Special relativity and its experimental foundations[M]. Singapore: World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 1998.
[4]张元仲.爱因斯坦建立狭义相对论的关键一步——同时性定义”[J].物理与工程,2015,25(4): 3-8.
[5]Edwards W F, Special relativity in anisotropic space[J]. American Journal of Physics, 1963, (31): 482-489.
[6]Zhang Y Z, Test theories of special relativity[J]. General Relativity & Gravition, 1995, 27(5): 475-493.
[7]Robertson H P. Postulate versus observation in the special theory of relativity[J]. Review of Modern Physics, 1949, 21(2): 378-382.
[8]Mansouri R, Sexl R U. A test theory of special relativity: Ⅰ. Simultaneity and clock synchronization[J]. General Relativity & Gravition, 1977, 8(7): 497-513.
引文格式: 张元仲. 狭义相对论洛伦兹变换的推导及其他[J]. 物理与工程，2016，26（3）：3-8.
更多精彩文章请点击下面“蓝字”标题查看：
中微子实验的过去、现在与未来 -- 2015年诺贝尔物理学奖解读
《物理与工程》期刊是专注于物理教育教学研究的学术期刊，是中国科技核心期刊，1981年创刊，欢迎踊跃投稿，期刊投审稿采编平台：http://gkwl.cbpt.cnki.net