东哥带你刷图论第四期:二分图的判定
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785. 判断二分图(中等)
886. 可能的二分法(中等)
我之前写了好几篇图论相关的文章:
除此之外,并查集算法计算连通分量 也是一个常用的图论算法,名流问题 也和图结构有一些相关性。
那么今天继续来讲一个经典图论算法:二分图判定算法。
二分图简介
在讲二分图的判定算法之前,我们先来看下百度百科对「二分图」的定义:
二分图的顶点集可分割为两个互不相交的子集,图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个子集,且两个子集内的顶点不相邻。
其实图论里面很多术语的定义都比较拗口,不容易理解。我们甭看这个死板的定义了,来玩个游戏吧:
给你一幅「图」,请你用两种颜色将图中的所有顶点着色,且使得任意一条边的两个端点的颜色都不相同,你能做到吗?
这就是图的「双色问题」,其实这个问题就等同于二分图的判定问题,如果你能够成功地将图染色,那么这幅图就是一幅二分图,反之则不是:
在具体讲解二分图判定算法之前,我们先来说说计算机大佬们闲着无聊解决双色问题的目的是什么。
首先,二分图作为一种特殊的图模型,会被很多高级图算法(比如最大流算法)用到,不过这些高级算法我们不是特别有必要去掌握,有兴趣的读者可以自行搜索。
从简单实用的角度来看,二分图结构在某些场景可以更高效地存储数据。
比如前文 介绍《算法 4》 文章中的例子,如何存储电影演员和电影之间的关系?
如果用哈希表存储,需要两个哈希表分别存储「每个演员到电影列表」的映射和「每部电影到演员列表」的映射。
但如果用「图」结构存储,将电影和参演的演员连接,很自然地就成为了一幅二分图:
每个电影节点的相邻节点就是参演该电影的所有演员,每个演员的相邻节点就是该演员参演过的所有电影,非常方便直观。
类比这个例子,其实生活中不少实体的关系都能自然地形成二分图结构,所以在某些场景下图结构也可以作为存储键值对的数据结构(符号表)。
好了,接下来进入正题,说说如何判定一幅图是否是二分图。
二分图判定思路
判定二分图的算法很简单,就是用代码解决「双色问题」。
说白了就是遍历一遍图,一边遍历一遍染色,看看能不能用两种颜色给所有节点染色,且相邻节点的颜色都不相同。
既然说到遍历图,也不涉及最短路径之类的,当然是 DFS 算法和 BFS 皆可了,DFS 算法相对更常用些,所以我们先来看看如何用 DFS 算法判定双色图。
首先,基于 学习数据结构和算法的框架思维 写出图的遍历框架:
/* 二叉树遍历框架 */
void traverse(TreeNode root) {
if (root == null) return;
traverse(root.left);
traverse(root.right);
}
/* 多叉树遍历框架 */
void traverse(Node root) {
if (root == null) return;
for (Node child : root.children)
traverse(child);
}
/* 图遍历框架 */
boolean[] visited;
void traverse(Graph graph, int v) {
// 防止走回头路进入死循环
if (visited[v]) return;
// 前序遍历位置,标记节点 v 已访问
visited[v] = true;
for (TreeNode neighbor : graph.neighbors(v))
traverse(graph, neighbor);
}
因为图中可能存在环,所以用visited
数组防止走回头路。
这里可以看到我习惯把 return 语句都放在函数开头,因为一般 return 语句都是 base case,集中放在一起可以让算法结构更清晰。
其实,如果你愿意,也可以把 if 判断放到其它地方,比如图遍历框架可以稍微改改:
/* 图遍历框架 */
boolean[] visited;
void traverse(Graph graph, int v) {
// 前序遍历位置,标记节点 v 已访问
visited[v] = true;
for (int neighbor : graph.neighbors(v)) {
if (!visited[neighbor]) {
// 只遍历没标记过的相邻节点
traverse(graph, neighbor);
}
}
}
这种写法把对visited
的判断放到递归调用之前,和之前的写法唯一的不同就是,你需要保证调用traverse(v)
的时候,visited[v] == false
。
为什么要特别说这种写法呢?因为我们判断二分图的算法会用到这种写法。
回顾一下二分图怎么判断,其实就是让traverse
函数一边遍历节点,一边给节点染色,尝试让每对相邻节点的颜色都不一样。
所以,判定二分图的代码逻辑可以这样写:
/* 图遍历框架 */
void traverse(Graph graph, boolean[] visited, int v) {
visited[v] = true;
// 遍历节点 v 的所有相邻节点 neighbor
for (int neighbor : graph.neighbors(v)) {
if (!visited[neighbor]) {
// 相邻节点 neighbor 没有被访问过
// 那么应该给节点 neighbor 涂上和节点 v 不同的颜色
traverse(graph, visited, neighbor);
} else {
// 相邻节点 neighbor 已经被访问过
// 那么应该比较节点 neighbor 和节点 v 的颜色
// 若相同,则此图不是二分图
}
}
}
如果你能看懂上面这段代码,就能写出二分图判定的具体代码了,接下来看两道具体的算法题来实操一下。
题目实践
力扣第 785 题「判断二分图」就是原题,题目给你输入一个 邻接表 表示一幅无向图,请你判断这幅图是否是二分图。
函数签名如下:
boolean isBipartite(int[][] graph);
比如题目给的例子,输入的邻接表graph = [[1,2,3],[0,2],[0,1,3],[0,2]]
,也就是这样一幅图:
显然无法对节点着色使得每两个相邻节点的颜色都不相同,所以算法返回 false。
但如果输入graph = [[1,3],[0,2],[1,3],[0,2]]
,也就是这样一幅图:
如果把节点{0, 2}
涂一个颜色,节点{1, 3}
涂另一个颜色,就可以解决「双色问题」,所以这是一幅二分图,算法返回 true。
结合之前的代码框架,我们可以额外使用一个color
数组来记录每个节点的颜色,从而写出解法代码:
// 记录图是否符合二分图性质
private boolean ok = true;
// 记录图中节点的颜色,false 和 true 代表两种不同颜色
private boolean[] color;
// 记录图中节点是否被访问过
private boolean[] visited;
// 主函数,输入邻接表,判断是否是二分图
public boolean isBipartite(int[][] graph) {
int n = graph.length;
color = new boolean[n];
visited = new boolean[n];
// 因为图不一定是联通的,可能存在多个子图
// 所以要把每个节点都作为起点进行一次遍历
// 如果发现任何一个子图不是二分图,整幅图都不算二分图
for (int v = 0; v < n; v++) {
if (!visited[v]) {
traverse(graph, v);
}
}
return ok;
}
// DFS 遍历框架
private void traverse(int[][] graph, int v) {
// 如果已经确定不是二分图了,就不用浪费时间再递归遍历了
if (!ok) return;
visited[v] = true;
for (int w : graph[v]) {
if (!visited[w]) {
// 相邻节点 w 没有被访问过
// 那么应该给节点 w 涂上和节点 v 不同的颜色
color[w] = !color[v];
// 继续遍历 w
traverse(graph, w);
} else {
// 相邻节点 w 已经被访问过
// 根据 v 和 w 的颜色判断是否是二分图
if (color[w] == color[v]) {
// 若相同,则此图不是二分图
ok = false;
}
}
}
}
这就是解决「双色问题」的代码,如果能成功对整幅图染色,则说明这是一幅二分图,否则就不是二分图。
接下来看一下 BFS 算法的逻辑:
// 记录图是否符合二分图性质
private boolean ok = true;
// 记录图中节点的颜色,false 和 true 代表两种不同颜色
private boolean[] color;
// 记录图中节点是否被访问过
private boolean[] visited;
public boolean isBipartite(int[][] graph) {
int n = graph.length;
color = new boolean[n];
visited = new boolean[n];
for (int v = 0; v < n; v++) {
if (!visited[v]) {
// 改为使用 BFS 函数
bfs(graph, v);
}
}
return ok;
}
// 从 start 节点开始进行 BFS 遍历
private void bfs(int[][] graph, int start) {
Queue<Integer> q = new LinkedList<>();
visited[start] = true;
q.offer(start);
while (!q.isEmpty() && ok) {
int v = q.poll();
// 从节点 v 向所有相邻节点扩散
for (int w : graph[v]) {
if (!visited[w]) {
// 相邻节点 w 没有被访问过
// 那么应该给节点 w 涂上和节点 v 不同的颜色
color[w] = !color[v];
// 标记 w 节点,并放入队列
visited[w] = true;
q.offer(w);
} else {
// 相邻节点 w 已经被访问过
// 根据 v 和 w 的颜色判断是否是二分图
if (color[w] == color[v]) {
// 若相同,则此图不是二分图
ok = false;
}
}
}
}
}
核心逻辑和刚才实现的traverse
函数(DFS 算法)完全一样,也是根据相邻节点v
和w
的颜色来进行判断的。关于 BFS 算法框架的探讨,详见前文 BFS 算法框架 和 Dijkstra 算法模板,这里就不展开了。
最后再来看看力扣第 886 题「可能的二分法」:
函数签名如下:
boolean possibleBipartition(int n, int[][] dislikes);
其实这题考察的就是二分图的判定:
如果你把每个人看做图中的节点,相互讨厌的关系看做图中的边,那么dislikes
数组就可以构成一幅图;
又因为题目说互相讨厌的人不能放在同一组里,相当于图中的所有相邻节点都要放进两个不同的组;
那就回到了「双色问题」,如果能够用两种颜色着色所有节点,且相邻节点颜色都不同,那么你按照颜色把这些节点分成两组不就行了嘛。
所以解法就出来了,我们把dislikes
构造成一幅图,然后执行二分图的判定算法即可:
private boolean ok = true;
private boolean[] color;
private boolean[] visited;
public boolean possibleBipartition(int n, int[][] dislikes) {
// 图节点编号为 1...n
color = new boolean[n + 1];
visited = new boolean[n + 1];
// 转化成邻接表表示图结构
List<Integer>[] graph = buildGraph(n, dislikes);
for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (!visited[v]) {
traverse(graph, v);
}
}
return ok;
}
// 建图函数
private List<Integer>[] buildGraph(int n, int[][] dislikes) {
// 图节点编号为 1...n
List<Integer>[] graph = new LinkedList[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
graph[i] = new LinkedList<>();
}
for (int[] edge : dislikes) {
int v = edge[1];
int w = edge[0];
// 「无向图」相当于「双向图」
// v -> w
graph[v].add(w);
// w -> v
graph[w].add(v);
}
return graph;
}
// 和之前的 traverse 函数完全相同
private void traverse(List<Integer>[] graph, int v) {
if (!ok) return;
visited[v] = true;
for (int w : graph[v]) {
if (!visited[w]) {
color[w] = !color[v];
traverse(graph, w);
} else {
if (color[w] == color[v]) {
ok = false;
}
}
}
}
至此,这道题也使用 DFS 算法解决了,如果你想用 BFS 算法,和之前写的解法是完全一样的,可以自己尝试实现。
二分图的判定算法就讲到这里,更多二分图的高级算法,敬请期待。
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