构建可复制的成全式教育生态
题图：玩出来的数学家——追踪曲线，小土豆正在以直画曲。
写在前面：
《玩出来的数学家》是由一土学校数学教师赵梦瑶老师主导的校本化课程研发项目，项目组的成员由一土学校四位数学青年教师（小马老师、大君老师、阿鑫老师、辛蕊老师）组成，此课题项目曾受到首都师范大学初等教育研究所所长郜舒竹教授的指导，并邀请到瑞士巴塞尔大学Hans Walser教授作为研课顾问，于2020年11月于第二届东亚课程与教学研究会论坛会议中进行分享，获得国际学者的好评。“玩出来的数学”课程基于涉身认知理论及建构主义理论，尝试探索一种“Learning based doing”的数学实验类课型。让数学思维、逻辑思维、实验思维融于实验过程，让核心素养与学科能力根植于思考过程，让数学知识可视化、可操作化、可理解化。目前该课程用于一土学校一至五年级学生的数学课外课，以下是编者对于《玩出来的数学家》项目负责人—— 一土四年级数学老师赵梦瑶的采访手记，让我们从赵老师对这个项目的解读中重识数学的魅力，以及学习如何在日常带孩子学习过程中，从“玩”入手，把数学逻辑、实验思维等植入孩子的底层思维中。Ivy：梦瑶老师，您好，玩出来的数学家，乍一听来这有点颠覆传统认知的意味，数学作为一种严肃科学，在很多人印象中等同乏味的推演和计算，您认为数学和“玩”究竟有什么关系？赵梦瑶：是这样的，“玩出来的数学家”的实质其实是一种“基于涉身认知理论的数学实验课程探索”。从20世纪80年代以来，认知科学从“非涉身的认知理论”走入了“涉身认知科学”时代。涉身认知科学认为：概念和推理来源于身体，大脑和身体感觉运动机制是认知机制的来源，意义理解的认识过程依赖于体验。
所以基于涉身认知科学观，我们能够更好的了解学生是如何通过涉身活动和隐喻进行认知及心智发展的，也促使我们思考如何借助符合学生认知的方式来更好地设计学习活动。“涉身活动”简易而言就是去做，孩子基于假设去操作，知行合一才能入心。 玩和数学的关系，我认为是将数学学习融于丰富的动手操作体验当中，以数学实验为切入点的数学教学尝试成为了我研究的方向。第二代认知心理学代表人物莱考夫认为：大多数思维都是无意识的，无意识的认知就像一只看不见的手，塑造、概念化我们的各种经验，并通过“隐喻”在认识无意识中建立实体、抽象概念。在数学实验课程中，我们应遵循涉身认知特点，基于一个挑战性问题来设计探索实验活动，在经历操作、试验、修正、迭代等一系列活动后形成一定的活动经验，从而建立起数学概念。将一个个数学概念的建立具体化于一个个小的数学实验当中，通过一系列的涉身活动，加强对概念的认知，通过对新概念的认知和类比，并构入原有的认知系统当中，继而不断往复，最终达到拓展认知的目的。事实证明，这个课程自从开展以来我们也收获了很多意想不到的效果。
▲ 图片来自赵梦瑶老师
▲ 玩出来的数学家（3-5年级）课堂记录
Ivy：通过对“涉身认知理论”的梳理，我想这个理念其实也代表了现代学习的主流观点，就是“learning based doing”，那我们又是怎么将这些书本上的理论落地到实际课程当中的呢？赵梦瑶：首先，理论是魂，课程框架是骨骼，课程内容是血肉。我们有了课程的魂，接下来就是如何搭建课程框架。虽然这是一个课外课项目，但是其实数学这个学科它不分课内和课外，它是一个思维的体系。所以我们在搭建课程的时候，底层是素养和思维，继而是一些宏观的数学能力，再就是基于内容层面的归属于哪个核心的概念以及学科领域，这就更加地具象化了，然后具象到每一节课的主题，这个层层基石自下而上的搭建能够夯实课程的理论基础。▲ 玩出来的数学家（1-2年级）课堂记录（上下滚动查看）
同时，每一位教师基于实验内容的教学设计中，又要自上而下的将实验内容厘清学科领域归属、找准对应的核心概念，分析基于实验内容学生应具备何等数学能力，可以扎根于哪一个学科素养当中，以及渗透哪一类科学思维。自上而下的备课过程就是将理论落地的过程。
▲ 图片来自赵梦瑶老师
赵梦瑶：比如教师在进行“像计算机一样思考——二进制”的实验内容设计时，会对二进制这一实验内容归属于哪个数学学科领域，属于哪一个数学核心概念，教师在设计教学流程可以筛选哪几个数学能力及素养进行渗透，整个实验过程用怎样的科学思维进行贯穿等等。Ivy：好的，请问项目实施过程中，这个实验内容和难度各年级是怎么统筹的？赵梦瑶：实验内容会依据年级的不同而有所不同，比如“二进制”的实验内容在没有建立十进制的时候很难理解，所以我们在一、二年级是不开设这个内容的。但相近年级也会有内容重叠，只不过定位的目标不同，比如二至五年级都开设了“乾坤圈与风火轮“的纸工实验课，对于低年级的实验目标定位在了解图形在运动过程中的变与不变，高年级的实验目标定位在理解图形在运动过程中的变与不变，并用适当的方法推理证明图形运动过程中的“面积守恒”。
▲ 小土豆在课堂上制作乾坤圈与风火轮（上下滚动查看更多）
赵梦瑶：无所谓课内、课外，数学与我们的真实世界本身就是一体的，我们只不过用一个好玩儿的视角切入而已。比如分形结构（Fractals）在大自然当中比比皆是，这里面渗透了极限思想、几何变换、数形结合等数学思想方法，这些思想与方法的习得是可以向课内学习进行迁移的。▲大自然中的分形，图片来源网络（上下滑动查看更多图片 ）再比如“搭建正六面体”的实验中，我们通过“结构搭建”了解正多面体的框架结构，又通过变换角度的搭建，了解它的外表特点以及在运动过程中了解立体图形的分解与组合。
这些会帮助学生更好的理解立体图形特征，也会从点、线、面多个视角去描述它的特点。
▲ 图片来自赵梦瑶老师
再比如我们如何借助直尺画出均匀的曲线？这其实是一个颠覆认知的过程，学生在经历了“以直画曲”的过程后，既感受到了几何绘图的魅力，又体会到了数学与艺术的联系。
▲ 小土豆在课堂上“以直画曲”(上下滚动查看更多)
Ivy：颠覆的过程其实就是兴趣启蒙的过程，相信也正是这门课想传递给孩子最有价值的学科宝藏，请问能具体举一些课上的例子说明孩子的收获和“玩”的价值？赵梦瑶：对，这也就说到我们具体怎么实施了。每节课，我们都尽量给孩子一个挑战性的问题，然后让他自己去想办法组队完成这个问题。比如“如何画一个巨型的圆？”，这个挑战性问题为主题的实验内容设置在四年级，而画圆这件事情是在学生六年级的数学课内学习要做的事。其实，四年级孩子只是见过圆形，可以用磨具画圆，但对于圆的特点（到定点的距离等于定长）他们还没有认知。我们给了他们一些工具——棍子、绳子、粉笔等，请他们讨论要选什么样的工具能够对这件事有帮助，选择工具的过程其实就是预想和构思的过程。
在尝试“画巨型圆”这个过程里面，我们不会过多地去干预和指导，而是让孩子不断地尝试，慢慢的，他们就摸出门道知道怎么办了。所以，其实真正的学习并非要告知他什么是对的，而是给他一个挑战，让他自己去想办法、去犯错、去反思、去调整，不断地试错、不断地修正，最终形成了概念、掌握了方法、拥有了思想……这即是“习得”。
Ivy：这个过程孩子会经历大量的试错，您刚才说的不指导不干预，其实也是保护孩子试错的自主性，对吧？赵梦瑶：没错，其实试错对于孩子来讲非常重要，比如在画圆的过程中，孩子就会发现，如果他不绷紧这个线，这个圆画的就很丑，所以呢这就叫“保持住半径不变“，在试错的过程中，这件事情孩子就已经会感知了。然后比如说笔尖不能倾斜，因为倾斜和垂直画出来的圆是不一样的，这个“倾斜”与“垂直”其实影响的是“定长”，即半径的长短。
然后他们总结到中心点这个人是不能动的，而且在这个人画的时候，其实他也要随着画圆的人转圈，他转圈这件事其实就是在感悟“定点”，即圆心，要保持这个中心点不能动，才能画出完美的圆。这些对圆概念的感知都是在一次次的尝试中形成的。Ivy：我看到课程说明里还有孩子们制作莫比乌斯环，相信这个对很多大人都是有点难理解的数学概念，我们长大也是从科幻电影中启蒙了这些概念，您现在结合这些概念让孩子们动手实践除了培养他们的数学思维之外还有其他的用意么？赵梦瑶：其实是有的，我希望通过这个帮助他们打开一扇窗，看到数学的价值，其实数学不是枯燥的，干瘪的，相反数学充满生命力，体现在我们生活中存在的方方面面，数学不仅是测量世界的工具，数学就是世界本身。我们制作莫比乌斯环，感受“眼见不为实”的哲理（莫比乌斯环是只有一个面的图形）；我们为真实的地图填充颜色，感受无论多复杂的地图都可以仅仅用四种颜色区分开接壤区域这一“复杂中蕴含简单”的道理；我们动手制作杨辉三角形，并探索在这一由数列组成的几何图形结构中的规律之美；我们动手搭建正20面体，感受柏拉图立体结构的美和三角形对于立体结构的稳定效果；我们用二进制代码制作成“二进制图案”，体会人类与地外文明沟通的语言之精妙……我们用了很多不是很常规的数学课素材，然后让孩子打开思维，发现原来这些东西都是数学。数学不是很深邃和神秘的，它就在我们身边。
▲ 孩子们在这个数学项目课中制作莫比乌斯环、探索帕斯卡三角形、搭建正二十面体、缝制抛物线
Ivy：听起来感觉这就是每个孩子梦想中的数学课，请问咱们课程得到过哪方面的支持么？赵梦瑶：瑞士巴塞尔大学的教授Hans Walser曾经指导过我们的项目，他主要工作领域就是Hands on Geometry，跟我们这个项目很像，他指导中，让我印象很深刻的就是：小孩子就是要操作（瑞士的学习文化就是不停在做），至于像我们传统教学中想提炼的那些理论的东西，都不是最必要的，因为孩子在做的时候就有感知，不用非要在当时告诉孩子最后的结论。比如说在搭建六面体的时候，每个人感受的点都是不一样的，说到底，数学是一个“悟”的过程，我们的作用是给孩子开了一扇窗，他日后在数学的领域里钻研，钻研到什么程度，这扇窗是一切的开始。
▲ Hans Walser教授指导“玩出来的数学家”项目
Ivy：教师是引导，让孩子找到属于自己的学术热情，在数学的领域里找到自己的路，这个我可以认作是您作为项目负责人当时开展这个项目的初心么？赵梦瑶：可以说是这样的。其实，数学本来是好玩的，但是由于我们有了时间轴，有了很具体明确的知识点目标，有了种种的衡量维度，所以有的时候往往是“知识的习得”占据了“玩与悟”的时间。在当下的教育现状中，每一位教师其实都在很努力地让孩子在数学课上操作，但很大程度上要去平衡“动手操作”与“抽象概念”的时间，对个体而言，可能没有充分“操作与感悟”的时间。所以，过早的抽象概念会令一些还没有领悟其中道理的孩子感到困难，有时候这也就是为什么数学学科会给很多人造成误解，认为数学是很难的、很无聊的、很枯燥的……
▲ 正在课堂上操作小土豆
Ivy：现在的确很多人对数学有误解的，所以通过这门课，我们希望打开孩子对数学认知的窗，您觉得是不是孩子调整对数学的认知就够了？赵梦瑶：不是的，这个过程需要家长和老师的联动。就像我们刚才说的，做这门课，第一，我是希望让更多的孩子包括更多的家长能够打开对数学的一个全面认知，虽然在课内学的那些东西很重要，但是数学远不止这一面，我们是让他知道数学是可以学好的，而且数学跟艺术、科技等诸多方面都是有连接的。第二，我也希望通过这件事情能让更多的数学老师能够不局限在已有的框架里，当我们的眼睛过分关注已有的教学模式及框架，其实是忽略掉了一些东西。一个老师的视野开阔了，教育观念打开了，他不仅会改变并提升自己的职业素养，更会看见并赏识每一个学生，懂得每一个错误的价值，热爱每一个探索数学世界的小举措，这其实就是在改变世界！Ivy：在项目教学的过程中，你认为遇到的挑战是什么？赵梦瑶：挑战就是——破除旧的那个自己。为什么这么说呢？作为家长、作为老师我们总是有很多“不放心”，不相信他可以凭借自己的力量解决这个复杂的问题。于是，为了这个“不放心”，我们不断地铺台阶、搭架子、做总结……真正的数学教育不一定要在一堂课一定要教会学生什么知识与技能，我们要给孩子的是真实世界当中具有挑战性的问题、自由的环境、充足的时间、工具的支持，接下来就是等待他成长和拓展的可能，所谓慢就是快。有的时候一堂课上下来，我就是能看见孩子们眼里的光，能明显感觉他们悟出来什么东西的那种兴奋，但这个悟是个性化的，我悟的也许和你悟到的并不同，但我们在不同程度上都收获到了，不是吗？数学真正的魅力也在于此。
▲ 小土豆在课堂上搭建多边体
Ivy：其实，现在很多的数学教学就是过早的“抽象”化，孩子“形象”上还不知道怎么回事呢，就上升到理念和规律，整体的步伐感觉有点“着急”，但数学应该是美的，就像我看到一些学生作品像艺术品一样，您认为“艺术品”和“工艺品”最大的区别在哪里？赵梦瑶：我觉得是孩子首先接触到数学，然后了解到数学现象本身的那种趣味性是非常重要的。比如“玩出来的数学家”里有一节课“绘制追踪曲线”，将追踪路径按照固定的规则画出来，居然可以得到如此美的螺旋曲线！
很多孩子沉浸在绘制的过程中，特别着迷，在绘制的过程中，有些人发现还可以将此看作正方形的不断进行等比例缩小的旋转运动；有的人感受到虽然最后演变成一个螺旋曲线，但是它其实却是由一组一组的直线绘制成的，这种“以直画曲”的方式很有趣！很多孩子在画的过程中会反思自己的“错误”，比如在不够精确的追踪曲线绘制中，会出现最终不是等比例缩小的正方形，而是画着画着就变成长方形了，学生会反思其中的原因，并在下一次尝试的过程中尽量避免。
▲ “玩出来的数学家——绘制追踪曲线
所以，保护一个孩子的数学兴趣，让他真正理解数学的价值，才能自由地探索数学世界的奥秘。让我们战胜一件事物的从来不是恐惧，而是热爱。赵梦瑶：这个问题可以从两个视角来看。从学生视角，这门课在获取更多数学知识的同时，更多的是发展学生的思维力和创造力，在经历了15个数学实验后，低年级的同学可以在一个实验课题下自主探索实验步骤，合作达成实验结论；高年级学生能够自己发现研究问题、自主设计实验、合作尝试解决、反思迭代……有的学生想到要借助三视图视角设计三维立体签名，有的学生想要将各种几何线条运用在服装设计上进行创作，有的学生还想到将绘制的火箭图纸制作成真正的火箭模型……
▲ 运用几何线条设计服装
▲ 立体名牌
▲ 火箭设计图纸
有的时候种子撒下去，你会惊叹于一个生命的生长力，有的时候并非用尺子测量叶子的长短、小苗的高矮就能判定成长与否，而是它们都长成了各自的模样，它们都向着自己的方向生发伸展着…… 另一个层面的收获，也是巨大的！那就是陪伴孩子们一路走来的老师们，经历了每周例行的教研会，经历了项目中期中瑞交流会，经历了项目后期中亚论坛分享演讲，老师们在经历着各种历练，也在这一过程中不断成长，带着这种探究式实验课程观、带着这种学生为中心的教学方式、带着扎实的基本功、带着欣赏的目光、等待的耐心，老师们渐渐成为了那个孩子喜爱的老师，也在成长为自己喜爱的那个自己！
▲ 项目成员
我曾听说世间的学问大概分为两种，一种是智慧一种是知识，智慧是心，知识是相。知识衍生方法是普世的，但是很多方法并不是由智慧生，这类方法运用起来虽屡试不爽，但是并不究竟，有些治标不治本，其实很多大师学术生命中很多觉醒的时刻，恰恰是面对眼前的问题看到自己本心启迪智慧的结果，而方法、套路有时候貌似又挡了路。赵梦瑶老师应该属于那种“别人家的数学老师”，就是让所有和数学“有仇”的孩子都能和数学和解的魔法师。听了她的介绍，看到了为教者对于教育的初心和对数学这门学科的终极热爱，传统教育下的我们所认知的数学俨然像一个苍苍老者，审慎严肃，不苟言笑。
赵老师的课堂里，数学是一枚活泼的小姑娘，她是我们的朋友、手足，是我们生活的方方面面，是领我们走入奇异世界的领路人。有时我想老师的价值大概就是这样深深浅浅的播种，这些种子伴随为教者的耐心一并浇灌，这些深深浅浅的种子最后发芽开花，结出了孩子们学科内驱的养分和学术钻研的底气。
我最喜欢的是赵老师讲到，“玩出来的数学课”宗旨是悟，是给孩子打开一扇门，让他们在数学的领域里四面八方，深深浅浅的前进开来。采访过程中，我也明白很多以前不了然的法则，比如宇宙包括知识的“无限”其实不是舍与得的概念，而更像一场“越得越不得”的莫比乌斯环，大家在看似得和不得的两面（其实是一面）来回穿梭，无穷匮也。知识不是越学越少，而是越学越进入知识的黑洞，然后别有洞天地发现知识其实是越学越多，其乐无穷，谁能不说这是知识的馈赠和生命的意义，目标孕于过程，大抵如斯。所以，知识的底层是探索而不是量标。知识的魅力就在于它无限的永恒，蕴变化与不变中，蕴有限于无限里，所以庄子说乘物以游心。说到底，为师者是启迪孩子内心的智慧，看到知识的美，从内心发起善和爱、激动与好奇，能抓住眼前的馈赠，探索更完美的未来与内在的自己连接。▫ 偶尔留言，哪怕跟我们say个hi~
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